Tome 111. i x

l’équation (5) peut s’écrire ainsi ,

-En ne considérant que les termes qui dépendent de l’angle i(n'< — nt + t'— e)+nt+e, et qui ont pour diviseur i(ri— n)+Zn, en vertu des valeurs précé-

dentes de et -, on trouve

id.rtr — drtr /i(n'-n)-bn i\ a*ndt \ n a/

La quantité i(ri—n)+5n étant très petite, dans le coefficient de cette inégalité on peut supposer, sans erreur sensible , i(n'—n)=—5n-, la partie indépendante de R de la formule (5) introduira donc dans l’expression de JV le terme 4-|eAsin[i(w't — nt+t' — s) + nt+e + « + cf']- En vertu de la valeur

— ^ A cos [tïn't — n< + s' — e) + ant + 2« 4- cf] ;

le terme introduit dans le JV , le suivant :

a?ndt

>(» ”) 2 h sin[t(n'£ — nt-\-( —

ou bien en observant qu’on a à très peu près. ... i(n! — • n) + 3ti = o , le terme

+ 2 h sin \i(n't — nt + 1' — g)+2rc£+2«-|- cT] ;

le terme — donnera celui-ci

— j eh sin \i(nt — nt -4- 2' — é)-J-3 nt 3g— a -+■ «T].

En réunissant donc les différentes parties de JV

faisant Z=3dans la formule générale (7), et en

DU SYSTÈME DU MONDE. i63

ne considérant que les termes qui ont i{ri — n ) 4- 3 n pour diviseur, on aura

Jï>— — -eh sia [i(n't — nt ■+• «' — «) -+- 3 nt •+• 3» — a -f- <f]

— a h sin [i ( n't — ni 4- «' — •) + anj + 2. + <T]

+ -e& sia [i (n't — nt 4- { — •) -f. nt + i -f- a 4- /]

. )3(i — 3 , a m'n dk\ . !

+i lil,n'-nl^in^kT{n’-n)+rna'dk f S,“ W“ -•;+3af-t-3.+C]

Les formules (E) et (F) donneront toutes les inégalités du troisième ordre croissant avec une grande lenteur, et qui peuvent devenir sensibles en acquérant par l’intégration un très petit diviseur.

36. On pourra donc , au moyen des formules des n°* 28 et 29 , déterminer toutes les inégalités de m dépendantes d’une puissance donnée des excentricités et des inclinaisons, qui peuvent avoir une valeur sensible. Mais lorsqu’il s’agit seulement, comme dans le numéro précédent, de calculer quelques inégalités particulières dépendantes d’un argument déterminé, il est plus simple d’employer la méthode de la variation des constantes arbitraires , qui donnera immédiatement toutes les inégalités d’un ordre quelconque , qui deviennent sensibles par les petits diviseurs que l’intégration leur fait acquérir, sans qu’on soit obligé de s’occuper des inégalités d’un ordre inférieur.

En effet, soit

m’k cos [i{n't — nt-+-e' — i)-\-lnt-+-k—fu—j,co' — a/^Ff] ,

l’un des termes du développement de R. D’après la loi de ce développement, n° 4» i et l étant supposés positifs, et i plus grand que l, le coefficient m sera de l’ordre

t64 THÉORIE ANALYTIQUE

l ou d’un ordre supérieur de deux , de quatre , etc. , unités, relativement aux excentricités et aux inclinaisons ; en sorte que, si parmi les inégalités dépendantes de l’angle frit — nt)-\-lnt , on n’a égard qua celles qui sont de l’ordre le moins élevé , relativement aux excentricités et aux inclinaisons, m sera de la forme eféf'X,f"A , f,f et f" étant des nombres tous trois positifs liés par l’équation l — f — f — 2f" — ° et A étant une fonction indépendante des excentricités et des inclinaisons des orbites. On aura donc

ÿ = Jef-' éf’A'f"k = £t ,

de J e 1

~ — 2/Vev,A*/"—A =

Supposons maintenant que le terme m'kcos[i(jit — nt- f-g' — — fa — fa' — 2J" 17) prenne la forme suivante :

m'Psin [»(«'/ — nt 4- 1' — •'+//tf+/i]+m'P'co«[i(n,< — nl+t' — ■ )+/nt-f-/i].

