G8 • THÉORIE ANALYTIQUE

Connaissant ainsi à peu près la distance périhélie et . l’instant du passage delà comète en ce point, on pourra s’occuper immédiatement de la recherche de sa véritable orbite, par les méthodes des n0’ 19 et ai.

Détermination de l’orbite de la seconde comète de i8o5.

24 • Nous nous proposons de calculer l’orbite de cette comète en employant trois observations séparées pâr des intervalles de temps inégaux , afin de donner un exemple de l’emploi des formules contenues dans le n° 1 4* Nous avons choisi la comète de 1 8o5, parce que son orbite a déjà été calculée par plusieurs autres méthodes, et qu’en comparant leurs résultats aux nôtres, on pourra mieux juger du degré de précision auquel nous atteindrons.

Voici trois observations de cette comète, corrigées de l’aberration et de la parallaxe , et évaluées en temps moyen compté de minuit à Paris :

Epoques. Longit. observées. Lath. observées.

Novemb. 23^2241 <^0.24®4,, 4" ô°. 27° 25' 35" 3o,5iog5 a. 15.3g. 40 b. 1g.25.28

Décemb. 5,2g58i a. 2. 7 . 1 1 b'. 3.20-45.

Les tables de Delambre ont donné la longitude et le rayon vecteur du Soleil correspondant à l’observation moyenne , et l’on a trouvé

lieu du ©-f- 1800, log. R,'

Dans cet exemple, on a 0 = 7 . 1 8854, ô' = 4 • 78486, en ajoutant aux logarithmes de ces quantite’s, le logarithme constant 8.2355821 , on forme les suivantes :

log.tf =9.0922228, log.C = log.-y- =9.0127696, log. «' = 8.9154514, log.«" = log . = 8 . 3 1 54287 .

Si au logarithme de Ô' — 0 on ajoute le logarithme constant 3. 5500073, on aura l’arc correspondant du moyen mouvement du Soleil exprimé en seconde»;

on trouve ainsi -y- =— 4/ — 23". En joignant

cette valeur aux quantités renfermées dans le tableau précédent , et en faisant, pour abréger, A+$0"y=A„ on formera les suivantes :

Cela posé, on commencera par calculer les trois quantités C0,, C,, C',, comme nous l’avons expliqué n° x5, c’est-à-dire au moyen des formules (C), dans lesquelles on changera simplement A en A, ; on trouvera ainsi

C°1=o. 2748775, C,=-o.432444i,C'i=+o.i685Io5;

d’où l’on conclura

cos b / r* o

Wct — 214*2618.

La quantité D se calcule par la formule (D), et l’on

trouve

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations (2 5), on aura . ;

on forme d’ailleurs aisément les quantités suivantes qui entrent dans les équations (a) et (£), n° 14,

r s- x .oi4545 , e sin (A — &») — o.oo86865

(2R cos Cj= — 1.124717.

Au moyen de ces valeurs , les deux équations à résoudre pour la solution du problème deviendront

d’où l’on tire, après quelques essais ,

Les formules (20) donneront ensuite

x= i.o45256, x,= — o.43oi53,

z= 0.034812, zt = — 0.377434,

d’où l’on conclura

log . (xy,—xj) =0.1071 562 , log-(^z — JTZ/) == 8.i48763i , ,

log.^Z XZt) = 9.5792535.

Le signe de la quantité xyt — xj étant positif, on en conclut d’abord que le mouvement de la comète est direct. Si l’on nomme a, la longitude de son nœud et i l’inclinaison de son orbite sur l’écliptique, on aura

tang et = ^ — — = 8 . 5695048 ,

xz, x,z

ce qui donne a = 2e 7' 5 1 ", ou bien a = 1 82° 7' 5 1 on trouvera ensuite

xz, — xz . .

tang / =; — . = q. 4724010,

& {xj, — ^*y)*cos I V

et comme tang i doit toujours être une quantité positive, on aura

i — i6°3i'45', tt = i82°7,3i',

et a sera, n® 16, la longitude du nœud ascendant de l’orbite sur le plan de l’écliptique. La distance périhélie se déterminera par la formule

D=i(2sfj;y=“-89— • ...

