CHAPITRE II

Formules générales pour le calcul numérique des différens termes du développement en série de la fonction perturbatrice.

18. Nous nous proposons d’ajouter ici quelques nouveaux développemens à ce que nous avons dit dans les n°* 49 et suivans du livre II, sur la manière de déterminer les diverses quantités qui entrent dans l’expression des coelïiciens de la fonction R réduite en série. Ces considérations seront utiles à ceux qui voudront s’occuper du calcul numérique de ces coefficiens.

Reprenons la fonction (a'1 — zaa’ cos<p-\-a%)~ ' du numéro cité, où a et a' sont deux constantes, et s un nombre fractionnaire positif ou négatif. Nous ne traiterons pas ici le cas où s serait un nombre entier quelconque, parce qu’il n’a pas trouvé jusqu’à présent d’application dans la théorie du système du monde. Supposons a1 > a , et faisons

^ = a. , en sorte qu’on ait a. < i ; et pour plus de

simplicité considérons la fonction (1 — 2acos<p-t-a*)~% qu’il s’agit de réduire en série ordonnée suivant les cosinus de l’angle <p et de ses multiples. Le moyen le

plus simple de résoudre les questions de ce genre est celui des coefficiens indéterminés. Cette méthode consiste à représenter la fonction qu’on veut développer , quelle qu’elle soit , par une série indéfinie dont les coefficiens sont indéterminés; en substituant ensuite cette série dans une équation différentielle, ou en quantités finies, tirée des propriétés de là fonction donnée, et en comparant dans chaque membre de l’équation résultante les coefficiens des memes cosinus, on forme un nombre d’équations de condition suffisant pour déterminer un pareil nombre de coefficiens inconnus.

Ce moyen très simple fait connaître les relations qui lient entre eux les divers coefficiens de la série, c’est celui dont nous avons usé dans le n° 49 du livre II ; mais il en est un autre dont les géomètres font un fréquent usage pour la réduction en série de toute espèce de fonctions , et qu’il est d’autant plus utile d’indiquer ici , que ce procédé peut s’étendre à des questions plus importantes, et devenir d’une application très avantageuse à la théorie des perturbations planétaires.

Faisons pour abréger S = (i — 2 et cos <p -J- a* ) et suivant la notation usitée , soit :

S-' = - -h // '^cos 9 -f- cas 2<* -f- cos ip -f. clc.

Il s’agit de déterminer les différens coefficiens bp*9 b,^, etc. Or chacun de ces coefficiens peut s’exprimer d’une manière très simple par le moyen d’une intégrale définie , et on aura généralement :

a en 1 H" d<*> c°8 i(P o S' *

L’intégrale étant prise depuis <p=o jusqu a <p = 2 7r, en désignant par flr la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

En effet, i et i1 étant des nombres entiers quelconques , il est aisé de voir que l’intégrale fd<p cos /<p cos i'ty, prise entre ces limites, se réduit à zéro pour toutes les valeurs de 1 différentes de i, puisqu’on a

cos iç cos l '9 =

. [cos (t -h i') 9 -f- cos (1' — 0 p],

et que J dtp cos /2<p = o, n étant un nombre entier

quelconque différent de zéro. Si l’on multiplie donc par cos i<p dtp la fonction S~s ou chacun des termes de la série qui la représente, et qu’on intègre l’équation résultante depuis <p — o jusqu'à <p = aie , on aura

/’*» d<p cos /<p 1 , ,,, r**

Tous les autres termes du second membre seront nuis, et son intégration étant effectuée, on trouvera pour déterminer b P la formule ( a ).

Cela posé d’après la valeur de S , il est aisé de voir que l’on a

idy cos ip

sin <9 'idi s sin 9 sin iq> rfy

a . — —, f- - -• ‘j - ««Tl ■

équation d’où l’on tire :

i(l<ç COS 19'l-f- 19 cos<^ cos<9 2(? î )<* //<? SÛ19 sin/9

ou bien

idçccwf(l+u*) siniq> , «(<+« — I }cnt(i — i)<p m(i — *+i)co5(/+i)^

Si l’on intègre maintenant cette équation depuis <p=o jusqu a <p = 27T et qu on remarque que est

nul entre ces limites, on aura en vertu de l’équation (a)

(l + ** ) ib** = « (« -f- i - 1)*?-0 + « (* - s + i) i?+'\ (i)

Formule analogue à la formule (a) que nous avons obtenue d’une autre manière dans le n° 49 du livre I, et qui exprime la relation qui existe entre les trois coefficiens consécutifs de la série S-'.

