a» de
dra, comme précédemment, diffërehtier cette expression, en faisant varier les facteurs entre les crochets, et eh regardant comme constans ceux qui sont compris entre parenthèses. En observant que, d’après
lès équations (d), on a • -■ -< v -- -f ; > >
Je # Je* ' ded* ^ .,:.Je *~4*£*>
J» P JP' J*P' J>P
dyda e dedy 9 T * • r
J*P JP' ... ^P'
JP
dydl T d y ^7 * dyi dydn
ët en substituant pour cfe sa valeur (n° 36) ,
* . m'jn /JP . . JP' , ... \ , r
de s= — — ( -j - sin a + — cos aj
/, 5/î' — 2W \dç
on trouvera , toute réduction faite, 1
JP d'P de de*
JP' d*P
Sâ.tR te JR\
rd'anc J i fV JF\* /^P\H *'" ** * 5 n' — an j a de ) \JJ J J a
, JP JP '+7de"d7™**
mrddn'e f JP d'P dP d'P ~\
m'(m’nn +mdn)e /JP d'P
mrddn'e / dP ' 5a" — an \Je-'
- ■ * * \ de de' dd de de J
5d — an \dy dedy
dP1 J» P\
dy t tedy/
JP d'P de de *
JP* d'P
de de*
m'*an ) JP dP .
'W=hJr *73717 im“
mm'dn fdP d‘P 5 n'—*n VJ? de de'
dP^ J-P'N
dd 1737 J
. m'jtn an -f ma' ri) f’dP J* P dP’ d'P ^ 5 n — an v J> dedy dy dedy J ’
' Si l’on substitue ces valeurs daus les formules (c) , et qu’après avoir intégré on joigne les inégalités résultantes à celles que nous avons déterminées précédemment/ on trouvera, en n’ayant égard qu’aux parties non périodiques , ' 5 •
3m'*a*n’t /5 m\7â-*-pm'\/a'\ ftv JP
+ m't/â' A de'
m'*q'nHtJp d* P dP d9P' JP' d* P JP d*P**\
+ Sn' — m m Je Jè* Je Je* riy dedy
dy dedy\
d'P JP d'?* dP' d'P dP d*V' n
dedt/ de' de^nf dy dedy dy dedy J ’
L Je
mm'aa'nh't T JP*
5 n'— -are L Je'
3nJ‘a»n*t
an)*e \ m' V?
m'*a'n't (VP J* P , JP' J» P7 , JP J»P , <T ■i’P'} Je* + Je Je* Jv dedy’'" dy dedy J
«"a'n't / Swt^a-^am'y/a'X fp JP . p, JP7 ~)
?P«w)*e \ i»VÏ J L Je Je J
d* P , dP J*P' , JP J*P , JF J’F y
j^Je' de' dede dy dedy dy dedy J.
Dü SYSTÈME DU MONDE. 217
Ces ternies croissant proportionnellement au temps /, introduisent dans les expressions des variations séculaires de l'excentricité et de la longitude du périhélie, des inégalités dépendantes du carré des forces perturbatrices , qui deviennent très sensibles dans la théorie de Jupiter et de Saturne. v‘
En considérant ensuite les termes périodiquès, on aura • 1 - 1 ■ * •*
(én'-aw)3 ’
5 m\/ a-j-im' a'y m' \/ a '
4(5 nf — 2 «)ae
( , dPdP' . /e. , N
irt*îT •-^-«raa(5 n!t — anf-f-5# — a<)
Ces formules détermineront les variations périodiques de l’excentricité et du périhélie de Tofbite de m, dues au carré des forces perturbatrices, et relatives au double de 'l’argument dé la grande inégalité ; ces variations introduisent dans l’expression de la longitude vraie une inégalité à longue période/, qui acquiert une valeur sensible dans la théorie de Jupiter et de Saturne. . ! ‘
53. Pour la déterminer, en nommant v la longitude de m dans son orbite elliptique , et en ne considérant que le premier terme de l’équation du cen**
ai8 théorie analytique
tre , on a • . . .
v z±z fnât + ê + ae sin (fnrft -f- é — *>).
Désignons, comme précédemment, par la caractéristique <f les yariations dépendantes de la première puissance des forces perturbatrices, et par la caractéristique J'1 celles qui sont dues au carré de ces forces. Si dans l’expression précédente on augmente les élémens de l'orbite de m considérée comme une ellipse variable de leurs variations, on aura Toébite
’ . . * J . \ m.' fc • '
troublée
V = f 4-^ ndt-i-% — ûr-f-<r«-f-{T/i — /‘a»*— i
la partie de cette .valeur qui dépend simplement des masses etc., est celle que nous avons examinée
dans la première approximation.
