C 3M A VA

c — âTTa; — 47f>

h h' li" ’

nn . CA 3M r, . .

6. Il existe, pour les sphéroïdes hétérogènes, un cas particulier où les attractions peuvent toujours s’exprimer sous forme finie par des arcs de cercle, des logarithmes ou des fonctions elliptiques ; c’est celui où l’expression de la densité est une fonction rationnelle de l’un des trois axes de l’ellipsoïde. On peut aisément s’en convaincre, au moyen des formules précédentes.

En effet , si l’on nomme g la densité du Sphéroïde , et qu’on suppose g =f (k) , comme l’équation (14) donne À' en fonction de u, si l’on suppose que la densité varie, on aura généralement g =y («), et l’on pourra exprimer la densité au moyen de la variable u et de quantités constantes.

Supposons dotic l’ellipsoïde décomposé en couches homogènes terminées par des surfaces elliptiques semblables, mais dont la densité varie d’une couche à une autre, si l’on multiplie sous le signe intégral par g. les valeurs des trois quantités A , B , C j qu’on nomme u et u\ les valeurs de «, qui répondent à la surface intérieure et à’ la surface extérieure de la couche dont la densité est g, et qu’on intègre entre ces limites, il est évident que les expressions résultantes seront les attractions parallèles à chaque axe de la couche homogène , dont la densité, au lieu d’être égale à l’unité, serait représentée par g.

25t THÉORIE ANALYTIQUE/

Les formules (i 5), en faisant pour abréger, V = +

donneront ainsi

4 an ru! u'du \

. A ^ ^mnj u V/V»

v V mnj u (i

u'du

^ 4 c* çu u’au

\/ mnj u (i-J -a’’u’

-f Vu^l/V’ u'du

Ôt/Ÿ'

u et u1 étant les valeurs de u qui répondent à la surface intérieure et à la surface extérieure de la couche. Pour avoir les attractions du sphéroïde entier, il faut prendre les formules (i5)> et par conséquent les précédentes, entre les limites u=o et Ces formules pourront s’intégrer sous forme finie, comme nous l’avons dit, soit par arcs de cercle, soit par logarithmes, soit au moyen des fonctions elliptiques, toutes les fois que g sera une fonction rationnelle de l’un des trois axes de l’ellipsoïde (*).

(*) M. Poisson, en appliquant à ce cas d’mtégralitc, reconnu pour la première fois par M. Jacobi , les formules qu’il avait données pour l’attraction des ellipsoïdes (XII" vol. de Y Académie des Sciences), dit qu’il serait difficile, au moyen des anciennes formules étendues au cas d’un ellipsoïde composé de couches de diverses densités, de reconnaître dans quel cas ces formules sont intégrables sous forme finie ( Conn. des Tenu , i836). On va voir, au contraire, que cette question, comme toutes celles du même genre, se résout très aisément au moyen de ces formules, mises sous la forme que nous leur avons donnée n“ io, liv. V.

DU SYSTÈME DU MONDE. a3

Supposons , pour exemple, le cas très simple où la densité diminue proportionnellement à l’axe h. On aura alors

en prenant pour unité la densité de la couche qui répond à A = i . L’équation ( 1 4) , en observant que h = \/k , et en faisant attention aux valeurs de A* et A", donne

^ Uy t/ I -f- «U4 -f- Gu*

y mn y V *

où , pour abréger, on suppose >* = m/j (a* -f- A*-f c%) ,

«>* == m (i — n) (a‘ -f- £*) + n (i — m){a'+ c%), — m) (* — ri) a*.

