etc.^J

/2b étant une quantité indépendante de p et de fx' t et qui par conséquent ne peut être qu’un coefficient numérique. Il ne reste plus qu a déterminer ce coefficient.

Pour y parvenir, observons que si i — n est un nombre pair, la valeur de H. contiendra un terme indépendant de fx et de fx, et en ne considérant que ce terme, on aura

' . ,S..[i. a. 3... (t-iQ]*1

• [i .3.5. . .(ai — i)]*

Si i — n est un nombre impair, la valeur de H, contiendra un terme dépendant des premières puissances de fx et fx', et en n’ayant égard qu a ce terme, on aura

Comparons ces valeurs à celles qui résultent directement du développement du radical F. En négligeant les carrés et les puissances supérieures de /ut, et de /ut.', on a

F= [r* — 2rr'cos(« — *')-)-/ s]- »-}-/•/ ./tfi. [r* — 2rr'cos(» —

Le premier terme de cette valeur renferme toute la partie de F indépendante de fut et de /Jt! , et le second toute la partie qui ne dépend que de la première puissance de ces variables. Développons les deux radicaux par la méthode que nous avons déjà employée n* 5o, livre II. Si l’on nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité , et qu’on substitue pour cos (a — a) sa valeur en exponentielles

imaginaires , le radical [r* — 2r/cos(a — &>') -f- r*]- * pourra être mis sous cette forme

Si l’on développe les deux facteurs de cette expression, qu’on multiplie ensuite l’une parr l’autre les séries résultantes , on trouvera aisément que le coeffi-

ll «0\/— • c— nfm — a')\/ — 1

de £.0

cxent

cos n(ft) — a»'), est égal à

— ^ , ou de

C’est la valeur de H, dans le cas où i — n est pair.

et où l’on suppose fx = o et jjt! =o; en la comparant à la valeur trouvée plus haut, on a

P» — 2'Li.2.3 i J * (i+i).(i+a)....(H-n)*

Il ne faut prendre que la moitié de ce coefficient , dans le cas où n — o; on a alors

&=Dt

On trouvera de la même manière que le coefficient de p^./Aju/.cos/i (a — a>) dans F, est

1 (3<5i • «(i + n) • 1 • 3 . 5 * » • • (i mmm b)

C’est la valeur de H„, quand i — n est impair, et qu’on néglige les carrés et les puissances supérieures de fi et fJt!. Si on la compare à celle que nous avons trouvée plus haut, dans le même cas, on a

f~I.3.5. . .{ii — l)~|a »(t— 1). (i—n+ 1)

Ainsi l’expression de /3. est la même dans le cas de i — n pair et dans le cas de i — n impair. Si

n = o, on aura, comme précédemment,

En substituant pour /3„ sa valeur dans l’équation (A), on aura la valeur générale de H,.

• DU SYSTÈME DU MONDE. 36g

18. Avant d’aller plus loin , nous allons démontrer une propriété remarquable des fonctions de l’espèce de celles que nous avons désignées par P(, et qui nous sera utile dans les recherches suivantes. Soient Y. et Z, deux fonctions rationnelles et entières de fi, \/i- — fJL*.sineo et \/i — fi*. cos a> , qui satisfont à l’équation (C), on aura généralement , i étant supposé différent de n,

ffYtZudfidù) = ot ‘ ,

les intégrales étant prises depuis fz=z — i jusqu’à fi = i , et depuis a>— o jusqu’à a> ~ itt.

En effet, par la définition même des fonctions Y, et Z., on aura

«rr, d'Yi

j r a\ d‘Zin

dp i — p*

-f- îi(n ~f“ i )Z,

La première de ces équations, en la multipliant par" Zudfj.dcù , donnera

La seconde des équations (o) fournirait une équation semblable. $i l’on retranche l’une de > l’autre Tome II.

aço' THÉORIE- A MLïTICflJE ’ • '

ces deux équations, ^quon observe qu’eu intégrant relativement à y , on a 1 : ■ •

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