en comparant ces deux expressions, on aura P = Æsin (fa -}- fa -f- 2f"U) , |

Acos(/*+/«'+a/'n). J °2)

Si l’on différentie par rapport à e, a , A, et FI ces expressions , et qu’à la place de ~ et de ~ on substitue leurs valeurs précédentes, on trouvera

de *

~~e de »

dP'

IÇ

dx '

il 11

— A —j—, dh

Cela posé , si pour abréger on fait frit — nt-\-e! — e)

DU SYSTÈME DU MONDE. r65

-f- -f- & == a, et qu’on néglige les inégalités qui seraient d’un ordre supérieur à /, relativement aux excentricités et aux inclinaisons , on trouvera, n° 17 (*), que le terme précédent du développement de R, introduit dans chacun des élémens de l’orbite de m les inégalités correspondantes qui suivent :

= 7 — 7 : t: — (r sm et -f- P cos * ).

in — (i — l)n

3 ro'<? (i — /)/i* /n/ . -

[^!T(rr7j^(Psin“-I>CO!->*

m'an r/l JP' dV\ . /. JP „JP\ ~|

= Lv^Js aa*Ja /*,n“ \Vde JC0“i’

te = rit* —

m'an /JP f/P' \

—, T TT ( T" sin * 4- -7— cos * ) >

in — (1 — l)n \(le de /

m'an /JP' . JP \

tu'— (i /) „ \ de Sl" * Je C°‘ V*

m'an sin y /(IV . JP V

T- ^ ( -j-sin a — cos* J,

m'anx /'JP . JP' \

? rr-; y. jr-rl -r-sin a. 4- — cos a )•

sm y[tn — (i — /)«] V J* Jx, /

Ces diverses inégalités peuvent devenir très sensibles, si le diviseur m' — (/ — l)n est une très petite quantité ; les plus considérables seront d’abord celles du moyen mouvement, à raison du très petit coefficient dont elles sont affectées , et ensuite celles de l’excentricité et de la longitude du périhélie , parce que l’ordre de ces inégalités se trouvant abaissé d’une unité par rapport au premier de ces élémens, et de deux unités par rapport au second, elles peuvent, par cette cause, devenir très sensibles si l’excentricité est très petite , et même surpasser les inégalités correspondantes du moyen mouvement , quoi-

(*) Les termes de $a, fÇ , etc., donnes n° 17, ont e'té pris par erreur, avec un signe contraire.

i66 THÉORIE ANALYTIQUE

qu’elles n’aient pour diviseur que la première puissance de la quantité in! — (i — l)n, comme la thçorie des satellites de Jupiter en offre un exemple. C’est donc principalement aux inégalités de ces trois élémens qu’il faudra avoir égard dans la détermination des perturbations planétaires.

Il ne s’agit plus que d’introduire ces variations dans les formules du mouvement elliptique, pour avoir les formules qui conviennent au mouvement troublé. On a

v = fndt e -f- 2e sin ( fndt + e — ro)

-f- | e*sin 2 (/ ndt + ê — ce) -{- etc.

Cette valeur de la longitude vraie étant celle que l’on obtient lorsque dans les formules de l’orbite elliptique on change le moyen mouvement nt en fndt , pour rendre ces formules applicables au mouvement troublé, conformément à ce que nous avons dit n° 43, livre II.

Si l’on différentie l’expression précédente par rapport à la caractéristique J', en observant que l’on a fndt—nt- {-£, et qu’on peut supposer fndtz=nt dans les termes qui sont de l’ordre des forces perturbatrices, puisqu’on néglige ici leur carré, en supprimant les termes qui après la substitution des valeurs de £, J'e , fe, etc. , seraient d’un ordre supérieur à /, on aura

<I'«=^-|-{fê-{-£fe[2sin(n<-f-£ — «)-f-|esina(n^-f-£ — •)] — eS'ce [2COs(n<-f~e — a>)-f-fecos2(n£-H-a>)].

