PM^i+etc

Les quantités P„ P„ etc. , étant les mêmes que cidessus , l’expression de V, en y substituant cette valeur, deviendra

V== v„ -f- vj -{- vj* -f- etc. ,

et l’on aura , pour déterminer généralement vt , l’équation

Les intégrales relatives à d devant être prises depuis dz=r jusqu’à la valeur de d, à la surface du sphé-

roïde , et les intégrales relatives à pt! et à u' dans les mêmes limites que précédemment.

Si l’on suppose, par exemple, le sphéroïde homogène , et qu’on désigne par R et R' les valeurs de r correspondantes à la surface du sphéroïde et à la couche qui passe par le point attiré, on aura, en intégrant par rapport à /,

Connaissant ainsi la partie de V relative aux couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré , on déterminera comme précédemment la partie relative aux autres couches, par rapport auxquelles le point attiré est extérieur, et en les réunissant, on aura l’attraction qu’exerce sur lui le sphéroïde.

17. Toute la difficulté du développemeut-de V en série se réduit donc à former la valeur générale de P(. Cette quantité est, comme nous l’avons vu, une fonction finie du degré ï de (jo et de \/ 1 — ft*.c06(&> — où'). On peut supposer par conséquent P, développé en série de cosinus de l’angle où— où et de ses multiples. Soit K„ cos n [a — où) le terme de cette suite qui dépend de cos n(oû—‘ où'), Kn étant une fonction de /x indépendante de où, qu’il s’agit de déterminer. Observons d’abord que le terme qui dépend de cos n(où — où) dans P, ne peut résulter que des puissances n,n+ 2, rc-f-4, etc. , de cos(a — où')-, or ços(&> — où') ayant pour facteur \A — il est clair que cos*(a — où) aura pour

facteur(i — /*,)•. D’ailleurs F étant symétrique parrap-

port à fi et à yi, ces deux quantités doivent entrer de la même manière dans chacun des termes de son développement, d’où [l’on peut conclure que K.

est de cette forme (i — ft*)*, (i — IIA ; on aura donc ainsi

Pi=H0+( i -**)*.( * .cos(«-»')-f'( » -***)*.(i -V*)*-® ,.cos2(»-i>') -f-etc.

En sorte que le terme général du développement de

P, sera (i — /x*)* (i — /*/')* H. cos n(a — &>'). H, désignant une fonction de fi dont il faut connaître la forme. Pi devant satisfaire à l’équation aux différences partielles (C), si on lui substitue sa valeur précédente, la comparaison des cosinus qui dépendent des mêmes multiples de «— a' donnera l’équation aux différences ordinaires

■f(i-n)(i+n+ OC 1 o ,

ou bien , en multipliant tous les termes par (i — /a*)*, dBf\

+(i—n)(i+n+ i)(i — y)a.Bm=so. (/)

£ci -#.*)•

dft\

D’ailleurs il est facile de voir, d’après la considération du radical que nous avons représenté par F, que H„ est de cette forme :

H„= Av»1"* + AV—— -f- À»#**— “4- . . - + As/*‘~n~,‘ +elc. En effet, si l’on suppose

V i cos(« — a)1),

et qu’on développe F après y avoir substitué cette valeur, on trouvera que le coefficient de dans ce J développement , est de cette forme :

ciop1 -f- a,pl-% -f- û,pi 4 -f- «te. .

Qu’on remplace maintenant p par sa valeur, et qu’on substitue aux. puissances de cos(a> — af) leurs

valeurs en cosinus multiples de a — a>' , on s’assurera

sans peine que le coefficient de (i — ft*)r cosn(a> — a!) a la forme que nous lui avons supposée.

Si l’on substitue la valeur de H„ dans l’équation (f), et qu’on égale à zéro les coefficiens des mêmes puissances de |tt , on trouvera généralement

( i — n — 2*-f-a) ( i — n — 2s + i) as(2i— 2S -f- 1),

En faisant successivement s = i , 5 = 2, etc. , on aura par cette formule les valeurs de A,, Aa, etc. , au moyen de la valeur de A0. On trouve ainsi

ti * fui- A a t , {i-n).(i-n-i).(i-n-z).(i~n-3)

( irrlt) (t-rJI-l). (i-7t-2).(t-«-3).(t-n-4).(^-n-5) 2,4.6. (aj-i ) . (2*— 3) . (ai-5)