En substituant cette valeur dans les équations (19) , elles donnent

y J u 4 bx

udu

y 1 -J- me -f- Gu* 1

B-fer-

udu

4CX / x* udu

y J u i4-*b*+Cu4

Ces trois formules peuvent s’obtenir sous forme finie, au moyen d’arcs de cercles ou de logarithmes. En effet , considérons l’intégrale indéfinie

a4 THÉORIE ANALYTIQUE

/étant une constante quelconque. Supposons que la quantité sous le radical puisse se décomposer en deux facteurs réels ( i-f- pu.') et i-f- qu‘, en sorte qu’on ait

\/i-f-aw‘-f- Su* = \/(i-+-pu‘)

et faisons r* = , on trouvera

Si les quantités p — f et q — f sont de même signe, on aura

y/ ( p -/) (?—/) 8 \V p — / —j- V q—f ) et si ces deux quantités sont de signe contraire,

en désignant par C dans les deux cas la constante arbitraire.

Si dans ces expressions on substitue pour y sa valeur, la première deviendra

> 4^=l°g { ^ y/p^f+V' +pu' Ÿ'9=f\+r.l

(p—fKq^J) \^i+qu,V'p—f — V ' +/»“’ V q — //

et la seconde

X= , i-rj: arc ( tang= V^p^VT1^ \+r

\/(p-f)(f—q) V \ /ï+qï'\/p^T /

Si l’on suppose successivement dans ces valeurs

* TTigitized t

ogle

Dü SYSTÈME DU MONDE. a5

/=o, f— A*, / = A'», et qu’on étende les intégrales entre les limites u et u! , on aura les trois intégrales définies qui entrent daus les formules (20).

Nous avons supposé réels les deux facteurs dans lesquels se décompose la quantité i-f-a«*-|- Su4, ce qui exige que a' — 4^ soit une quantité positive, ou en remplaçant a et G par leurs valeurs, qu’on ait

— 4mn (1 — m) ( 1 — ri) a* (a' -f- b' -J- c*)> 1 .

Or on peut mettre cette expression sous cette forme

[(m — n)a% -f- ( 1 — ri)mb% — ( 1 — m)nc']' -f-4(i — ni) ( 1 — n)mnb'c',

et cette fonction sera évidemment positive , si l’on suppose que les deux quantités x — met 1 — n sont de même signe , c’est-à-dire si l’axe 2 h est le plus petit ou le plus grand des trois axes de l’ellipsoïde. Pour donner de l’application de ces formules un exemple très simple, supposons le point attiré placé à la surface extérieure de l’ellipsoïde et à l’extrémité de l’axe h. On aura, dans ce cas, az=h', c = o et b=. o ; d’où l’on conclura

y = h \Jmn,

mn ’

ce qui donne 1 4- au' -f- Su4 = ^1 + ’ ^ «*)

(i-f- “*), en faisant donc p — et q= ^ ,

et f=o dans les expressions de X, puisque l’attraction est tout entière dirigée dans le’ sens de l’axe h ,

Digifi;

/ mn f l/n+(i — n)w’ \/ f»4-(i-m)u* t/i-n

— w— -T Ion ! ~7=~, — = Ti . *■ . ..y"

et

at/rn» , — m)u‘\/n — i . r

■ ■ arc tang = • , U — . -f- C.

La première formule s’emploiera quand les deux quantités m et n seront toutes deux plus grandes ou plus petites que l’unité; la seconde, quand l’une sera plus grande et l’autre plus petite que l’unité.

Enfin , si l’on veut avoir l’attraction de l’ellipsoïde entier sur le point placé à sa surface à l’extrémité de l’axe h , il faudra étendre les intégrales précédentes depuis u = o jusqu’à u = il .

Ce cas d’inlégrabilité des formules de l’attraction des ellipsoïdes hétérogènes, qui a été indiqué pour la première fois par M. Jacobi , est remarquable en ce que , quoique la loi de la densité qu’il suppose au sphéroïde, rende cette densité infinie au centre, les attractions A, B, C, que le sphéroïde exerce parallèlement à ses axes de figure , sont cependant des quantités finies. On prouve aisément encore que l’attraction sur un point intérieur est indépendante de sa distance au centre de l’ellipsoïde , et ne varie qu’avec la direction du rayon sur lequel ce point est situé.