C4(« +<)*— » •(* +0 + S] « -gg

. . «AM-) r/B<0

(8i3 — 54 i* 4- 1 1 5i — 75) BO-’)

, . . dB(f-)

+ îlîl J + (4** -r a7J + 37) a

da

. rf’B(i-0 , </3B0'—)

fi t!) =+m'aa' ■ J

da *

da3

(8i3 — ni* — 4i 4- 6)B(i— ') , J 4- (4** — 81 + 6) a )

| — (ai 4- 3) «s

da *

</*BCi-«)

inH

NC6)=— m'aa .(

[8(i— i)3+i8(i— i)’4-4(i— : ')— 6]BP->

, dBO-O

ç2^ J + [4(i -i)3— 5 (i —1) — ai] a -gg—

lia

rf*B(>-*)

(-[>(«'-«) + 8) «» -gg-

lia3 ’

iN(")— 4-n*'afl‘

[8(« — a)34- 6(1 — a)* — 4^(i — a) — 5o] B(‘J> , ec ’x» )4-[4(i — a) — ai(i — a) — 58] a

ia8

<i»BQ-3>

da •

da

lia3

En n’ayant égard parmi les termes dépendans de la quatrième puissance des inclinaisons qu’à ceux qui peuvent donner par leur développement des termes

Dü SYSTÈME DO MONDE. 55

de l’espèce de ceux dont nons nous occupons , on a

R — x<2C(‘-*> cos [i ( rit — nt + •' — *)-f- 4 nt -+■ \% — 4n3*

Cette fonction étant développée, en s’arrêtant aux premières puissances des excentricités, donnera

R = 3V(8).cos [t (rit — nt -f- *' — *) -f* 3 nt -f- 3ê — f- o* — 4n3 -f- ISO» cos [i (n't — nt + «' — «) -f- 3 ni -4- 3* -f- »' — 4^CI»

en supposant

sr " L* - 5) c<-) - - sr J-

. 3 tn'a'a'* , F. . N . dCC*-1)!

En réunissant les parties de la valeur de R que nous venons de déterminera celles qui dépendent simplement des excentricités, on aura tous les termes, de cette fonction du cinquième ordre par rapport aux excentricités, et qui ont la même forme que les termes dépendans des troisièmes puissances de ces deux élémens. Nous avons développé ces termes dans toute leur étendue , à cause de leur utilité dans la théorie de Jupiter et Saturne.

Dans toutes les formules précédentes la lettre i doit s’étendre à toutes les valeurs entières positives et négatives, y compris zéro; en rassemblant ensuite les différentes parties que nous venons de calculer, on aura l’expression du développement de la fonction R porté jusqu’aux termes du sixième ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites des deux planètes m et m! dont on a considéré l’action réciproque.

1 7. Nous uous sommes étendu sur le développement de la fonction R en série, parce qu’une fois que ce développement est effectué, la détermination des inégalités planétaires ne présente plus guère d’autres difficultés que celles qui résultent de la longueur des calculs. En effet, par la seule différentiation des différens termes de ce développement on obtiendra le terme correspondant de chacun des élémens de l’orbite de m ; et en substituant ensuite ces élémens dans les formules du mouvement elliptique on obtiendra des formules qui s’appliqueront au mouvement trou-> blé. On aura donc ainsi un procédé simple et direct pour déterminer dans chaque cas toutes les inégalités sensibles d’une planète, de quelque ordre quelles puissent être relativement aux excentricités et aux inclinaisons.

Soit par exemple

m'k co» [* {rit — nt 4- •' — 1) -f- lut -h U — fu> — foi — -xf IT ]

l’un quelconque des termes du développement de R , le terme correspondant de la variation du grand axe sera

vnia*n[i — ^

i (u' 4») -+* ln

cos [1 ( ri l — nt -f* i — «) -h Int -f* /• — /» — f'd — xfll

le terme correspondant du mouvement moyen sera

- * si" [i -y'» - >/'w i

le terme correspondant de l’époque,

ni an

l'ti — n) -h in L' ' c '*,e/ ""J

siu p’ {fil — nt -f* i — *) ~h Int ~h J * ’xj f

le terme correspondant de l’excentricité sera

ni un \/ i—e' [ f 4- (i — (i — e») ] ,

e [l (n' — n) •+- ln\

cos [i («'« • ni -4- »' — i) -+- Int -+- /« — fa — fa’ — ,

et le terme correspondant de la longitude du périhélie ,

m'nn V 1 — e* dk . , . . . . , . , . ,, .

