Si de même, dans la valeur ( ci ) de cTR, on rem

place les variations finies des élémens des orbites de m et de m! par leurs valeurs données par la première approximation , on pourra développer l’expression résultante en série de sinus et de cosinus d’angles proportionnels aux moyens mouvemensdes deux planètes, de la même manière qu’on a développé la fonction R dépendante delà première puissance des masses; mais, dans certains cas, il sera préférable de dér terminer la variation cfR de la manière suivante.

Au lieu de regarder R comme une fonction des élémens des orbites de m et de m , et du temps t, on peut considérer cette quantité dans l’état où elle est donnée par les formules du mouvement troublé , c’est-à-dire comme fonction des coordonnées de lia planète troublée et de la planète perturbatrice. Si l’on désigne donc respectivement par r, v, s, le rayon vecteur, la longitude et la latitude de m, dans son orbite elliptique, et par £r, Sv et J's les parties de ces coordonnées dues à l’action des forces perturbatrices, et dépendantes de la première puissance de ces forces, qu’on désigne par les mêmes lettres accentuées, les quantités correspondantes relatives à m1, on aura

tK~j7fr+dït‘''h T,fs + d?*+z;'t‘' (b)

La première approximation par les formules développées soit dans le livre 11, soit dans les chapitres précédens, fera connaître les valeurs de «T r, Sv, J's, exprimées en suites de sinus et de cosinus des moyens mouvemens de m et de m', ordonnées par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et

des inclinaisons de leurs orbites. Nous avons donné,

dans le n°4> le moyen d’obtenir les valeurs des

. • Il «^R f/R (/R • f . I

différences partielles ^ exprimées de la

même manière; on pourra donc déterminer sans peine les termes de <fR correspondans aux termes que l’on aura considérés dans chacun des facteurs des

^v> ' (luc ce,te f°ncl'on

renferme. Il en serait de même relativement aux

produits ^7 JV', et ^ sera fflcile ,

par conséquent, de distinguer tous les termes de J' R qui dépendent d’un argument donné , et de tel ordre qu’on voudra par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

On aura les termes correspondans de rf'efR en différentiant par rapport au temps t , introduit par les coordonnées de la planète troublée et par leurs variations Jr , JV , &s , et en regardant comme constant celui qui^ dépend des coordonnées de la planète perturbatrice et des variations <fr', JV et JV; enfin, on obtiendra les termes correspondans des différences partielles de J'R relatives aux élémens du mouvement elliptique, en différentiant, par rapporta ces élémens, l'expression (b), sans faire varier ceux qui se trouveraient renfermés dans les valeurs «les variations afr, dr', J'v, etc., conformément à ce que nous avons dit précédemment.

48. On déterminera donc de cette manière les inégalités des élémens de l’orbite de m, dépendantes de

produits ~ JV,

DU SYSTÈME DU MONDE, la seconde puissance des forces perturbatrices ; et en introduisant r ces élémeus corrigés de leurs va*riations ainsi obtenues , dans les formules du mouvement elliptique, on aura les inégalités correspondantes du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude : toutefois , comme les termes dépendans du carré des masses sont en général très peu considérables, on n'aura besoin d'avoir égard qua ceux qui , par l’effet de quelque circonstance particulière, peuvent devenir sensibles. Si, par exemple, il existe entre les moyens mouvemens de m et de m! un rapport tel que i'n! — in soit une très petite quantité, i et V représentant deux nombres entiers quelconques , les inégalités les plus considérables parmi celles qui dépendent du carré des masses, dans les mouvemens réciproques de ces deux planètes, seront, toutes choses égales d’ailleurs, les inégalités qui auront pour diviseurs les plus hautes puissances de cette quantité.

