CHAPITRE IY
Inégalités dépendantes du carré des forces perturbatrices.
46. On est quelquefois obligé , dans la théorie des perturbations planétaires, de porter les approximations plus loin que nous ne l’avons fait jusqu’ici , et de considérer les inégalités dépendantes du carré des forces perturbatrices. La méthode la plus simple que l’on puisse employer pour les déterminer, est celle de la variation des constantes arbitraires dans les formules du mouvement elliptique. Il est toujours facile, en effet, d’obtenir par ce moyen les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude d’une planète, lorsque l’on connaît les inégalités correspondantes de chacun des élémens de son orbite ; on n’aura pas même à craindre ici que la complication des formules nuise à leur usage , parce que les considérations qui obligeront à avoir égard à quelques-unes des inégalités du second ordre, permettront toujours d’en négliger le plus grand nombre, comme absolument insensibles.
Nous avons présenté, dans le n° 61 du livre II , des formules qui donnent les variations du grand
DU SYSTÈME DU MONDE. ,g5
axe et du moyen mouvement; en ayant egard aux termes dépenda ns du carre des forces perturbatrices, déterminons de la même manière les variations correspondantes des autres élémens de l’orbite elliptique. Pour cela , en indiquant par J' les variations dépendantes de la première puissance des masses, il faudra, dans les formules qui donnent les variations des élémens de l’orbite de ro (n° 42 , livre II), substituera la place des élémens que ces formules renferment leurs valeurs augmentées de leurs variations où. , £ , cf e , etc. , et R -+- R à la placé de R , en nommant efR la variation de la fonction perturbatrice correspondante à celle des élémens de l’orbite elliptique que cette fonction renferme, et dépendante simplement de la seconde puissance des forces perturbatrices ; en sorte qu’on a
dR " ,/R
da
r + déta'+ ~ //.
Nous avons désigné par fif'R la différentielle de la fonction R prise par rapport aux coordonnées de la planète troublée, et sans faire varier celles de la planète perturbatrice ; lors donc qu’on aùra substitué à la place des coordonnées de m et de m! leurs valeurs en fonction du temps et des élémens de leurs orbites, augmentées de leurs variations , on aura la différentielle d'( R efR) de la fonction résultante, en diffé-
rentiant, par rapport au temps introduit, par les coordonnées de la planète troublée et par leurs variations, sans faire varier le temps dépendant des
coordonnées de la planète perturbatrice ou de leurs variations, conformément à ce qui a été dit n° Go livre II. Quant aux différences partielles de la fonction R-J-J'R relatives aux élémens de l’orbite elliptique , qui entreront dans les formules qui déterminent les variations de ces élémens, pour montrer comment on les obtiendra , désignons pour un moment par R cette fonction , et par a = a -f- S'a l’un quelconque des élémens de 'l’orbite de m augmenté de sa variation . ^ sera la quantité qu’il
da
dR
faudra substituer à la place de ^ dans les for-
mules du n° l\i du livre II, lorsqu’on aura égard aux termes dépendans du carré des masses , mais
il est clair que la valeur de — est égale à celle de
da
— , dans laquelle on substituerait , à la place des élémens de l’orbite , leurs valeurs augmentées de leurs variations; en sorte qu’on aura
dR </R . JR
da da ‘ da'
Or, d’après la valeur précédente de «fR, il est aisé de voir que l’on a
n dR d.i R d’da ~ da ’
la différentielle de J' R relative à a devant être prise en faisant varier la constante a introduite par la substitution des valeurs des coordonnées elliptiques
de m, et en regardant comme constante celle qu’introduisent les variations de ces coordonnées, ainsi que celles des coordonnées de la planète perturbatrice m! .
Il faudra donc, pour avoir égard aux termes dépendans du carré des masses, substituer dans les formules du n° 42, livre II, à la place des élémens de l’orbite de m, que nous supposerons corrigés de leurs variations séculaires, leurs valeurs elliptiques augmentées de leurs variations périodiques, que nous désignerons par la caractéristique J , et mettre ensuite
R -f- JR à la placé de R, — -f- à la place de
~ , et de même pour les différences partielles relatives aux autres élémens; ou bien, ce qui revient au même, on différentiera , par rapport à la caractéristique S, les formules du numéro cité, en observant que dans les différences partielles de la fonction /R i relatives aux élémens de l’orbite elliptique de m , pn doit regarder comme constantes les variations Sa , £,'JV, etc., qui entrent dans l’expression de JR, ainsi que les quantités qui en dépendent.
Cela posé, en observant que y= — , on trouvera **' ^ ;l N>:'.4 * î;
da= 2a\d'SR + 4ad'Rfd'R) ,
, andt y i — ea P.i —
- {sr+a 3âfd R) .» H, (a)
dJ{
de=
l. ( i \/ 1 — e a) (d* JR — ad'RJd'R.)
• > andt V/ 1 — ea /J. <ER * JR rij/j&Y
e \ du du ^ J
- andt. Se [(,-11^)^--^=.^
, L\ e1 )/ i-e*s nt & e “ \/ i-e* <**
dc.=aJ^ÇE2(iÿ - « J/rf'R)
andt JR
dp= -^JL. - a ™fd'R) + andt r dR
, en J/ /J.^R JR rJ,D\ andt * JR
^=-\/^(w-aï>fdRy^r I4'ae-*p (6)
(e~ e’)* dP
Enfin, la formule (4) du n° 6i du livre II, en observant que l’on a
/(d'R/d'R) == iifd'Ry,
donnera, pour la variation du mojen mouvement , dl = — Zandtfd'f R + f a'ndt (fdf R)\ (7)
Dans les formules precedentes, il faudra substituer à la place de <fe sa valeur déterminée par l’équation (3) du n° 42 du livre II ; et en intégrant ensuite ces formules, on aura les variations finies des élémens de l’orbite elliptique, dépendantes du carré des masses. Nous n’avons pas effectué ici cette substitution, qui ne présente d’ailleurs aucune difficulté, afin de ne pas trop compliquer les formules.