F — ; . , ■ \--r -*m [< (n t — "<+ » — i)+lnt+U~Ja— f a’ — if n].

c[i(n — n )-(-//! J de ' ‘ JJ

Enfin , en vertu des formules données n* 4 > le terme correspondant de p sera

ni an sin y dk . ... . . . . . . y.„__

— — .sin[i(n t-nt+i -i)'blni+U—Jit—f,ki — ij n],

y t/ 1 — e*[i(// — n)+ln]

et le terme correspondant de q,

mt'ank

bin -y V/ 1 — e* [i («' — n) -h //i]

cos [i (n't — nt -f- •' — •) 4- Int 4- U — f* — /V — of" n ].

En substituant ces valeurs dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, relatives au mouvement elliptique de m , on aura les inégalités correspondantes introduites dans ces expressions par l’action de la planète perturbatrice m'.

La partie séculaire des variations des élémens du mouvement elliptique dépend de la partie constante de la fonction R que nous avons désignée par F dans le n° 46 du livre II , et dont nous avons donné l’expression développée jusqu’aux termes de l’ordre du carré des excentricités et des inclinaisons. Il est facile, d’après ce qui précède, d’avoir l’expression de cette quantité exacte jusqu’aux termes

du quatrième ordre par rapport aux q^mes élémens. En effet, il suffira de faire i — O dans l’expression du développement de R , et de n’avoir égard qu’aux termes non périodiques qui résulteront de cette supposition. Ces termes seront évidemment ceux qui proviennent, i°. de la partie indépendante des excentricités et des inclinaisons, 2°. de la partie dépendante de la deuxième et de la quatrième puissance de ces mêmes quantités, qui a mêmes argumens que les termes indépendans des excentricités et des inclinaisons. On aura ainsi

m' mV+e'*)/' rfA<»> I (/"AON , e‘/ d' A(°> . i ,d* AM\

tACo)+ — -art + 3,C a^+iai-üa-J

me'*/.. dAW d’A(°) , , «i»AC»> , i d*AM\

+ TT (fia -JT +9"’ + 3a ”3Ï»“ + 4 a ~d^r J

d\M 7 d* AW , rf,AW i , d* A<»)\

-Si— («•>+;«..)

rfBW

aa— 3 f

oa s

/ ;("■>— T*-- z*%~az-J

e* f, </’ A(') , . ,rf>AtO , , rf<A<’>-\

Ta C4*’ "ÂÎT + C“ -5Ô5- + al -Si- J

+m'eer co*(o/ — »)<

lia3 r/ACO .

da*

rf*AO> .tl4ACi)\

+,oa J

tla

i . i/BW

da

x rf*B<>>\

, tn . . / . . . éJA<*) ,,

-f- rrr.c’e *com(» — »}.[ ta A<*) — i ia — ; h

. \ da ‘

. c , à' KM

. rf«A(»>\ a —<&—)

m an' . „ t/BO) aaB(‘)\

H 7-^-.e*x* cosa(a# — Iï).( iuB<')+8a — ; f-«* —7 )

04 \ «a aa’ J

m'aa' , B(‘)\

+ “Âf •° ’x’ cos n) (/’* -rfjr )

/ . / „s f , d'BC) , </*BW\

m aa ,

— — ^ — .«ex* cos Ja

La quantité raF doit être la même pour la planète m et la planète m', puisque , d’après ce que nous avons vu n° 60, la dernière portion de la fonction

1 xx'-hjÿ 4* zz

ne produit aucun terme constant dans la fonction R. 11 est facile de s’assurer, en effet, que la fonction nïF satisfait à cette condition , et qu’elle demeurera la même lorsqu’on y changera tout ce qui se rapporte à m en ce qui se rapporte à m', et réciproquement.

La valeur précédente de F est celle qu’il faudra substituer dans les formules du n° 46 du livre II, pour avoir les expressions des variations séculaires des élémens de l’orbite elliptique , étendues jusqu’aux quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons.