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Si l’on décompose les sinus et cosinus de l’expression de R en sinus et cosinus de l’angle Mt — 2nt-\-5t' — 2g, on donnera à cette fonction la forme
m'Qsin (5nt — 2 nt -{- 5g' — 2g)
+ m Q'cos (5 n't — 2 nt + 5g' — 2g) ,
y fi
et pour déterminer Q' on aura
=*= a'MW cos (4« — a/) 4- a'M(') cos 3« -f- «'M(*> cos («'-f- 2»)
4- a'MO) cos (a«'4- ») 4- «'MO) cos 3»' 4- «'M(5 *) cos (4»' — •)
4- û'N(°) cos (an 4- 2a — fl»/)4-<ï/K(')cos(2n4-a») 4“A'N(*)cosi'an4-a') 4- a'NO) cos (an— «4.2a')4-«,IN(0cos (4n— »')4-«'K(5)cos(4n— a),
et Q sera donné par la même équation dans laquelle on changera les cosinus en sinus. ,, ;
i8* THÉORIE ANALYTIQUE
En substituant ces valeurs à la place de P et'P* dans les formules (R) et (L), on aura là partie de la longitude et dn rayon vecteur de Jupiter, du cinquième ordre par rapport aux excentricités ef relative à l’angle 5 n't — ant.
Les inégalités correspondantes de Saturne se détermineront de la même manière au moyen des formules (M) et (N). Soit Q, et Q', ce que deviennent Q et Q' par rapport à Saturne, on aura relativement à l’action de Jupiter sur cette planète
R' = 77iQ, sin (5rc' t — %nt + 5e' — 2 e)
-|- wQ',cos(5rc7 — 2nt -4- 5i — 2s),
On substituera m'Qt et mQ', à la place de mP et de mVf dans les valeurs de JV et de JV, et l’on aura les inégalités de ces deux quantités qui dépendent à la fois des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, et de l’angle 5rit — 211t.
M(tjÇonpiîe cette partie (Jes deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne est peu considérable relativement à celle que nous avons déterminée dans le numéro précédent, on pourra se borner à en calculer les termes principaux. Ce sont ceux qui sont affectés du très petit diviseur (5 ri — 2 n)% , et qui sont introduits dans l’expression de la longitude par la variation du moyen mouyement, On pourra donc ici supposer simplement • N * *
«, «f v a» — 3 ajndtf d' R , '
Wn’dtfdl l» , - ,
et par conséquent on aura encore entre les termes des
Dp SYSTÈME DU MONDE. j83
deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne qui dépendent des cinquièmes puissances des excentricités # et des inclinaisons la relation ordinaire
JV*» — • JV..V , /: .•
d’où l’on conclura immédiatement la partie précédente de la grande inégalité de Jupiter, lorsque la partie correspondante de la grande inégalité de Saturne sera déterminée.
Il est aisé d’ailleurs de vérifier la relation précédente dans le cas que nous considérons. En effet, d’après la nature de la fonction mR , les termes de son développement qui renferment la quantité A(l) et ses différences sont les seuls qui ne sont pas communs aux deux planètes, en sorte que la quantité est la seule dont les valeurs différeront dap$ les expressions en série de t»R et de ?» R', Lorsque l’on considère l’action de m sur m on doit faire, n° 34 »
A(l)= —, — — r: , et dans le cas où l’on considère
l’action de m sur i) faut faire Ac,) = —, -. Si
l’on suppose donc simplement A(,) = ~ , on aura
rigoureusement mR = m'R', et par conséquent Q=Q, et Q' = Q, ; il faudra ensuite dans les termes dépen-
dans de A10 et de ses différences , faire A(,) =s — ,
ce qui ajoutera à la valeur de M(o) la quantité
— • m' ; et quand on considérera l’action
de m sur m' , il faùdrâ faire A*1* ^ , ce qui
ajoutera à la valeur de Mtu) la quantité — m! ^
Mais par le rapport qui existe entre les mouvemens moyens de Jupiter et de Saturne, on a, à très peu
près» ' . .
5oo . ^7 =s 3 1 a5 , -tt** . ...
Or 71
En effet, = — , et comme 5rï est à fort peu . , . , j, n'a 4
près égal a nnx on a — = -, par conséquent.
5qo = 3 125
La valeur de M(o> est donc la même, soit que l’on considère l’action de m' sur m , soit que l’on considère l’action de m sur m'. Les formules qui déterminent la partie des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, dépendantes de la cinquième puissance des excentricités , deviennent donc
. 6m n* r , «Qfsin(5n'£ — 2nt-+r5t'~ 2*),i
(5n'— 2«)* ‘ l — aQcos(5re'i — snt-i-5t'- a j) j*
. , 1 5mn'a ( <ï'Q'sip(5w'< — an<-f-5*'— at),|,
V (5 ri —7.n)% ' ( — a'Qcos(5n'< — — ae)J*
i.’ , • ■ H:.\ ;.* : \ •• ri.,.
Et l’on pourra conclure, par conséquent, la valeur
précédente de JV de celle de JV, en multipliant
». . 5 mn'aà' . , . ml/a
celle-ci par ; , ou simplement par-
r ,2 m n’fl 7 .. r ,
DU SYSTÈME DU MONDE. ii8£
45. On ^encontre dans la théorie de Mercure troublé par la Terre une inégalité du troisième ordre , à laquelle il faut également avoir égard , parce que le rapport qui existe entre les moyens mouvemens nt et n't de ces deux planètes, rend très petite la quantité nt — l±n 't , et peut rendre considérables, par conséquent , les inégalités dépendantes de cet argument. Toutefois, comme les inégalités de Mercure sont en général de peu d’importance, il suffira de considérer celles qui sont affectées du petit diviseur ( n — 4 n' Y 9 e* sont introduites dans l’expression
de la longitude par la variation du moyen mouvement. Pour les déterminer, supposons que m et m! désignent respectivement les masses de Mercure et de la Terre , on aura
<f v = — 3 an fdtf rf'R.
Si dans le développement de la fonction R on n’a égard qu’aux termes qui dépendent de l’angle \n’t — nt et qu’on suppose
R = m! P sin ( /\n’t — nt + 4 *•'—«)
•V' » ,i -f- tu P'c0s(4/i't — nt ■+- 4s' — é) , .
on aura
•o»r VH.-
. 3m n* f âP'sin(4 n't — nt fy! — «)V • •
° v (4” — ■ ")* * l — aPcos(4re,f — nt + 41' — *)i"
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iv. 1
En faisant t i — A dans les formules du u° ,7, on
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i86 THÉORIE ANALYTIQUE
1 ' A. = lVV^e* cos — n/ 4- 4 ** — « — ' 3d») ' ?
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