Or, les valeurs de £ et de renferment des termes dépendans de l’angle i'nt — int , et qui ont (z'V — m)* pour diviseur; en les combinant avec

les termes des différences ^ et ~,.qui dépendent

du meme argument, il en résultera dans des termes dépendans de> l’argument 2( Unit — int) > et qui, à cause de la double intégration, seront affectés du diviseur ( Vn ' — inty, et dans les variations des autres élémens des termes périodiques dépendans du même angle, mais affectés seulement du diviseur {Vn — in)3. Ces derniers termes, quoique sous

aoa THÉORIE ANALYTIQUE

ce rapport moins considérables que les première, peu*vent cependant produire, dans les expressions des excentricités et des longitudes des périhélies, des inégalités très sensibles , et qui même surpasseront celles du moyen mouvement, si les excentricités de m et de m' sont très petites , parce que leurs coefficiensserontd’un ordre moins élevé relativement aux excentricités! et aux inclinaisons. Cette remarque est analogue à celle que nous avons faite n° 36 par rapport aux inégalités dépendantes de la première puissances des forces perturbatrices.

Les expressions de Sa, Se, etc., renferment des termes dépendans de l’argument in’t — int , et affectés du diviseur i'n' — in; en les combinant donc avec

les termes de —, etc, dépendans du même angle, il en résultera, dans l’expression du moyen mouvement, des termes dépendans, comme les précédées, de l’argument 2 ( i'n't — int), et qui auront (i'n' — in)3 pour diviseur, et dans l’expression des autres élémens de l’orbite de m , des termes relatifs au même angle, mais affectés seulement du diviseur (i'n1 — in)*; cependant, il faudra encore avoir égard à ces termes, principalement dans les expressions des variations des excentricités et des périhélies , par la même raison que précédemment.

Enfin, si l’on considère les termes de la fonction JR qui dépendent simplement de l’argument i'n't — int, il est aisé de voir qu’il en résultera dans c , par la double intégration que ces termes subissent , des inégalités qui n’auront , il est vrai , pour

DU SYSTÈME DU MONDE. ao3

diviseur que la quantité (e'W — in)* , mais aussi qui seront simplement de l’ordre i'— ri relativement aux excentricités et aux inclinaisons , tandis que les inégalités relatives à l’angle 2 ( i'rit — int), qui sont affectées du diviseur (i'n' — in)*, seront de l’ordre

(if — i)\ *.

Lorsqu’on n a égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices , l’expression du moyen mouvement est la seule qui contienne des inégalités dépendantes , comme les précédentes, de l’angle i’n't — intf et ayant {i'n! - — in)* pour diviseur; et c’est elle, par conséquent, qui fournit alors la principale partie de la variation de la longitude- moyenne ; mais tous les élémens de l’orbite pourront contenir des iné^galités semblables parmi celles qui sont de l’ordre du carré de la force perturbatrice. En effet, pour les obtenir , il suffira de combiner dans SK les termes des variations de Sa, Se, etc., qui dépendent de l’angle i'n't — int , et qui sont divisés par i'n — in, avec les parties constantes des différences etc.: il en résultera évidemment,

da de 1 7

par l’intégration dans Sa , Se, etc. , des inégalités relatives au même, angle, et qui auront {i'n! — iri)% pour diviseur. Ces termes seront donc comparables, sous tous les rapports, à ceux qui leur correspondent dans l’expression du moyen mouvement f et il ne sera pas permis de les négliger, du momei^ qu’on aura reconnu la nécessité d’avoir égard à ces derniers termes.

Les différentes inégalités que nous venons d’ia-*

ao4 THÉORIE ANALYTIQUE

cliquer sont celles qui résultent, dans les expressions, des variations des élémens de l’orbite de m dépendantes du carré de la force perturbatrice de la fonction J'R et de ses différences ; mais il est clair que les autres termes des expressions différentielles de ces quantités introduiraient de même dans leurs valeurs finies des inégalités dépendantes de l’angle i'n't — bit , et ayant pour diviseur [i'n! — et des inégalités dépendantes du double de cet angle, et divisées par {i'n' — in)A, (i'n' — in)3 ou ( i'n' — in). Pour les déterminer, il suffirait d’examiner avec soin les différentes parties des formules générales (i), (2) etc. ; mais comme ces inégalités ne deviennent assez considérables pour qu’on en tienne compte , que dans la théorie de quelques planètes , il sera plus simple de les développer, dans chaque cas particulier, selon l’importance qu’il présentera : les circonstances qui auront rendu leur considération nécessaire contribueront toujours à faciliter ce développement.

