Tome II

34 TUJÊOftlE ANALYTIQUE

nées par les équations (a) , on trouvera , ne 46 , livre IV,

X 0' sin (v — 9) + s eos (v — $>)] cos (v — 9) , +(A±b=C)„ S+(C~^)»v=- 3„f-=i)

X [f'sin (v — 9) +s cos(v •— 9)] sin^-r-f).

On peut, pour simplifier, faire abstraction dç's inégalité’» du mouvement du Soleil. L’angle v — 4- étant sa longitude comptée à partir d’une équinoxe fixe , et mt son moyen mou-, veinent, si l'on suppose que le Soleil soit dans cet équinoxe à l’instant où l’on compte t = o , on aurtf

1» — mi 4,.

Nous supposerons le sphéroïde terrestre de révolution autour de son axe de rotation , ce qui donne A = R ; dans ce cas , le mouvement de rotation est uniforme, et comme r représente la vitesse de rotation , on a rigoureusement r=n-, la première des équations (2) donnera donc, aux quantités près de. l’ordre fi’, que nous négligeons,

9 == nl + 4,; (6)

En faisant, de plus, pour simplifier les formules, 3 /C — A

les deux équations (3) deviendront

fts / 2 \ ds / 2 . \

= — n‘m‘ [s cos a(m — n)t -+- s' sin n.(m - — n)t ] ,

= <x’m’ [/ cos p.(m — n)t — s siu 2 (ni — «)/].

'DU SYSfÈME DU MONDE. 35

Ces équations s'appliqueront au cas général où l’on suppose à la Terre uu mouvement uniforme de rotation quelconque autour de son centre ; elles se simplifient dans le cas que nous voulons spécialement examiner, où l’on suppose que la Terre ne tourne pas autour de ses pâles ; il suffit, eii effet, de faire alors n = o, dans les équations précédentes ; mais, pour plus de généralité , nous les considérerons sous cette forme , parce qu’il sera facile de déduire des formules que nous obtiendrons., ceUes qui se rapportent au cas particulier où l’on fait abstraction du mouvement de rotation, et que nous pourrons ainsi comparer immédiatement les résultats relatifs aux deux hypothèses.

4- Si, dans les équations précédentes, on suppose m'—n, c’est-à-dire le mouvement de rotation égal au mouvement de révolution, comme cela a lieu dans la théorie de la Lune, elles se réduiront à la forme d’équations linéaires à coctficieus constans, et par conséquent elles seront toujours intégrables, quelle que soit la valeur de ou le rapport des axes du sphéroïde terrestre; dans tout autre cas, les coefficiens de s et s' dans les seconds membres , seront des fonctions du temps / ; mais On pourra ramener l’intégration de ces équations à celle de deux équations linéaires à coefficiens constans , et obtenir ensuite leurs intégrales finies de

la manière suivante.

Si l’on fait * 1

s ri y cos (m — n)l — ÿ siu (»! — n)tf s' = y sin (m — n)l -j- y cos (m — n)l,

qu’on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations 1 (4) , qu’on égale ensuite séparément à zéro les coefficiens de sin(m — n)t et de cos(m — n)t dans les équations résultantes , on trouvera pour déterminer y et y les deux équations suivantes : __

d'y + [tm-(i + ‘ a’)"] d/ — [m— (i + i a,)n]my= o , d*y->- [2m— (i-f-| >]<//— [(i—i«’)m— (i^;«’)n]m/=ro.

Ces deux équations linéaires à coefficiens constans s’intégreront par les méthodes ordinaires. Faisons, pour abréger, qï = m (i -J-| *’)";• elles deviendront

<tjr + (m -f- m')dy — mm'jr — o,

d'y' — ( m 4- m')djr — m{m — r- •}a.'lm)y' = o.

Supposons

y = acos(Af + /), y = a' sin (A/ 4- /).

Ces valeurs, substituées dans les équations précédentes, donneront

a A’ — (m y m’)ah -f- mm a = 0,

«'A’ — (m -f- rn)ah -f- mm a — a a’m’a' — o.

De la première de ces équations on tire

-■ ■ -, 1 (m-j-m'ya’h ,

1 ■ ° fi’ -f- mm' ’

et cette valeur, substituée dans la seconde, donne

A< — [m’(i -(-ai’) 4- m'’] A’ 4- m'm(m — 24’m) = o ; (a)

en résolvant cette équation , on en tirera pour A’ deux valeurs , nous désignerons la première par fi’ , la seconde par fi’’; on aura, conformément à la théorie des équations linéaires,

y = a cos (fit -f- 1) 4- A cos (A'f -f- O» y' = a' sin (fit 4“^) 4* fi' sin (A'< -f- ï ) * en supposant , pour abréger , > \

(m -f- m') a'A . (m 4- m') fi'fi'

° fi’ -f* m***' ’ fi*’ -f- mm' ’ ^ ^

d'où l’on conclura

j = [a' sin (Ai -f- l ) + b' sin (h't 4- /')] cos (m — n)t )

• — [a cos (ht -f- /) -j- b cos (h't -f- /')] sin (m — n)t, f

*' =5 [a' sin ( ht -f- /) 4- b' sin ( h't + /')] sin (m — n)t |