CHAPITRE III
Perturbations du mouvement elliptique des Comètes.
28. Les comètes Sont, comme les planètes, assujetties à des perturbations qui altèrent leur mouvement elliptique autour du Soleil, et qui font varier par degrés les élémens de leurs orbites. Ces perturbations sont en général beaucoup plus considérables pour les comètes que pour les planètes, et elles sont surtout sensibles dans la durée des révolutions. Leur détermination doit dépendre évidemmeut des mêmes principes que celle des inégalités planétaires, puisqu’elles dérivent de la même cause, et la méthode exposée n° i:3, livre II, qui consiste à exprimer l’effet des forces perturbatrices par la variation des constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique, parait être encore dans cette question la plus appropriée à la nature du problème. On dé*termine, en effet, très simplement de cette manière les variations différentielles de chacun des élémens de l’orbite, et il ne s’agit plus que 'd’intégrer ces formules pour avoir tons les élémens du mouvement de la comète dans son orbite troublée. Malheureusement cette intégration présente de grandes diffi ■
cultes. Les excentricités des orbites des comètes étant en général très considérables, et leurs inclinaisons à l’écliptique Variant à l’infini, il n’est plus possible de développer la fonction perturbatrice en série convergente ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de ces quantités, et il faut renoncera l’avantage d’avoir, pour déterminer les inégalités des comètes, des formules qui, comme celles des perturbations planétaires, embrassent un nombre indéfini de leurs révolutions et ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cherchés. Pour intégrer les formules différentielles des élémens de l'orbite troublée, on est obligé ici de recourir aux méthodes d’approximation connues sous le nom de quadratures mécaniques. Ces méthodes consistent à partager la courbe décrite par la comète en portions très petites, par rapport auxquelles on détermine les altérations produites par les forces perturbatrices sur chacun des élémens de l’orbite; différentes formules donnent ensuite le moyen d’en conclure les variations totales de ces élémens dans l’intervalle compris entre les deux extrémités de l’arc de trajectoire que l’on a considéré. On peut déterminer de cette manière les altérations des élémens de l’orbite elliptique pendant une révolution entière de la comète, c'est-à-dire dans l’espace de temps qui s’écoule entre deux passages de cet astre au périhélie; mais les calculs que cette méthode exige dans les applications sont immenses, et il convient de les restreindre autant que possible, pour éviter tout travail inutile au calculateur. Cest ce qu’on peut faire
très simplement lorsque la comète est dans la partie supérieure de son orbite , et que sa distance au Soleil devient très grande, relativement à celle de la planète perturbatrice au même astre. La fonction dont les perturbations dépendent peut, dans ce cas, se développer en série ordonnée par rapport aux puissances descendantes de cette distance, et les expressions différentielles des altérations des élémens elliptiques se partagent alors en deux parties dont l’une est intégrale par elle-même, et dont l’autre, beaucoup moins considérable que la première, peut se déterminer par des approximations successives , aussi exactement que l’on veut.
La théorie des perturbations des comètes peut donc être regardée comme complète, et les travaux de Lagrange sur ce sujet, exposés dans un beau Mémoire qui remporta le prix proposé par l’Académie des Sciences, en 1780, n’ont presque rien laissé à faire à ses successeurs. Sans doute on pourrait désirer, pour déterminer ces perturbations, une méthode dont l’application numérique fût plus simple; mais, par la nature même des difficultés que présente la question, il me paraît douteux qu’on y parvienne, et il est probable que long-temps encore ce sera à la patience du calculateur à suppléer sur ce point aux imperfections de l’analyse.
Nous présenterons, dans ce chapitre, les expressions différentielles des élémens de l’orbite troublée des comètes , sous la forme particulière qu’il convient de leur donner, pour faciliter l’application de la méthode des quadratures mécaniques à leur intégra-
tion. Nous développerons ensuite ces formules pour le cas où la comète est dans la partie supérieure de son orbite , et en considérant les termes de ces expressions qui peuvent s’intégrer rigoureusement , nous donnerons des formules analytiques qui exprimeront, sous forme finie, la partie la plus considérable des perturbations. Nous exposerons enfin le moyen de déterminer par approximation l’autre partie avec toute la précision désirable. Dans le chapitre suivant, nous présenterons, avec autant de détails que le permettront les bornes de cet ouvrage , l’application de ces formules aux trois comètes dont le retour périodique est maintenant constaté.
