COS A

en différenciant logarithmiquement , on en tire «T . (TSC')=cotTSC' . [tangCST . «P. (CST)-tangX . tfA]; d’ailleurs eJ\ (TSC') = cf<p ; on aura donc enfin

ïtp = cotTSC'. (tangCST . tang SCT . — — tang a. «T'A). (6)

On déterminera par les formules (a) et ( b ) les varia-

lions de la latitude et de la longitude héliocentriques, relatives aux époques des trois observations que l’on a choisies pour corriger l’orbite. Maintenant si , pour faciliter le calcul de l’angle U , on suppose un angle auxiliaire A déterminé par l’équation

sin* t A = cos* { (<p — <p°) . cos A° . cos A, ce qui donne en différenciant

<IA=— tangiA. [tangK?^”M^-Ap°)+tangA^A0+tangA.«lA], (g) on aura

sin* v U = cos j (A -j- A0 -f- A) . cos î ( A -f- A° — A) , et par suite

tangi(A+A»4-A)(/A+/A°-f dA) i +tangi(A4-A°-A)(<h+i>’-«I'A).l W

En substituant dans cette équation pour «T A , «TA* et «TA, leurs valeurs précédantes, on aura celle de «TU exprimée en fonction de <f D et de J't. On déterminera de la même manière «TV , en observant que l’on a J V — Sv — cJV°, et que «Te et JV° sont données par la seconde des formules (o'). On aura donc entre les variations S' D et S't deux équations de cette forme ;

■ ~ <TU = m.J'D n.JV, i .v

fY.= p.fD+ç.fi; I , . y}

d’où, en observant qu’on a «PU — J'V = V— -U, on tire

■i (irt— -p}. cTD-H(n — ÿ).«T/=V— U. (e)

DU SYSTÈME DU MONDE. 5g

On trouvera une équation semblable en combinant

la première observation avec la troisième; on aura donc deux équations qui ne renfermeront d’inconnues que les variations SD et St, et qui suffiront par conséquent pour les déterminer. Si le calcul était exact , on aurait ainsi immédiatement les valeurs de la distance périhélie et de l’époque du passage qui satisfont le plus exactement possible aux trois observations données; mais comme ou a négligé dans la formation de l’équation (e) les quantités du second ordre, il faudra, à l’aide des élémens corrigés, recommencer les calculs précédens , et l’on déterminera ainsi les corrections de ces nouveaux élémens. Dans certains cas, on sera même obligé de répéter une troisième fois ces opérations; mais elles n’ont rien d’embarrassant, et le calcul des premières corrections facilitera celui des suivantes.

20. Quand on sera ainsi arrivé à une connaissance suffisamment exacte de la distance périhélie et du temps du passage, voici comment on déterminera avec le môme degré de précision les autres élémens de l’orbite. On substituera dans les équations (à) et (Z>) pour St et «TD leurs valeurs résultantes des dernières opérations, et l’on en conclura les valeurs exactes de la longitude et de la latitude héliocentriques de la comète pour les époques des observations données.

Si l’on compare ensuite entre elles la première et la dernière , on aura pour déterminer l’inclinaison i de l’orbite de la comète et la longitude a de son nœud sur le plan de l’écliptique , les deux formules

sin ÿ — 9°)

COS l = -T— 7 ^ . COS A . COS A*.

sin(f> — v )

sin (<p — - a) == tang A . cot i.

Dans la première de ces formules, il faut avoir soin de prendre l’angle v — de même signe que <p — p°, parce que l’inclinaison i est toujours supposée moindre que go°. La seconde donnera pour l’angle <p — cl deux valeurs comprises entre o et i8o°, et il en résultera par conséquent deux valeurs de a. Pour déterminer laquelle il faut choisir, on remarquera que par la première observation , on a pareillement sin ( <p° — a) = tan'g A° . cot i ; on prendra donc la moyenne entre les valeurs correspondantes de a , et l’on saura, par ce qui a été dit n* 1 6, si c’est au nœud ascendant ou au nœud descendant de l’orbite que cette longitude se rapporte.

Le signe de <p — <p° indiquera, selon qu’il sera positif ou négatif, si le mouvement de la comète est direct ou s’il est rétrograde. Enfin on aura le lieu du périhélie sur l’orbite par la formule (29) du n° 16.

