A' =JJ R

sin3 0 cos tt

‘dùd* sin* 8 sin a

formules beaucoup plus simples que les formules (3), parce quelles ne contiennent que la quantité R , tandis que les premières contenaient R et L.

Quant aux trois quantités A, , B, , C, , il est aisé de voir qu’elles représentent les composantes parallèles aux coordonnées x,y etzde l’attraction quvexerce sur le point donné, la couche elliptique dont la surface extérieure est celle de l’ellipsoïde, la surface intérieure une surface semblable et semblablement située, et l’épaisseur dk. En effet, il est évident qu’il suffit, pour obtenir les attractions exercées par une pareille couche , de substituer dr1 et dr à la place de d et de r, dans les équations (i), les différentielles dd et dr étant prises en ne faisant varier que k dans leurs expressions, et substituant ensuite pour dd et dr leurs valeurs, on rètrouve les formules (4).

Or, on peut toujours supposer l’ellipsoïde décomposé en une infinité de couches semblables, pour lesquelles les valeurs de m et n seront constantes et qui ne différeront que par la valeur de k. Si l’on fait donc varier k depuis zéro jusqu a la valeur de cette quantité, qui répond à la surface du sphéroïde, et que nous désignerons par k! , la somme des attractions exercées par chacune des couches.

exprimera l’attraction du sphéroïde entier sur le point donné, on aura donc

A=y’o*A jdk, B = fo\dk , C=fo\dk, (5)

formules dans lesquelles on substituera pour A;, B,, C, leurs valeurs en fonction de k, résultant de l’intégration des expressions (4).

a. 11 ne s’agit donc plus que d'intégrer ces formules. Pour cela , il faut d’abord y substituer pour R sa valeur. Or, en remplaçant I* et L par les quantités que ces lettres représentent, on a

R* = ( k — mb* — w*)cos*ô-f-m(Æ — a* — nc*)sin*ôcos*a

-f — w£>*)sin*ôsin*ûJ -i-imnbeshi *fl sinacosrj-f- znac sin 0 cos 0 sin a

sinab sin 0cos0eos«.

Si cette expression de R* ne renfermait que les car-r rés de sin 0, cos0, sin a> et cos a>, l’intégration des formules (4) , après sa substitution , n’éprouverait aucune difficulté; il faut donc tâcher de la ramener à cette forme. On pourrait y parvenir sans doute par une transformation convenable des variables 0 et co; mais, au lieu de ce moyen, il est plus simple d’employer les considérations géométriques suivantes.

J’observe que pour toutes les droites situées sur la surface du cône tangent à l’ellipsoïde et ayant son sommet au point donné, les angles 0 et a doivent satisfaire à l’équation r* — r = o, ou R* = o. En multipliant donc par r* l’expression de R*, et en faisant

x ■= r cos0, jr = rsin 0 cos co, s = rsin0sinfc)>

(A — mb* — nc*)x* -f- m(k — a* — nc*)j* \

-+• n{k — a* — mb*)z% > (6) -+• vtmbcyz -f- a nacxz -f- a mabxy = o , - i

pour 1’équation du cône tangent à la surface du sphéroïde et ayant son sommet au point attiré. Comme cette équation renferme la quantité A, il s’ensuit que ce cône variera pour chacune des couches dans lesquelles on a décomposé le sphéroïde.

Or, on sait, que si l’on représente généralement l’éqnation des surfaces du second degré, rapportées à trois axes rectangulaires, par

kx*-\~Tiy%-{-(Zz%-\-uliyz-)r 2Exz + aFxy=s i. (7)

Cette équation , en prenant pour axes des coordonnées les axes principaux de la surface, deviendra

Ma;'* -j- N y,% -f- Pa'* = 1 , (a)

et les trois quantités M, N, P seront les racines de l’équation suivante, du troisième degré (*),

— aDEF = o , i (8)

et si Ion nomme a, S, y les trois angles que for* ment respectivement l’axe des coordonnées x' avec

les axes des x, y et a, on aura

(*) Ce théorème a été donné pour la première fois par Petit, dans la Correspondance de f École Polytechnique, n»4,

Dü SYSTÈME DU MONDE.

cos et = ; y