29. Soient rn la masse de la comète x ,jr, z ses coordonnées rectangulaires rapportées au centre du Soleil dont la masse est représentée par Mj soient x' , y', z' les coordonnées de la planète perturbatrice ni' , rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les premières. Si l’on désigne par r et /•' les rayons vecteurs de m et de m', et que pour abréger on fasse
? 1 = (*' — ■ *)• + (/ —jrY H- (3' — s)» ,
et
R ~ m' • (i — -ff-* **) ,
les trois equatious différentielles du mouvement de m autour de M, en négligeant, pour plus de simplicité , la masse de la comète devant celle du Soleil prise pour unité, ce qui suppose = seront,
n*8, livre II,
D:qitizod by.Giit
DU SYSTÈME Dü MONDE.
d*x , x dR }
dt7 r5 dx’ !
dy ■ y l
dt * r1 dy * f
d‘z z dR \
~dF ~ ~dl’ }
Lorsque R est nul, ou lofsqu’on fait abstractiou des forces perturbatrices, ces équations son! celles du mouvement elliptique : nous avons développé leurs intégrales complètes dans le chapitre IV du livre cité.
Supposons donc que x, y , z soient les trois coordonnées de la comète dans l’orbite elliptique, et x-\-Jx,f-{-<} y, z + tfz, ce que deviennent ces valeurs dans l’orbite troublée, Jx , Jj et J'z étant de très petites quantités de l’ordre des forces perturbatrices ; en substituant x-{-Jx, y-{-Jy, z + éAz , à la place de x,j, z dans les équations précédentes, et négligeant, comme on le fait ordinairement dans la théorie des comètes, les termes du second ordre par rapport à ni, on aura
d\ïx
I tx
dR
dt
— dx ’
3 yïr
dR
dt*
dy’
d\iz
dR
dt *
~ dz’
Si ces équations étaient intégrables, elles donneraient immédiatement les valeurs des variations Jx, J'y et Jz, et eu les joignant aux valeurs des trois
coordonnées x , jr, z relatives au mouvement elliptique, on pourrait déterminer à chaque instant le lieu de la comète dans son orbite troublée.
On peut satisfaire aux équations (B) dans deux cas qu’il convient d’examiner, parce qu’il en résultera des considérations qui nous seront utiles dans la suite. Supposons d abord que la comète s’approche beaucoup du Soleil; les coordonnées x , y , z deviennent
alors très petites , ainsi que les quantités ^ ^ ;
ax dy * dz*
en effet, en développant R, on a
{xx'+y/+uy
-h etc.^ ,
d’où l’on voit que si l’on suppose que x , y, z soient de l’ordre m' , les trois différentielles partielles de R seront de l’ordre du cairé des forces perturbatrices, et les altérations qui en résulteront seront insensibles. 11 est permis, par conséquent, de supposer nuis les seconds membres des équations (A) , d’autant plus
que dans ce cas les termes p, ~ deviennent
très grands. I.e mouvement peut donc être alors regardé comme elliptique, et l’on satisfait en effet aux équations (B), en y faisant «flr, J'y et J~z égaux à zéro.
Concevons maintenant la comète dans la partie opposée de son orbite, et supposons que son rayon vecteur /• devienne très grand relativement au rayon vecteur r de la planète perturbatrice. On pourra développer R en suite convergente par rapport aux puissances- descendantes de /•; on aura ainsi
R—nï. Q+ (xx'+jr'-i- zz') (p — p,)[] + R' ;
en supposant , pour abréger,
En différenciant cette expression de R, abstraction faite de R', on trouve
(fll f F™ X X X 3 r / / | a - n " I
di=m‘\J~? 73 — -^-.{ocx +jry’ +«') J ,
valeur exacte, comme il est aisé de s’en assurer, aux
quantités près de l’ordre — ; la première des équations^) devient donc
d'S'x . i'x 3 xS'r , x' — r x 3x , , , ~1
=m ___.(XX +yy + zz ) J.
