I -j- f COS (f et

Dans ces équations , nt + e représente la longitude moyenne de la comete , nt -J- e — eo est son anomalie moyenne , u son anomalie excentrique , et v — ca son anomalie vraie.

Soient x et y les coordonnées rectangulaires de la comète rapportées au plan et au grand axe de son orbite , les abscisses x étant comptées du foyer vers le périhélie, on aura

x = r cos ( v — *>), jz=r sin (o — a) ; on a d’ailleurs, en comparant les deux valeurs de r.

i -j- e cos {y — *) d’où l’on tire

sin(v — cd) =

\/ i-e’ .sin u 1 — e co s u

i — ecos u ,

COS (e — Ci>)

cosm — e i — e co s u

En substituant ces valeurs dans les expressions de x et dey', on trouve

x = a. cos u — ae , y = 1 — e*.sin u.

Cela posé, si l'on différencie la première des équations {a), on aura, dans le cas de l’ellipse invariable ,

ndt =. du. — *e cos u).

Cette équation doit encore subsister dans le cas de l’ellipse troublée, c’est-à-dire lorsqu’on regarde ses élémens comme variables; on aura donc ainsi

rfc— du) = du.(i — ecos u) — de . sin u, (3)

LU SYSTÈME DU MONDE. g,

l’anomalie u ne variant ici qu’à raison de la variation des constantes que sa valeur renferme.

Si l’on différencie l’expression de cos ( v — a>) en y faisant varier les constantes e et <w, et qu’on y substitue ensuite pour sin ((> — a) sa valeur, on trouvera aisément

j sin u ,

du — . de

i — e cos u

. da.

Cette valeur, substituée dans l’équation (3), donne

j __ de.sin u{ a — e cosu — e») da.(i — e costz)*

formule qui déterminera la variation de g , lorsque celles de e et de a> seront connues. On peut écrire ainsi cette équation

— de.ûmi.Ca-ecosu—S)

, Ct/*.[C0SM.(2— g CQS U) e]

et si l’on remplace, dans le second membre, de et edjù par leurs valeurs df et df\ et qu’on observe que les valeurs de x et y, en les différenciant et substituant pour du sa valeur tirée de l’équation ndl = du.( i — ecosw), donnent

rfj. andt . sin u . __ andt. \/ 1 — e*. cos u

i— «cosk’ J i— ecos n

Il est facile de voir qu’on pourra lui donner cette forme