SUPPLÉMENT AU LIVRE V

Sur l’attraction des ellipsoïdes homogènes.

Nous avons vu dans le n* 7 du livre V, que les expressions des attractions des ellipsoïdes sur les points extérieurs, contenaient un radical qui en avait rendu jusqu’ici l’intégration impossible par les méthodes connues. On est parvenu à éluder cette difficulté en ramenant les attractions relatives aux points extérieurs à l’ellipsoïde, à celles qui se rapportent aux points intérieurs ou situés sur sa surface. Mais les diverses méthodes qu’on a employées et le théorème de M. Ivory lui-même, tout ingénieux qu’il est, n’ont pas fait avancer d’un pas l’intégration des formules dont il s’agit. Il restait donc à désirer pour l’honneur de l’analyse que la difficulté fut pour ainsi dire attaquée de front et qu’on parvint enün à déduire les expressions ramenées à la forme de quadratures, des attractions des ellipsoïdes sur les points extérieurs , de l’intégration directe des formules qui les déter- Tonk II. * 1

a THÉORIE ANALYTIQUE

minent comme on le fait relativement aux points intérieurs. Je suppose donc qu’on verra avec intérêt comment M. Poisson est parvenu à surmonter ces obstacles qui avaient arrêté tant de grands géomètres, et qu’après tant d’efforts infructueux on pouvait croire invincibles ; c’est sans contredit l’une des plus heureuses conquêtes qu’ait faites l’analyse depuis bien long-temps.

i. On a, relativement aux points extérieurs, n° 7, livre V,

A = ffiy — r) d^dca sin 6 cos 0 , l B = fJXd — r) cfàdcû sin*0 cos u>, > (1)

C = J]\y — r) düdci> sin*0 sin «a. J

Les limites des intégrales relatives à 0 et à ro devant correspondre aux points où l’on a r' — r=o, c’està-dire où le rayon r, mené du poiut attiré, est tangent à la surface du sphéroïde , mettons l’équation de l’ellipsoïde sous cette forme

x * -f- my% -f- nz% = k ; (2)

en sorte que h , h', h" désignant , comme dans le numéro cité, les trois demi-axes respectivement parallèles aux coordonnées x , y et z , on ait

Si l’on substitue dans l’équation (1), pour x, y et z , leurs valeurs , n* cité ,

x=a — rcosS . y=b — rsiu0cos», z—c — rsindsino»;

qu’on résolve l’équation résultante, en faisant pour abréger ,

I = a cos 0 -f- mb sia 0 cosœ — f- /m? sïn fl sia u , L = cos'0 -+- m sin*8cos*o -f- n sin*0sin*iï>, R* = I* — ■ L (a* -J- mb' -f- ne' — k) ,

on aura

IdfcR

ces deux valeurs sont celles de / et de r. On aura donc

et en substituant cette valeur dans les formules (i), elles deviennent

. rrtedm sin 8 C03 ÔR

A = aiJ— I —

dst sin*5 co3«R

-VjT

r /*/!$)</» «in* 6 si

c = 'Si —

«in «R

formules qui correspondent aux formules (f) du livre V, et où les intégrales doivent être prises entre les deux limites qui répondent àR=o.

Ces expressions ne sont pas intégrables sous cette forme, à cause du radical contenu dans R, qu’elles renferment; mais on peut les rendre immédiatement intégrables en les différentiant par rapport à k. En effet, cette quantité n’entre pas dans la valeur de L ; elle ne se rencontre que dans celle de R , et en différentiant cette valeur, on a

JR JL m

dF 2R 5

en supposant donc, pour abréger, A, = ^,

on aura

. rrSd sin 6 cosô