dt 1 r3 r*
Si l’on observe que l’on a
jy __ xïx+yty+stz
et que, négligeant le carré des forces perturbatrices, on peut supposer dans les termes multipliés par m!,
æx
di‘
x crx
on verra aisément que cette équation peut s’écrire
ainsi
dt *
dt*
.¥=(^-mx).(7-p)
+ (.h- m'y) • ÿ + (fz - mz ') . ~
go THEORIE ANALYTIQUE
Les e'quations différentielles en Jy et cfz fourniront deux équations semblables. On satisfait à ces équations, abstraction faite du dernier terme de leur premier membre , en supposant cf x= mx' , Jy= m'jr' et J z = ni' z'. Soient donc
Jx=m'x- b£, cfjr= Sz=mz -f-£>
l’équation précédente deviendra
dl*
, d*x y. /3x* i \ , 3ry , 3 xs
et l’on y satisfera en prenant %=j .m'x, n = j . m'y, .m'z. Il en serait de même des équations différentielles relatives à yi et à Ç ; on aura donc enfin
tx—m , fy=m'y' -^-~.m'y , iz~m!z -j-j.m'z.
Telles sont les valeurs de Jx, Jy et Jz qui résultent des équations (B), abstraction faite des termes que nous y avons négligés , et qui sont d’autant plus exactes que la comète s’éloigne davantage du Soleil. Si l’on voulait avoir des intégrales de ces équations plus approchées, on désignerait par J'x, J'y, J'z, les quantités très petites qu’il faut ajouter aux précédentes, pour avoir les valeurs exactes de Jx, Jy, Jz, et changeant dans les équations (B) Jx, Jy, Jz en J'x , J'y, J'z et R en R', on aurait trois nouvelles équations qui serviraient à déterminer ces quantités.
3o. Proposons-nous maintenant de déterminer les variations qu’il faut faire subir aux constantes qui entrent dans les formules du mouvement elliptique, pour satisfaire généralement aux équations (A), au
moyen des mêmes intégrales. En supposant R nul, nous sommes parvenus, dans le chapitre IV du livre II, aux sept intégrales suivantes ,
xj, — xj = c , xp — xz, = d, 1
yz, — zj, = c", -r= cj, — dz, — f, I
ï = c\-cx,-f, î=cV- <!>,-/', |(C)
En nommant, pour abréger, x, , j,, z,, les trois quantités Tl,-£, Z-
La constante a représente, dans ces équations , le demi grand axe de l’orbite.
Les trois constantes c , d, d fixent sa position. En effet, si l’on nomme <p l’iuclinaison du plan de cette orbite sur le plan fixe des x,j, et a. la longitude de son nœud ascendant comptée sur le même plan , on aura
2 = tang <p cos a . y tang <p sin a. . x.
Cette équation , étant comparée à lequation cz -j— dy -f* dx 2= o , qui résulte des intégrales (C), donne
1/P'2 ddj* r"
tang<p = 7 , tanga = — 7.
Les constantes f, f',/1' déterminent l’excentricité et le lieu du périhélie. En effet, soient e le rapport de l’excentricité au demi grand axe, et i la longitude du périhélie projeté sur le plan des x,j, ou
aura, nQ 21 , livre II,
e =>//*+/'*-+-/'* , tang i = •£.
