CA
équation de condition à laquelle devra toujours satisfaire la valeur de V, lorsque le point attiré ne fera pas partie de la masse du sphéroïde.
Comme il est impossible d’intégrer l’expression de V d’une manière générale, on est obligé, pour y parvenir, de recourir aux méthodes ordinaires d’approximation. On réduit l’expression de V en série dont chaque terme est intégrable, et l’on obtient ensuite sa valeur avec le degré d’exactitude qu’on juge
convenable. Pour développer l’expression de V en se'rie convergente , il faut distinguer deux cas , celui où le point attiré est extérieur au sphéroïde, et celui où il est situé dans l’intérieur de ce corps. Dans le premier cas, oaar> /, et si l’on fait ,
F={>— irr'\pp'+ V cas (*— »')]+ r'4}
On réduira F en série convergente, en ordonnant son développement par rapport aux puissances descendantes de r ; on aura ainsi
+ ;3+; "t“ etc*
et il est clair, d’après la valeur de F, que P., P,.. .Pi sont des fonctions rationnelles et entières de /* et de \/i — JM*, cos(ft) — »'). F satisfait, par sa nature, à l’équation
dF
dp
dp
ù“.rF
Si l’on remplace F par sa valeur en série , et qu’on égale à zéro les coefficiens des mêmes puissances de r, on aura, quel que soit i.
J r »\ dP i
dp
æ Pi
Si l’on substitue à la place du radical que nous avons représenté par F, sa valeur dans l’expression de V, elle prendra cette forme :
Vs=~ elc* r • 1
36a THÉORIE ANALYTIQUE
et l’on aura généralement, quel que soit i,
vt = JJf fJ>irJi4',drJduldool ,
les intégrales devant être prises depuis d égal à zéro jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde; l’intégrale relative à /u', depuis fx = i jusqu’à fd— — i , et l’intégrale relative à u> , depuis a»'=o jusqu’à cù~27T.
Si le sphéroïde est homogène, l’intégration relative à d pourra toujours s’effectuer, et en nommant R la valeur de d à la surface , on aura
v, = fî YW+’dfx'dco'.
Supposons maintenant le point attiré dans l’intérieur du sphéroïde, on aura r<r' pour toutes les couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré ; et pour avoir une série convergente, on réduira F en une suite ascendante par rapport à r; on aura ainsi