Si l’on développe donc l’expression précédente , en n’ayant égard qu’aux inégalités de l’ordre du carré de la force perturbatrice, qu’on observe que les inégalités de cff€ et (/■«)•, dépendantes de l’angle 2[5n't — 2n/-f-5e' — 2 *), sont insensibles, n° 5o, qu’on a d !a illeurs dans l’orbite trouvée en sorte que les inégalités dépendantes du même angle, introduites par la variation du moyen mouvement, s’obtiennent en augmentant dans la partie elr liptique, comme nous l’avons dit «° 49» l’angfô nt de £ -j- , la quantité $ £ étant déterminée par la
formule du même numéro , on aura
CS» -+• — « (*,)» -f. *io (rit. -K* — <»1 . ,V •
— [le fa + ite ta — a£/c] co« (n< -+- 1 — a). .
Cette expression devrait contenir encore des deux
Dü SYSTÈME DU MONDE. 219
termes Sa> et -{- 2S.e Se ; mais ces termes ,
comme il est aké de s’en convaincre, ne dohneraient que des inégalités insensibles relativement à celles que nous considérons, .* *
Si au lieu de Se on substitue dans cette expression sa valeur donnée n° 5a, et au Jieu de £ et de Sco
leurs valeurs déterminées par/ les formules
£ — 7^— -^y, [P'sin (5n't — an/ -f-5»' — a«) — P cos (5n't— an/-f-5/ — a*)],
; - nSdw fdP' «. /(» , * ■* . , ,x * dP . ; # ‘.T
e«fa» = — — — sip (5n / — int+Df — a *)— cos (5n/£-J-an/-f-5« — 2f) j. > . *
qu’on remplace ensuite S'e et S'& par la partie périodique de leurs valeurs donnée par les formulés précédentes, on verra que les inégalités qui ont ( 5n ' — 2 n)% pour diviseur disparaissent d’elles-mêmes ; et en négligeant les inégalités dépendantes de l’angle /**+€ , parce qu’elles peuvent être supposées comprises dans l’équation du centre, on trouvera
(5rt'-an)* \ m' [/a ^ (p —b P^cos(|on,/-5/i<+io*'-5«+«)<
Par. une analyse semblable, où trouverait^pour ,lé$ variations séculaires de l’excentricité et de la longitude du périhélie de m! , dues au carré de la farce perturbatrice,
, /5 m\/ a +->m‘Va'\ fIV d? d?' 1 Yr
(5 \~= my~ |/ de' “ ” de' J
y r t/P/ ^p^£v*p' «/P' d»p . ^ dp
S’/i' — ira L ^ de'** de( 5e7** . tly de' dy dy de'dyj
^ dedef dy d&dy 'dy de'dy J1
rhm'âa'nn't f dP". d'V dP W*F . dP' «/*P «/P d'P'1}
’ v t de ' de dtf ; «25F
3m*/»*A'/ f5m[/a-i-im'[/a'\ fD JP , „ rfty
' (5nV- an)
rfrt rf»P' dy de'ily J rfP' a*P'-| rfe'rfyj’
l*rfP rf»P rfF d ^ dP «
""r” (5n# — an)e' |rf? rfe*’ de' de'1 dy di
mm'aa'nn't fdP d1 P rfP' d' P' ctP d' P
(5n'— an)?' ■[ rfe • rfë2? **" de de de' dy de'dy ‘ rfy
et pour les variations périodiques de ces mêmes élçmens, dépendantes de l’angle 2(5nf t—2nt+5^ • — 2e), on aura .... .
^P ^.-f-P'^^sin a(5 n't — a nt+ii/ — î«)
(dp' dP\
P'j-7 — P J c<>« a(5« 'l — ant+5i' — a*)
a(5n'*an)>a''
a — «ina(5n'l^-a»it+5«' — a»)
Sn'^an).'
' . ( LW7 \<‘e'J J , .jW
- > ’ JT» JtlN
Sm^a’n1 /5?> \/ n+w1
a(5n'-an)Ja'
(P *m »(5n''— a‘) J “ <T**(P S+p,ê) cbs )
?u 1 hoi$m^èi
|sina(5«'t— an<-f-5i'-a«) / :'t — ant -4- 5»' — ON) ; (
/ *■ '.tfM» y
a(5 n' — an)’e':
) , dP rfP' ,
f-a5? 57co*a(5nl
d’où l’on conclura qu’en vertu des termes dépendans du carré de la force perttn'batrice , la longitude 'vraie de Saturne est affectée de l’inégalité suivante
*— JT»/ jr'”l
sin — 4,,^+9^, — 4'+®’)
3m,n,n'i /3m [/ nd-im' l/n'>
. Sm’n’n5 /3m^ (5n'-an)V^
rP^;P^i
r rfrf rfe'J
rP^+pÆi
L rfe' +V de'.