4g. C’est principalement dans la théorie de Jupiter et de Saturne que la grandeur des deux inégalités qui affectent leurs mouvemens réciproques oblige à tenir compte des termes qui dépendent du carré des forces perturbatrices. Nous allons donc appliquer aux inégalités de cette espèce , qui peuvent devenir sensibles par le rapport qui existe entre les moyens mouvemens de ces deux planètes, les considérations précédentes.

Occupons-nous d’abord, parce que ce sont les plus faciles à déterminer, des inégalités relatives au double de l’argument de la grande inégalité , et qui

DU SYSTÈME DU MONDE. ao5

ayant pour diviseur la très petite quantité (5»' — an)4, peuvent acquérir, par cette raison, une valeur sensible , quoiqu’elles soient , comme on le verra , du second ordre par rapport à la force perturbatrice , et du sixième à l’égard des excentricités et des inclinaisons. Les inégalités de ce genre ne peuvent exister que dans l’expression du moyen mouvement. Reprenons donc la formule (7), et supposons que m représente Jupiter, m' Saturne, et que toutes les quantités relatives à m , marquées d’un accent , désignent les mêmes quantités relatives à m', en intégrant, on aura

cTC = — Zanfdt fd'J'K + ^ fdt (fd' R)*.

Considérons d’abord le premier terme de cette expression. En n’ayant égard qu’aux inégalités dont nous nous occupons, on peut supposer, d’après ce qui précède ,

«ra-ak + s-r.

ridi '

En ne considérant que les termes du développement de R qui dépendent de l’angle Sn't — 3 nt , soit

R = m' P »in (în't — a nt -+- 5»'— •) -h m'P'cos (5n't — a ni ■+• 5i' — 2*) ;

d’où l’on tire

JD

-j-=. — am'Pcoi (5 n't — a/if-f-5»' — ai)-+- am'P'»m(5n't — ant+5i' — ai)],

— 5 w'Pco» (5 n’t — a nt -f- 5*'— ai)— 5m'P'sin (Sn't — ant+5i' — ai)] ,

. \ et par suite

/R =* — a£)[Pcos (5n't — anf+5*'— a*) — P'sin (5n't — ant+5i' — ai)] .

Ponr avoir la différentielle d'J'R, il faut faire varier dans cette expression % et nt ; mais on peut rejeter d’abord la partie de'pendante de la différentielle de parce qu’il n?en résultera dans que des termes relatifs à l’angle 2 (5 rit — 2 nt), ayant (5 n' — 2/1)3 pour diviseur; on trouvera ainsi

— =am'(5£' — a£)[P*in(5n'« — anH-j«' — a«)+P'coi(5/»'< — a/»t-f-5i' — ai)].

fl fil

On a d’ailleurs (n° 36)

Ç = - ~ P'»in (5 n't — ant+5*' — ai)— Poo* (5n't— a»«-f-5/— *i)J- ;

et au moyen dç l’équation Ç' = — on en conclut

~/{P’s'D(5n'<-ant+5i,-ai)— Pcot(5n’«— ant+5i'-ai) J..

En substituant ces valeurs dans L’expressiou précédente, on trouve

d'.t R fim'»n»a /5w V/ÎH-am' a'\ f (P,*-P*)iin*(5n,t — anr+5i'-ai) i ndt ~~ (5 n' — an)*\ m't/â' /( — aPP'co«a(5n'<— a«t-f-5t' — ai). J

on aura donc, en vertu de ce terme,

C)m'*n*a7 /5m V/n-f-am' y/a*\ / (P/* — P*;»ini(5n/f— 1

’5= a(5n' — an)‘\ m'V'â! /' — aPP'co»a(5n't — an r-f-.V — ai). I

Cette inégalité doit être ajoutée à la longitude moyenne de m dans l’expression elliptique de la

longitude vraie. En la multipliant par f et

m' p7 al

faisant a = j,, on en conclura pour la valeur correspondante de tf£',

, çyii‘n<ri’* /5m\/a-him' 1/ a'\ f (P'*-P,)sina(5n't-ant-f-5s,-as) ^ â(5n' — a«)»\ m\/â J l — aPP'cosa(5n't-<a/n+5s'-is)

5o. Considérons maintenant l’inégalité de <f £ relative à l’angle a(5n'< — znt), et qui a (5n' — an)3 pour diviseur. Les termes qui la produisent peuvent résulter, i8. de la partie de «TR que nous venons de considérer, a8, du deuxième terme de la formule (7) ; 3°. de la partie de «TR qui dépend de la variation des élémens a, a', e, etc., des orbites de m et de ni. Déterminons successivement les différentes parties de cette inégalité.

