Reprenons les formules (G) , (II) et (K

Le cas de / = 3 mérite une attention particulière , parce que c’est de lui que dépendent les deux grandes inégalités que l’observation avait fait remarquer depuis long-temps dans les mouvemens de Jupiter et de Saturne, et dont on avait vainement cherché la cause. En effet, en supposant que n se rapporte à Jupiter et n à Saturne, si dans i{n — n) + In on fait lz=z 3 et i = 5 , ce diviseur devient 5n' — in , quantité très petite en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de ces deux planètes, n° 5g, livre II ; de sorte que les inégalités qui ont cette quantité pour diviseur peuvent devenir considérables, quoiqu’elles soient au moins du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Comme ces inégalités sont extrêmement importantes dans la théorie des mouvemens planétaires, nous

1 7o THÉORIE ANALYTIQUE

allons développer complètement les formules propres à les déterminer. Pour cela , désignons par m la masse de Jupiter et par m! celle de Saturne. En ne considérant que les termes du troisième ordre relativement aux excentricités et aux inclinaisons qui dépendent de l’angle 5 nt — int, on a , par le n° 4 >

R = Mwe3 cos (Sn't — int -f- 5e' — 2é — 3&>)

-f* Mc'3e*e' cos (Sn't — int- 4- 5e' — ie — 10 — ce ) -f- Mwee'*cos(5n'< — mt-\-Sd — 2€ — ce — iw') -f- MCSV3 cos ( 5n't — int-t-5e' — 2e — 5a')

-{- N(o)eA*cos {Bn't — int Si' — m — ce — 2II)

-J- Nc,VA*cos(5n'* — int-\-5t' — it — ce' — 2II).

Les valeurs de M(o) , M(0, etc. , étant déterminées par les formulés générales du n° 7 , dans lesquelles on fera i — 5, ce qui donne , en substituant en outre à la place de A(l) et de ses coefliciens différentiels ,

leurs valeurs e» b a , etc. ,

M«— 5 V 38oii + '*± +

VMW“-ïsVoa*i +,93“-^-+ae*,^-+-5^r J’

a'MO>= g ^

a' NO =

Dü SYSTÈME DU MONDE. 171

Si l’on décompose l’expression précédente de R en sinus et en cosinus de l’augle 5 rit — ant-\-5i — ae r et qu’on lui suppose cette forme :

R = m' P sin (5 n't — ant -J- 5e' — ai)

+ 7ra'P'cos(5n'£ — ant + 5e — ae) ,

on aura

m'a P = a'M(°)e3sin 3» 4- «/M(I)e*c/sin (aa -f- *') 4- a'M(a)ee'*sin (a 4- 2a') 4-û,M(3)e/3sin3a'4- a'N(°)ex* sin (a 4- aII)4-«,W(,)c/x* sin (a'4-an) j

et la quantité m'a1 P' sera déterminée par la même expression dans laquelle on changera simplement les sinus en cosinus.

Cela posé, si l’on fait 1 = 5 et i = 5 dans les valeurs de dV et JV du numéro précédent, on aura, relativement à Jupiter , pour les inégalités de la longitude

. m n S 6n dP \ # .

lu = ; ■.{ -z—, #P — aa* -7— 1 sin {Sri t — mt 4-5* — ai>

5n — a/i \5n — a n da J

mfn / Gn „ dP\ . j

- °p- aa3 ?z) co* (5n înt + s,-2,)l