On peut, au moyen de cette formule , calculer un coefficient quelconque du développement de

la fonction S~* au moyen des deux coefficiens qui le précèdent bP et b?~ en sorte que le calcul de tous les termes est ainsi réduit à celui des deux premiers coefficiens b,M et b,M. Cependant, lorsque a est une quantité peu considérable, la formule précédente peut devenir défectueuse , parce qu’alors les coefficiens b,w, &,C3), etc. , étant les différences de deux nombres qui diffèrent très peu entre eux, ne peuvent plus se calculer avec une exactitude suffisante par les tables de logarithmes ordinaires ; l’erreur se multiplie dans le calcul des termes suivans , de manière que les résultats deviennent de plus en plus inexacts, et qu’on finit même par arriver à des différences négatives, tandis qu’au contraire tous les coefficiens etc. , sont nécessairement positifs. Ce cas

64 THÉORIE AflAÉYTÏQUÊ

se rencontre dans la théorie de Jupiter et de Mercure, dans celle de la Terre troublée par Vénus, et en général toutes les fois que a étant une petite quantité , on est obligé par quelque circonstance particulière de calculer les coefîiciens b P d’un ordre un peu élevé. Il faut alors , pour déterminer chacun des coeûiciens bP, recourir au moyen des séries qui ont servi à déterminer les deux premiers coefïiciens b /°3 et bp. Ainsi , d’après le n° 5o du livre II, on aura ici

Si l’on développe les deux membres de cette équation , et qu’après avoir substitué 2 cos i(p à la place

de 1 dans le second membre, on com-

pare les coefîiciens des mêmes cosinus , on trouvera généralement

,(,) S.S-bt.S-h 5

s s-bi s.s+i s+i

I“f* — .— •TT

«1^-f-CtC

Cette série devient très convergente à cause de la petitesse de a , et l’on pourra se borner à en calculer quelques lermès ; elle fait voir que cl étant nécessairement positif, les cofficiens bp seront aussi tous positifs. On pourra sans inconvénient Se borner à cal-s culer directement par ces séries les coefîiciens alternatifs bP, bP, bp, etc. , et calculer les coefîiciens intermédiaires par le moyen de la formule (1) qui devient alors d’un usage également sûr, soit que a diffère peu de l’unité, soit que ce soit une très petite quantité.

Dü SYSTÈME DU MONDE. 65

19. Considérohs maintenant les formules qui servent à déduire les coefficiens du développement de S~' en série de ceux de la série S-'-*, et réciproquement. On a, par ce qui précède ,

‘ S-' •+■//’* cos p -h cos îp.-.+ iJ** cos tf ■+• etc.

Supposons de même •

S-'— = - + 4^f cos * 104 a*. ■ cos 1 S + « le.

Par la formule (a) on aura

. (') 1 Pi* dtp cos itp

s- f-i 5 rj s S'+‘

Or, l’équation (a) donne, eni’intégrant depuis <p~o jusqu’à <Q— 2 7r et en observant que s’évanouit

entre ces limites ,

/’ M ir/e cos i* as rie cos (i — I )* P J

r aï c/e cos (i ~h l) dp

on auj-a donc en vertu des formules (a) et (c)

En faisant successivement t = i , i— 2 , etc., cette formule donnera très simplement les coefficiens

b\\ b, , etc. , lorsque les coefficiens b[+lf b,+„e te., seront connus, Quant à la valeur de è/o) on observera que l’on a S*~’,= (1 — 2a cos <p -f- a*) S,— en remplaçant S— 1 et S,— 1 par leurs valeurs en séries, et comparant dans les deux membres les termes indé- Tome III. 5

pendans de (p on trouve :

b = (i+a*)0 —cl b

Réciproquement on peut déterminer les coefliciens du développement de au moyen de ceux du

développement de S~' supposés connus , de la manière suivante. La formule (2) donne

ry-0- b(s+n

*ci+,)=^.rV° b{,+' 1

D’ailleurs, en changeant s en 1 dans la formule (1), on a

(«, +,)««■•) = l±-îl(i+ ijif0— (i+.-H)»®,.

Si dans les équations (4) on substitue pour

et fleurs valeurs tirées des équations précédentes, on trouve

if» = — . r «i® if >i .

d’où l’on tire

* (1 — «ta;J

TTi — «•)*

et par suite

*ft t+i

Ces formules déterminent les divers coefficiens de S-' au moyen de ceux de S~'— 1 ; quoique très simples , elles sont plus compliquées que les formules iny erses (4). Il y aurait donc, sous ce rapport, de l’avantage à commencer par calculer les coefficiens b'°\, , . , etc., et à en déduire ensuite les

coefficiens Z/' ”, b['\ etc. Mais dans la théorie des planètes on est obligé de pousser beaucoup plus loin le développement de la fonction S— * que celui de la fonction S-,— 1 ; il faut donc renoncer à faire usage des formules ( 4 ) » si ce n’est comme un moyen

très simple de vérifier les valeurs de b^ , b'‘+^ etc.,

b^+l, \ etc., calculées par d’autres formules.

Il est aisé d’étendre les résultats précédons au développement d’une puissance quelconque S~'~ 1 de S. En vertu des formules (5) les coefficiens de la série que cette quantité représente se détermineront au moyen des coefficiens du développement de la puissance S— qui la précède immédiatement, en sorte que le développement S“ * fera connaître celui des puissances S~ S~ S-1-3, etc.