21. La méthode que nous venons de donner pour corriger, par les formules différentielles, lesélémensde l’orbite qui résultent d’une première approximation, est très exacte et très sûre, mais les calculs quelle exige demandent quelque attention ; celle qu’on trouve dans la Mécanique céleste a l’avantage d’être pour ainsi dire mécanique , les mêmes calculs se reproduisant toujours pendant toute l’opération. Voici en quoi elle consiste. On suppose connus à peu près la distance

Oigitizecrtiy Goq^Ii

périhélie et l’instant du passage par ce point, et en partant de ces élémens et des observations , on détermine, comme on l’a vu plus haut, les différences d’anomalies de la première à la deuxième observation, et de la première à la troisième. Soient U et U' ces deux angles ; en les comparant aux mêmes différences d’anomalies que donnent immédiatement les deux élémens approchés, et que nous désignons par V et Y', on aura

On fera varier d’une très petite quantité la distance périhélie , et l’on calculera les mêmes résultats dans cette seconde hypothèse. Soient n et n! ce que deviennent alors les quantités met m'; enfin, en conservant la distance périhélie de la première hypothèse, on altérera un peu l’instant du passage au périhélie, et l’on calculera encore les angles U — V et U' — V'. Dans cette troisième hypothèse , désignons par p et p' ces angles, et soient u et t les nombres par lesquels il faudrait multiplier les deux variations supposées dans la distance périhélie et dans l’instant du passage pour avoir les véritables , on aura les deux équations suivantes

(m' — n') . «+ \m' — p') . t=zm'. J

On tirera de là les valeurs de u et t, et l’on aura par conséquent les corrections de la distance périhélie et de l’instant du passage de la comète en ce point. Si les valeurs qui en résulteront n’étaient pas suffisamment exactes, on recommencerait avec ces deux

6a THÉORIE ANALYTIQUE

élémens corrigés les calculs précédens, et, après quelques essais , on parviendrait à connaître la vraie distance périhélie et l’instant du passage au périhélie qui répondent aux observations données.

22. Si l’on voulait déterminer l’orbite avec encore plus de précision, au lieu d’employer dans le calculdes corrections de la distance périhélie et de l’instant du passage, trois observations seulement, on choisirait, parmi les observations de la comète, celles que l’on supposerait les plus exactes, et en les comparant deux à deux, on formerait un système d’équations semblables aux équations ( d ) ou aux équations (e). On combinerait ensuite ces équations de la manière la plus avantageuse pour en tirer les valeurs des quantités qui doivent servir à la correction des élémens de la première approximation, et l’on déterminerait ainsi l’orbite qui satisfait le plus exactement possible à l’ensemble des observations connues de la comète.

Il peut arriver dans certains cas que, malgré les précautions que nous venons d’indiquer, l’orbite corrigée ne représente qu’assez imparfaitement encore les résultats de l’observation; c’est qu’alors sans doute le mouvement de la comète n’a pas lieu dans une parabole, comme nous l’avons supposé, et que son orbite est elliptique ou hyperbolique. Cette dernière espèce d’orbites intéresse peu l’Astronomie.

. Quant aux élémens de l’orbite elliptique, on peut les déterminer par une méthode d’approximation semblable à celle du u° 21 , lorsqu’on a déterminé par les méthodes précédentes la parabole qui représente à à peu près le mouvement de la comète. Pour cela,

Dlgitiza

on choisit quatre observations exactes qui embrassent toute la partie visible de l’orbite , et 1 on calcule les angles Y et U relatifs à ces observations dans quatre hypothèses, d’abord en employant les élémens approches de l’orbite parabolique, ensuite en faisant varier la distance pe'rihélie; troisièmement en changeantseulement l’instant du passage, et enfin, en conservant la distance périhélie et l’instant du passage de la première hypothèse et en supposant une orbe elliptique très allongée, en sorte que la différence i — e de son excentricité à l’unité soit une très petite fraction. Les formules du n° 26, liv. II, serviront, dans ce cas, à déterminer le rayon vecteur/1 et l’anomalie v correspondans à chaque observation. Cela posé, en nommant respectivement u, t, s les nombres par lesquels il faut multiplier les variations supposées dans la distance périhélie dans l’instant du passage, et la quantité 1 — e, pour avoir leurs véritables valeurs, on formera trois équations semblables aux équations ( à ’) qui renfermeront chacune ces trois inconnues, et qui serviront à les déterminer.

Nous ne faisons qu’indiquer ici cette méthode, parce que les résultats qu’elle donne laisseront toujours beaucoup d’incertitude sur la durée de la révolution de la comète qui est surtout importante à connaître, et que le seul moyen certain de la déterminer est d’attendre que l’on ait observé un nouveau passage de cet astre à son périhélie.