L’expression de «TR donne, en différentiant par rapport à Ç ,

d'. f R =. trtidi ' [P'sin (5n't — inl -+- 5«' — a») — P cos (5 n't — an/+5s' — as)],

et en substituant pour dÇ sa valeur,

<fVR 6m' 'nu f (P'* — P»)sina(5n't — anf -f- 5t' — a«) 1

ndl (5/i' — an) l — aPP* cos a (5n't — anf -4- 5«' — as). f

. « 'tuin *inp ;.•») | ; ' ; 1 '■ oa «IMiL^ruHw /u^b

et par suite

(yn'^a1 ( ’(P'» — P») sin a (5n'f — mt + 5»' — as) î ’ a(5«' — an)1 l — aPP'cos a (5 n't — a ni + 5s' — as;. I

Supposons maintenant

S't == \a'nfdt{fd' R)»;

la valeur précédente de R donne, en la différentiant ,

ri* R = — a m'ndl [P cos (5n't— ant+5s' — ai)— ’P'sin (5n't — ant-f-5s' — as)],

et , par conséquent ,

Jd! R = -

5n' — an

[Psin (5n't— anr-f-5s'— aiH-P'cos (5n't— an/-h5i'a«)] .

En élevant cette valeur au carré, et en rejetant les termes non périodiques, on trouve

(fiVRY^ %n V / (P,»-Pî)cosa(5«'i-a«/-f5t,-a«)H-aPP'sina(5/i't-a/ïtH-5«'-ai) l,

w 7 (5 n!. — iny l . • >

et par suite

3m'*n^a* t (P7* — P*) sin a (5/i'£ — znt+5tf — a«)

àm t \

* '*(5n' — aw)1 ' — '

aPP7 cos a (5 n't — a nt -+• 5*# — a»).

Cette inégalité , jointe à la précédente , donne la suivante :

iam',«îa* i (P'* — P*)sina(5 n't — an* -f- 5»7 — a«) \

^ ~ oi(5«7 — art), l — aPP' cos a (5/*'t — an* 4- 5*' — a«). t

fcV> » * . v4^ <

On trouverait pour l’inégalité correspondante relative a rrï ,

'j5m*n!ia,% ( (P'* — P*) sin a(5n'* — an* -+■ 5*'— a«) \

â(5 /? — an)1 l — aPP' cos a(5n'* — an*-f-5«7 — »). *

Ces deux inégalités, comme celles que nous avons précédemment déterminées, sont du sixième ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , puisque P et P' sont au moins du troisième; mais ces dernières inégalités n’ayant pour diviseur que le cube de 5nf — 2 n, tandis que les autres, sont divisées par la quatrième puissance de cette quantité, elles sont nécessairement beaucoup moins considérables , et l’on s’est dispensé, jusqu’à présent , d’y avoir égard, les inégalités affectées du diviseur (5ri — 2n)* devant fournir, en effet, la principale partie de la variation de la longitude moyenne relative à l’angle

DtJ SYSTÈME DO MONDE.

5i. Supposons maintenant

/Ri

da

+ . *K * . dR * dR

en faisant abstraction des termes de <fR qui sont relatifs à la variation des élémens de l’orbite de m'.

Les différences partielles ~ dans cette expression , -

ainsi que dans celle de Je, doivent être prises en regardant n comme constant (n8 43 , livre II).

Si l’on substitue pour ra. Je, Je et Su, leurs valeurs données par l’intégration des formules du

n° 4a , livre II, en observant que ~ = ü, et Dour

rfR dR ' ndt P

dp’ dq ’ '/?> leurs valeurs données n° 4, on

trouvera

Supposons, comme précédemment,

R - m'P sip (5 n't - ml + 5.'- 2,) + m'P' cos (5n't -,nt + 5.’~ »,).

En faisant, pour abre'ger, 5n't — 2/2*+ 5s' — 2€=a, 1 expression de cfR prendra cette forme :