Si dans cette expression on substitue pour £ , ef e , et eSa leurs valeurs précédentes , et que pour abréger on fasse

m an

(1 — l)n — in * de

et £ = — 'fcù — yW — zf’U , on trouvera

3 m'(i — Z)n* f aP'sin 4" •' — t) -f- Int •+- /*] *

^ - r * 'i]*l — aPcos [i(nrt — nt - b «' — «) -f- Int -4- li] J

ant'/i

rfP'

aa^-sin[t(n't — «f -f- i -r «) -f- 4- /*]

i(n n) -+-ln ^ — a*~co*[i(ri t — nt -f- — •) -f- -f- /«3

— ^eÆsirt[i(n'* — nt -4- «' — ») -f* Int + /» + f]

nh siu[i(n'£ — nt -+* •' — •) 4- (t 7“ *)nt- 4- {l — i)« -f- u -f- C] -4- ^eAsin[i(«'t — nt -f- s' — «) -4- (Z — a)/ii -f- (/ — a}s4-2»4* ÇJ.

De même pour le rayon vecteur on a

- = x — e cos {J iidt £ — cj)

+ ie*[i — cos 2 (fndt-\-e — û))] + etc.

et en différentiant par rapport à S

— = — -f- efè /e [cos (nt 4- •—• <*) 4- ® tes a (ni -f-' ï *— •

— eÆ» [sîn (nt -f- • — »)•+• e sin a(nt -f* • — «*)3*

En substituant pour Sa, Se , Sco leurs valeurs , on

aura

J'r. -im'il — i)n £ a P sin [i(n't — ni - 4- / — t) -f- Int -f- U] v ^

g i(n — n)-4-/n l-haP'cos [i (nt — nt -4- •' — «) -f* Int -h It] 9 I

— eh cos [i (n't ~ nt - 4- «' — •) 4- Int -h 1% -f- Çj s. (H)

'«4- cos [i(n't — nt •+•«' — •) *+- — 0 «4 -4-(/--i)i-f- «*4- C] l

-4-eAcos [i(n't — nt -4- *' — «) 4- (/ — 2) nt -4- (/ — a)««4-3a» 4-€]« J

Enfin , en vertu de 1 équation ( 1 1 ) du n° 32 , le terme

mfkcos[i(nft — — g) -f- lnt-\-U — fca—fco> — ojn n]

4e la valeur de R produira dans l’expression de la la-

titude le suivant :

im'fakan

Si l’on fait maintenant l = 3 dans les expressions précédentes , en observant qu’on a S — <P — œ , et que pour P et P' on substitue leurs valeurs en fonction de k et de £ données par les équations (12), on retrouvera les valeurs de cTr, JV , Ss que nous avons déduites , n° 5 5 , des formules générales des nos 28 et 29. L’accord des deux procédés est donc parfaitement vérifié , quel que soit le degré d’approximation que l’on veuille obtenir, ainsi que nous l’avions déjà établi dans le n°,Qi du lièvre II, relativement aux termes dépendans des premières puissances des excentricités et des inclinaisons.

87 .La méthode delà variation des élémens de l’orbite elliptique conduit très simplement, comme on voit, à la détermination des inégalités qui sont affectées de diviseurs qui les rendent considérables ; mais s’il s’agissait de déterminer toutes les inégalités d’une planète dépendantes d’un argument déterminé , la multiplicité des termes qu’introduirait dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de « la latitude, la variation des élémens, «rendrait ce procédé long et pénible ; et dans ce cas , pour éviter des réductions trop compliquées , il sera mieux , comme nous l’avons dit , n° 88 , livre II , de recourir aux formules générales qui résultent de l’intégration directe desj équations différentielles du mouvement troublé.

Nous avons exposé dans le chapitre II , pour cab

culer le coefficient d’un terme quelconque de l’expression de R en série , relatif à un argument déterminé , un procédé qui est indépendant des excentricités et des inclinaisons , et qui dispense d’effectuer le pénible développement de cette fonction. On aura de cette manière, sans beaucoup de calculs, les valeurs de P et P' que I on doit substituer dans les formules précédentes; et ce procédé, joint à la méthode de la variation des constantes arbitraires, est sans contredit le plus simple et le plus sûr qu’on puisse employer pour déterminer les inégalités d’une planète qui peuvent devenir sensibles quoiqu’elles soient , relativement aux excentricités et aux inclinaisons , d’un ordre supérieur au second.