Pour simplifier les formules suivantes, nous prendrons, pour le plan fixe auquel on rapporte la position de la comète et celle des planètes perturbatrices, le plan de l’orbite primitive de la comète; dans ce cas, l’angle <p est nul à l’origine de la période que l’on considère, en sorte que les constantes c' et c' seront de l’ordre des forces perturbatrices. On a d’ailleurs , par le numéro cite',
. r- f'c'+ft0
d’où l’on voit que f" est du même ordre que c* et c"- 11 suit de là que si l’on n’a e'gard , comme nous le ferons , qu’à la première puissance des forces perturbatrices , on pourra négliger le carré de f"; si de plus on nomme co la longitude du périhélie sur l’orbite comptée à partir de l’axe des x , on aura , aux quantités près du second ordre, par rapport à l’inclinaison <p, i=œ; on aura donc simplement, pour déterminer les deux constantes e et co ,
vTW' Vf'+f*
ou , ce qui revient au meme ,
e . sin co = j 7 , e . cos &> =f
Déterminons maintenant les variations des six
Digitizetü^Ç
DU SYSTÈME DU MONDE. g3
constantes a, c, c' , c", f et f. Comme les grandes excentricités et les grandes inclinaisons des orbites des comètes ne permettent pas d’nppliquerai ces astres les formules que nous ayons développées dans la théorie des inégalités planétaires, nous ne suivrons pas ici l’analyse du chapitre VI du livre If, et nous exprimerons les altérations des élémens de l’orbite elliptique par des formules qui contiendront la quantité R et ses différentielles sous la forme où elles sont données immédiatement, c’est-à-dire en fonction des coordonnées de la comète et des planètes perturbatrices. Les intégrales (C), où les constantes arbitraires se trouvent exprimées au moyen des coordonnées de la comète et de leurs différences premières divisées par l’élément du temps, sont très commodes pour cet objet. En effet, nous avons vu n° 37, livre cité, que si l’on suppose à l’une quelconque des intégrales du mouvement elliptique cette forme
a = fonct. (x , y, 2, x,, yt, zt) ,
la même intégrale conviendra aux équations différentielles du mouvement troublé, pourvu qu’on y regarde comme variable la constante a , et qu’on détermine sa variation par l’équation
da
La caractéristique cf désignant ici des différentiations relatives aux constantes seulement, les variations de ces constantes étant lices entre elles par les équa-
tions
llf.Jr
J\r = o, cTj'= o , cTs=o,
* » rfR « rfR . « f/R -
— dx‘dl> °y> — dÿ-* ^z> — lz'dt”
Si l’on substitue successivement a, c, c'y c"’f> f et leurs différentielles dans la formule générale (D) , et qu’on remplace les trois quantités J\r(, Jÿ/f j'zf par leurs valeurs, en observant que z est de l’ordre des forces perturbatrices et que nous négligeons leur carré, on aura d’abord
et ensuite
?.V1. ÎJlO.:
de — ^
XTy-yf*)-dl>
dc'z= dc" =
t:r> frtvr , •ùfct «A «u
dz
df =-(x -Jy -y S) • dj+(xdy-ydx) .
-(r £ 7 * ^ + {rdx-xdy) . g.
Les variations des constantes y, y*', c', c" étant déterminées, on en conclura aisément celles des constanstes e, co, <p et et. En effet, en différenciant les équations [b), on aura
de = sin i o .df -j-cos co.dj, exla = cos co.df — sin a> . df.
'Digitizsdby.G
DU SYSTÈME DU MONDE. g5
Nous avons nommé eo la longitude du périhélie comptée de l’axe des x ; si l’on prend pour cette droite le grand axe de l’orbite de la comète , a> sera de l’ordre des forces perturbatrices, et les équations précédentes donneront simplement
de — df, edcù = d f.
Si l’on suppose, comme dans le n# 44» livre II,
tang tpsin a.—p, tang <p cos a = q f
et qu’on remarque qu’on a, n° 20 du même livre,
+ = 1 — e*) , ce qui donne, en négli-
geant le carré des forces perturbatrices c—\/ a.( 1 — e“), on aura
J de" J de'
dp = , , dq = tt= .
Ces formules serviront à déterminer la position de l’orbite troublée de la comète par rapport au plan de son orbite primitive; il sera facile ensuite d’en conclure la position de cette orbite par rapport à un plan fixe quelconque.
5 1 . Il nous reste à trouver la variation de la sixième arbitraire qui entre dans les formules du mouvement elliptique, et que nous avons nommée la longitude de l’époque. Reprenons, pour cela, les formules de ce mouvement ; en faisant, pour abréger, n = a — » , ou a, n° 22, livre II ,
ni -f- e — a> — u — e sin u ,
= — ; — - — — — - = — ecosnj.