En calculant directement cette valeur par la formule (5o), on a trouvé 0=0.891121 , résultat qui diffère très peu du précédent.

De là on conclut l’anomalie correspondante à l’observation moyenne par la formule

COS*ïl» = — = 9. 9290507 , ce qui donne v = 4^° ^7' 32".

Le temps* que la comète emploie à décrire cette anomalie se détermine par la formule

* = (2D*)ï . (tangio + i . tang3 { v) . [1 .7644179].

En substituant pour D et v leurs valeurs , on trouve

(2D3)*.... 0.0754208 tang a v. . . 9 . 6258938

-jtang*^ v... 8.7706665

Le temps t est l’intervalle qui s’écoule entre l’instant de l’observation moyenne et celui du passage de ' la comète au périhélie. Pour savoir quelle est celle des deux époques qui a précédé l’autre, il faut calculer la quantité s ou seulement déterminer son signe par la formule

j = xx, +jjrt + zz,.

Ici s est négatif, et il en résulte par conséquent que la comète s’avance vers son périhélie. En ajoutant donc à l'époque de l’observation moyenne, c’est-àdireau 3o,5iog5 novembre, l’intervalle de 5o^,8o456, on aura, pour l’instant du passage au périhélie, le 5j,3i55i décembre.

Déterminons enfin la position du périhélie sur l’orbite; on aura

tang <p = — (8.8761980), d’où l’on conclut , n® 16,

on aura ensuite

ce qui donne ar = 173° 18', et l’on aura; par conséquent, pour le lieu du périhélie sur l’orbite

En réunissant les diverses quantités que nous venons de trouver, et ajoutant 68°25'4i,,> ou l’angle A , à la longitude du nœud et à celle du périhélie, pour que ces longitudes soient rapportées comme à l’ordinaire à la ligne des équinoxes, on t- aura, pour les élémens de l’orbite,

Passageau périhélie.,., décembr. 3i;,3i55i,

Distance périhélie 0.8911 22,

Lieu du nœud ascendant 25o°33' 12',

Inclinaison 16. 3 1.43,

Lieu du périhélie 109. 28.44»

Sens du mouvement direct.

Rectification des élémens de l’orbite de la comète de 1824.

25. Nous nous proposons maintenant d’appliquer à la comète de 1824» la méthode que nous avons donnée pour arriver à une connaissance exacte des élémens de l’orbite d’une comète, lorsqu’on connaît à peu près la distance périhélie et le temps du passage au périhélie.

Nous avons choisi , pour corriger ces deux élémens, les trois observations suivantes :

Époques.

Longitudes observées.

Latitudes observées.

Août. . .

Septembr. 5,9100

Les lieux du Soleil correspondant aux

mêmes

époques et calculés par les tables de Delambre donnent

Longitude O - l»g. R.

l52°2l'*Ï8'' O.OO60678

Supposons que par les premiers essais on ait trouvé pour la distance périhélie 1 . 04698 et pour l’époque du passage le 285,,”,5i55; calculons avec ces élémens approchés les angles U, V, U' et V' par la méthode exposée n° 18. Voici le détail de ce calcul :

Pas. pér. sept. 28, 3 1 53 t. . » i-7355oi5 v°=58° 3o' i3"8

Ep.don.addt. 4>927^ D®. o.o2gi35i cos'j.tf. 9.9407553

tr.

- • !• . ii

. l:.v üuJ

, . long- ©•

eos* £v°. .

g.88i5io6

long.comèt. 25a. 32. 28

o.i37gra8 ’ - -

élong. C*TS— i2o° iô' 3o"

cosC'TS..

cos b°.. . .

cos CTS. .

CTS..

iog°36' i4"

sîn CTS..

SCT..

1 • • 1 CST..

sin SCT. .

sin CST. .

gin 5®.

OinCTS.

sin A®. .

cos CST. .

îat. iiélio. 2°..