m ■ «*) 2 . mm', [(g — »)*-4- (/ — r)*-f (* — Q*~l

l’intégrale finie

2. m/n'. [(x — x)‘ -+- (y — y)* -J- (z — z)*] désignant la somme de tous les produits semblables à

celui renfermé sous la caractéristique 2, que l’on peut former en considérant deux à deux "tous les points du système.

On aura donc ainsi la distance du centre de gravité à un point donné, au moyen des distances des différons points du système à ce point, et de leurs distances mutuelles. En calculant de cette manière la distance du centre de gravité à trois points fixes quelconques , on aura sa position dans l’espace , ce qui fournit un nouveau moyen de la déterminer.

g. Il est aisé d’étendre à un corps solide de figure quelconque les résultats précédens, et de déterminer ainsi les conditions de son équilibre. Il suffit, pour cela , de le considérer comme un assemblage de points pesa ns liés entre 'eux d’une manière invariable. Soit donc dm un des élémens de la masse M du corps, x, y, z, les coordonnées de cet élément, X, Y, Z, les trois forces qui agissent sur l’unité de masse, parallèlement aux axes des x , des^ et des z; les trois forces qui sollicitent l’élément dm dans la direction des mêmes axes, devant être proportionnelles à sa masse , seront X dm , Y . dm , Z. dm , et les, équations (7} du n° 7 deviendront

S.X.û£wj = o, S. Y. dm t=z o, S.Z. dm o;

S. ÇLy — Yx) . dm = o , S.(Z.r — Xz).dm = o, *

S.(Yz — Zy).dm — o ;

le signe intégral S se rapportant à la molécule dm, et devant s’étendre à la masse entière du corp6.

38 THÉORIE AMALYT1QUE

Si le corps était assujetti à tourner autour de l’origine des coordonnées, les trois dernières équations suffiraient pour assurer l’équilibre.

S’il n’était soumis qu’à l’action de la pesanteur, on aurait, pour déterminer son centre de gravité, en nommant M la masse entière du corps, et en remarquant que S . dm = M , les équations

S .x.dm S. y. dm S.t.dm

Enfin , si le système que l’on considère est composé d’un nombre quelconque de corps solides m, m', etc., sollicités par des forces quelconques, on cherchera, d’après ce que nous venons de dire, les résultantes partielles des forces qui agissent sur chacun de ces Corps , et l’on n’aura plus à considérer que des forces de grandeur donnée agissant sur des points liœ entre eux d’une manière invariable, dont on déterminera l’équilibre par les considéra ions précédentes.

1 o. Nous n’avons considéré jusqu’ici que des systèmes de forme invariable; mais quel que soit le système qui se présente, il est évident que l’on ne changera rien à son état d’équilibre, en joignant par des -droites inflexibles les différens points dont il se compose, de manière à rendre invariables lenrs distances mutuelles. Les forces qui lui sont appliquées doivent donc , s’il est libre, satisfaire toujours aux six équations générales (7) n* 7, quel que soit d’ailleurs le mode de liaison de ses différentes parties.

Mais ces équations , sans lesquelles l’équilibre ne

saurait avoir lieu, ne suffiront plus dans ce cas pour assurer son existence. Les forces qui animent le système de forme variable devront en outre satisfaire à certaines équations de condition qui dépendront de sa nature. Voici comment on pourra, dans tous les cas, parvenir à les former de la manière la plus facile.

On observera que l’équilibre du système n’est pas troublé lorsqu’on suppose invariable un nombre quelconque de ses parties ; l’équilibre subsistera donc encore eu rendant fixes tous les points qui le composent, moins un. Ou .exprimera ainsi les équations d’équilibre de chacun cfes points du système,, eu ayant égard à leur liaison mutuelle, et les équations de condition qui résulteront de leur combinaison ou de l’élimination des arbitraires qui dépendent dp mode de liaison des parties dp système,. sejjpuf celles que les forces qui le sollicitent idpiyenf ^ejqpjhr pqpr ^assurer son équilibre.. . ,Éuj e

Ces considérations générales ser.virpntà faciliter :1a mise en équation dç tous, les problèmes que peut présenter l’équilibre d’up aoodire queb;quque de forces appliquées à un système ,de forme variable , quelle que soit sa nature. On en déduit dipue panière; [très simple la solution de deux question»,, de «e;gSJHie , dort remarquables, celles de l’équilibre 4u' polygone funiculaire et de la lame élastique. Nous regrettons que les bornes de cet ouvrage ne nqus aient pas permis de les développer ici, . . . ;ql üh.a ai MD .xrioi r.f