<Kjs(gn't— 4n*+9«'— 4H-»')-
On peut déterminer immédiatement , et sans aucun calcul, les deux inégalités précédentes de JV et eJV au moyen des inégalités déjà calculées dans
DU SYSTÈME DU MONDE. ia,
la première approximation. En effet, si l’on représente par K sin (5rit — 3 nt -f- 5é' — 5e -f- B) l’inégalité de m dépendante de l’angle 5n't — 5nt^~5t'~5e, et par H sin (5rit — 2nt -\- 5e' — u *+ A) là grande
inégalité, ou celle qui dépend de l’angle
5n't — 2nt -f- 5e' — 2g, l’inégalité de JV, qui dépend de l'angle ro h't — 5nt -f- 10 i' — 5g pourra se mettre sous cette forme î • *•
i (5m V/a-Hn/y/o'> ^
sin (ton'f — 5nt 4- lot' — 5i + A-f- B).
Soit de même K.'sin(4»,< — mt- \-\i — ag-f-B'), l’inégalité de m' dépendante de l’angle 4 n’t — — 2f, et — H' sin ( 5 n't — znt -f- 5g' — 2g-f- A')', la grande inégalité de m', l’inégalité précédente de JV pourra prendre cette Forme :
i (3 ml/ a 4- . , , , .
j ; -t= ff K «in (y» t —'int -f- 9*' — 4* + A -f- B').
ni y a
54. Déterminons maintenant les inégalités des inclinaisons et des longitudes des nœuds, correspondantes
(*) Il suffit, pour s’en convaincre, d’observeï que parles n°‘ 35 et 36 onaB=» + f, A = &,.• K = —
5n — 27i de
T, 6tw’ n*k , , ,
H±: ^ Si Ion développe 1 expression précédente,
çt qu’à la place de k sin£, k cos G, ^ sin G, ^ cos G, on
substitue leurs valeurs ea fonction de P et P', n° 3o, on retrouvera identiquement l’inégalité de tv déterminée plus haut. *
aux précédentes. Pourlcela nous observerons que et <p' étant, comme précédemment , les inclinaisons des orbites de m et je mr sur un. plan fixe, et ct el eàï les longitudes Me leurs nœuds' ascendans , si Ton nomme y leur inclinaison mutuelle, et fl la longitude du nœud ascendant de m' compté sur l'orbite de my et qu'on considère le triangle sphérique compris entre ces trois plans , Qn aura -
sin y sin (n — a) = sin <p ' sin (a' — et) ,
sin y cos (n — et) = sin<p'cos0cos(a' — et)— sin<pcos<p'.
Si Ton suppose donc
\ P, =.sin y sin n , Q^sin^cosn, . .
et, comme précédemment, * ' .
p = sm <p sin et , p7 = sin <p' sin a',
? = sin (p c osa , . = sin (p' cos a! ,
en multipliant par ^in <p les deux équations précédentes , on aura , * ' x ^ .
-p'^H'-kp’+q'W i -/‘-Y* •
Si de ces équations on tire les valeurs de P, et Q , en observant qu’on a
on trouvera
JLl
PP + q<ï__ t n p2±3L 1 i
*-hÿ i ya — /»*
» 7 > /*+ • . * i -{- 1/ i— pa— cf y I -f |/7 — p'* + qr%'
Si, comme nous le faisons, on prend pour plan fixe celui de 1 orbite de m à une époque donnée , p et q seront de l’ordre des forces perturbatrices, et l’on . aura, aux quantités près de l’ordre du carré de ces forces
, , . . Q/=?' — gVi— p'1— q'%.
On a d’ailleurs y/i — p'* — q,% = cos y; en négligeant donc les quantités de l’ordre du carré des inclinaisons mutuelles des orbites.
Ces valeurs sont conformes à celles que nous avons trouvées n° 86, livre II; mais l’analyse précédente montre de quel ordre sont les quantités négligées.
Si l’on différentie par rapporté la caractéristique cf, en observant qu*en prenant poy l’origine d’ou les longitudes sont comptées , , l’intersection commune des deux orbites, ce qui suppose n=o, on a Ji’Pt = ySU, JNQ/ = cTy, et que les inégalités de Spe t jy 9 d &£q etjq'y sont liées d’ailleurs par les équations ordinaires,
2a4 - THÉORIE ANALYTIQUE
on aura
yp-
Maintenant, en n’ayant égard qu’aux termes que nous considérons, en vertu des formules du n°4>
on a
— andt.
dy y
ydïl *
En différentiant, par rapport à y et à 17 , les deux parties de la valeur de «TR donnée plus haut, n°52, et ne conservant que la partie constante de cette différentielle, on aura *
f./R. 3 m'Mn* /3m \/ a -f- am' \/ a’ \ / t/P t/F\
dy ~ (5n' — an)9 \ r m't/ô7' / V (
5 n' — un dedy de dedy J
m ma* rtf
lv</e'
de'dy de'
de' dyy v
m'(m'nn ■