Pour faciliter l’usage des méthodes que nous venons d’exposer, nous allons en faire l’application à deux comètes, dont l’apparition a été assez longue pour

fournir un nombre d’observations suffisant à la détermination exacte de leurs orbites.

Détermination de l’orbite de la comète de 1824.

a3. Parmi], les observations connues de cette comète, nous avons choisi les suivantes. Les époques sont évaluées en temps moyen à Paris, compté de minuit.

Août. Longitndes observer**. Latitudes observées.

i6'933o8, a8 237° 27' 12", b°55° 19' 4?>" B. 22,qoi53, a 23o.5i.33, b 57.42.22, 28,87972, 224. 6.3o, 59.33.58.

On a calculé au moyen des tables du Soleil la longitude et le rayon vecteur de cet astre pour l’époqufe de l’observation du 22 août , et l’on a eu

long, du O -f- 1800, log. R,

Ensuite, pour faire usage de la méthode exposée n85, et avoir des observations équidistantes, on a déterminé la longitude et la latitude de la comète pour l’époque du 28,8i“, 86998, au moyen de la formule d’interpolation connue

Z — ———————— . (I . Cl -f- — . Cl .

mn m(m-j-n)

dans laquelle a0, a , a sont trois longitudes ou trois latitudes observées aux temps t — m, t, t-{-n respectivement, et z la longitude ou la latitude cQrres^

DU SYSTÈMErDÜ MONDE. 65

pondante à un temps quelconque t -\-p intermédiaire entre ceux-là.

On a trouvé ainsi, en employant les trois observations précédentes,

Août. Longitude interpolée. Latitude interpolée.

Au moyen de ces valeurs et de celles que renferme le premier tableau , on aura les suivantes

6 = 5^,96845, A — 92* ii' 25",

A — o'= io5.3i .3i .

Au logarithme de 6 on ajoutera le logarithme constant 8.2355821 , ce qui donne

log . 6 ==9.01 i44^7-

Cela posé, ôn commencera par calculer les trois quantités C°, C et C' au moyen des formules (C), n°5. On aura d’abord

sin(A — a'). . .9.9838575 sin(À — a). . .9.994 1776 tang b. .. o. 1992660 taug b' 0.2309648

nombres -f- 1.52448 5 — 1.680476

On trouverait de la même manière , Tome 11.

0 = 0.507764, C' = — o. i536oa.

A l’aide de ces valeurs, on formera celles des quantités P, Q, H, qu’on calculera par les formules du n° 9 ; on aura d’abord

et ensuite

; log C°i . .9. 1930996 log C' 9.1865969

sin(A-û'). . .9.9996826 sin(A-a'). . .9.9838573

log . . . . 1 . 2280986 log . -çg- . • • 1 • 2280986

nomb. — 2.6556o8 4-2.5o2377

On calculera de même les quantités Q et H, et l’on aura P— — o.i33^3i, Q3=— 0.594359, H=o. 607135.

Les quantités et gsin (A — ®) se détermineront

par la méthode exposée n° 8 , et cos c par l’équation cos c = — cos (A — a) . cos b. On aura ainsi

inif!==o.989249, esin(A-*0=-o.o) 28622, cosc... 8.9276863; R ,

et les deux équations (18) et (19) deviendront en y

substituant ces valeurs

^=(1 .o2i56£) — ai +{’

DU SYSTÈME DE MONDE. * b7

Pour résoudre ces équations, on fera sur les valeurs de p et de r une première hypothèse, dans laquelle on sera dirigé par les remarques du n° 7; on substituera ensuite r-j-ef/' et f-f-J'f dans les équations précédentes , et en négligeant les carrés des corrections très petites JV et J'f, on aura entre ces quantités deux équations du premier degré qui serviront à les déterminer ; on parviendra ainsi, après quelques essais, aux vraies valeurs de r et de f. On a trouvé de cette manière

d’où l’on a conclu, au moyen de la formule du n* 17, s = — 0.565382.

Cette valeur étant négative, il s’ensuit que le 22 août la comète n’avait pas encore atteint son périhélie. Il en résulte pour la distance périhélie

ce qui donne pour l’anomalie correspondante à l’observation moyenne

cos* * v = - = 9 . 9090009 ,

et par conséquent v = 42" 20' 82”.

On trouvera par la table des comètes ou par la formule (28) que le nombre de jours que met la comète à décrire cet ‘angle est de 36,8269, et ce tcidps ajouté à l’époque de l’observation moyenne, donnera pour l’instant du passage au périhélie, sept. a8',7284«