I -t— cos a r- sin a j I

Si'*an

ss,n‘+srcos‘.

dp . • , f/p/ - -j- sm a + -j-cos a f/x f/x

m'*finx

Tf/P .

br»81

f/P 1 sina+-^-cos a

l/tt

dP' .

, , cos a iinc

\dx fix

/dP dP'

{^-j- c osa p sin a J

V | £??*in a+^cosa

!/</P rfP' \

[P ro§ et — P'sin ecl ( -7— co»«t— -7— sin et J ** , \ */x d\ J

-f- sin et 4- r©s <*J (P sin « 4* P'cos a).

Si l’on opère * dans cette expression , les moltiplicafions indiquées , on verra que le second membre se réduit à une quantité constante , de sorte que la fonction <fR ne contient aucun terme périodique dépendant de l’angle 3 ($nrt — 2 nt) introduit par la variation des six éîémens de l’orbite de la planète troublée ; le même résultat aurait Keu relativement aux élémens de l’orbite de nt' , ce qui tient à ce que*tous les termes de la valeur de cTR peuvent prendre , dans les deux cas , la forme générale K {MjNdt — N/Mc/t) , K étant un coefficient constant.

Pour avoir la différentielle de d'cfR , il faut différentier l’expression précédente par rapport aux

DU SYSTÈME DU Mt>NDE.

seules quantités relatives à la planète m, c’est-à-dire d’après la forme que nous lui avons donnée , qu’il faudra ne faire varier le temps t dans les facteurs compris entre les crochets [ ] qu’autant qu’il est multiplié par n, et différentier complètement les facteurs compris entre les parenthèses ( ) , et qui sont introduits par la variation des élémens de la planète troublée. Dans les deux cas, cette expression devient identiquement nulle, en sorte que les variations du grand axe, de l’excentricité, de l’inclinaison , des longitudes de l’époque , du périhélie et du nœud de Pôrbite de la planète troublée, n’introduisent dans la fonction d' <f R aucun terme constant , ni aucun terme relatif à l’argument 2 (5rit — 2 ni). Il serait facile de s’assurer que le même résultat a lieu relativement aux variations des élémens de la planète pertürbatrice. Il en résulte que le moyen mouvement dem, de même que celui de m', ne sont assujettis, en vertu des mêmes variations, à aucune inégalité croissante comme le carré du temps, ni à aucune inégalité à longue période dépendante de l’angle 2(5 n't — 2 ni); ce qui confirme, relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, le beau théorème de Y invariabilité des grands accès et des moyens nwui'cmens planétaires, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice , que nous devons à M. Poisson , et dont nous avons donné une démonstration générale dans le n° 60 du livre II (*).

(*) M. Poisson avait conclu ( Mémoires de F Académie , tome!"') que te môme résultat subsiste encore en portant

ata THlftORIE ANALYTIQUE

Les expressions de J'£ et de J'Ç' ne renferment donc aucune autre inégalité dépendante de l'angle 3(5 n't — 2nt), et ayant pour diviseur (5nr — 3 ri)s, que celles que nous avons déterminées n® 5o. Les grands axes et les longitudes des époques renfermeront des inégalités semblables, et qu’il sera facile de développer d’après l’analyse précédente. Mais, comme on peut s’en assurer, ces inégalités seraient absolument du même ordre que les inégalités correspondantes du moyen mouvement, c’est-à-dire dp second ordre par rapport à la force perturbatrice , et du sixième relativement aux excentricités et aux inclinaisons des orbites; et l’on pourra les négliger, comme nous l’avons dit, devant les inégalités du même ordre, et relatives au même argument, qui ont ( 5n' , — 2 «)4 pour diviseur. Nous nous dispenserons, par cette raison, d’en effectuer ici le développement.

5a . Considérons les variations des excen trici tés et des longitudes des périhélies relatives au même argument. Pour simplifier les formules, nous n’aurons

1’approxiiuation jusqu’aux termes du troisième ordre , par rapport aux forces perturbatrices, mais il a reconnu depuis qu’il avait donne trop d’extension à son analyse. L’expression différentielle du demi-grand axe peut donc renfermer des termes constans du troisième ordre, relativement à ces forces, et le demi-grand axe en peut conteuir qui soient seulement de l’ordre de leur carré ; en sorte que le théorème sur l’invaTiabilité des grands axes n’a plus lieu au-delà de la première puissance de la, force perturbatrice : nous en verrons un exemple dans la théorie de la Lune. ( Mémoires de 1 Académie , tome XIII.)

DÜ SYSTÈME DÜ MONDE; 2 fl

égard qu'à la partie dé Cés variations qui est de Tordre le moins élevé possible , relativement aux excentricités et aux inclinaisons. Dans ce cas, on peut supposer simplement ' ~ ; -

j andt /d.£ R «te

de = - (—j .

e \ deù c

«te d R\

andt ’ £e dR\ l v

‘ Déterminons d’abord les inégalite's relatives à l’angle 2 (5 ti't — 2 nt), et qui ont ( 5ri ' — 2n y pour diviseur. Elles résultent , comme on Ta vu précédemment, de la partie de cPR.qui dépend de la variation des moyens mouvemens de m et de iri ; en ne considérant que ces termes * on peut supposer (n° 49)

> {5m\/ a+'iw'ÿ a'\ r /. „ n ~ .

■fR= j •CPsm* ~ *WÛ -

les quantités P et P' ne devant plus s'étendre ici qu'aux termes de la fonction R ^relatifs à l’angle 5 n't — znt, qui dépendent: des cubes et des pro-r duits de trois dimensions des excentricités et des inr clinaisons des orbites.. • . *

Pour avoir Jes différences partielles et > iî

faudra, d’après ce que nous avous dit n° /+6\ différentier l’expression précédente par rapport à co et par rapport à e, saris faire, varier les constantes introduites dans^ePR par les variations des moyens mouvernens nt ét n'ts Pour cela> d’après la forme de cette expression, il suffira de différeutier, relativement à ces constantes, les facteurs entre les crochets, èn rë-

a, 4 THÉOBIE ANALYTIQUE >

gardant comme invariables les facteurs compris entre

parenthèses. En observant qu on a, par le o® 36, ;

dp'! dP 9 ‘dP* ^rdP'

du e de 9 j du * ^ 5e ^

on trouvera ainsi

p ^ p^ r de

COS “XCL

J.cTR 3 m'*an* /5m y/a-f-W V/fl'\ j / /p ^ jy cc

7JÏ ““(5*'— ™)a V m'l/^ / » ^

f /D/</P\. ti4P'\ y . ' !

P2.-LP'iEl -i»

Je rfe .

d. JR j fin, \Ze-t-im' h (p dP p, V

de < c(5nv— a«)* \ • ■ ni*\/a' • /Vv\Ve '» < *»*•- *1

■ . ; ...... iV *

En substituant ces valeurs- dans les formules (c) f et en intégrant ensuite, on aura les inégalités correspondantes de £e et de où. * ' i : * ï ^ : '

Considérons maintenant la partie de cfR qui résulte des variations des autres élémens des orbites dé m et dé m'. Eu n’ayant- égard qu’aux inégalités dont nous nous occupons, on peut faire y =*À, et en observant qu’on a . : ; ^ -, ^ r; . Vl . -

dP

dP

de 9

du

dP

dP

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on peut supposer simplement

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Pour obtenir les différences et fl fou ,