CHAPITRE III

Du Mouvement d’un point matériel.

1 1 . Un point matériel ne peut se donner à lui-même aucun mouvement ; il est également incapable d’altérer de quelque manière que ce soit le mouvement qu’il a reçu. Cette tendance de la matière à persévérer dans son état de repos ou de mouvement, se nomme inertie. C’est la première loi du mouvement des corps.

L’inertie doit être regardée comme une loi de la nature , et l’expérience vient sans cesse la confirmer sous nos yeux. En effet, nous voyons sur la terre les mouvemens des corps se prolonger de plus en plus , à mesure qu’on diminue les obstacles qui s’y opposent, ce qui nous porte à croire que sans eux, ces mouvemens dureraient tou jours. La marche des corps célestes, qui depuis un si grand nombre de siècles se conserve sans aucune altération sensible, nous offre de celte loi une preuve plus manifeste encore.

Il suit de là que toutes les fois qu’on observe une altération quelconque dans l’état de repos ou de mouvement d’un corps , c’est à l'intervention d’une puissance étrangère qu’il faut en attribuer la cause.

Si un point matériel, après avoir obéi à l’action de la force qui le sollicite , est ensuite abandonné à luimême, il continuera à se mouvoir d’un mouvement uniforme dans la direction de cette force, s’il n’éprouve

DU SYSTÈME DU MONDE. \i

aucune résistance. Il doit se mouvoir en ligne droite, puisqu’on effet il n’y a aucune raison pour qu’il s’écarte plutôt dans un sens que dans un autre de sa direction primitive. Son mouvement doit être uniforme, puisque, par la loi de l’inertie, il est incapable, sans le secours d’une nouvelle force, d’accélérerou de ralentir le mouvement qu’il a reçu.

Nous entendons par mouvement uniforme, celui où le mobile décrit tics espaces égaux dans les mêmes intervalles de temps. Dans ce mouvement , les espaces parcourus sont donc proportionnels aux temps employés à les parcourir, en sorte que si s représente l’espace, t le temps, on a généralement s = vt. La quantité v est ce qu’on nomme la vitesse dans le mouvement uniforme; c’est le rapport de l’espace au temps employé à le décrire, ou, ce qui revient au même, l’espace parcouru dans l’unité de temps.

Cette simple définition du mouvement uniforme nous montre comment sont introduites dans les recherches relatives au mouvement des corps, trois nouvelles quantités dont nous n’avions pas eu à nous occuper lorsque nous les avons considérés à l’état de repos : l’espace , la vitesse et le temps. Ces quantités sont hétérogènes, .et nous devons répéter à leur égard l’observation que nous avons faite dans le n° i . Pour les comparer entre elles , il faut les supposer respectivement divisées par la quantité de même espèce qu’on a choisie pour unité ou pour terme de comparaison ; en sorte qu’elles ne sont plus alors que des nombres abstraits. Ainsi, par exemple, si l’on prend pour unité de temps la seconde, et le mètre pour unité de mesure, l'espace

et le temps seront deux nombres abstraits qui désigne- 1 ront combien chacun d’eux contient d’unités de son espèce. La vitesse, qui dans le mouvement uniforme & est, comme nous l’avons vu, égale à l’espace divisé a par le temps employé à le parcourir, devient alors ® un nombre abstrait qui marque le rapport de deux * nombres de même nature, et son unité est la vitesse Cl du corps qui parcourt un mètre dans une seconde, d Cette observation est générale, et il ne faut jamais s la perdre de vue, lorsque, par la nature d’une question 1 quelconque de Mécanique, on est conduit à considérer s des quantités de nature différente, telles que l’espace, 1< le temps , la vitesse , les forces , les masses ou les d volumes des corps. En réduisant, comme nous l’avons P dit , toutes ces quantités à des nombres abstraits , leur « comparaison ne donnera plus aucun embarras, et leur a présence dans la même équation n’offrira plus aucune 1 idée choquante.

Le temps que met un corps à décrire un espace P déterminé est plus ou moins long , suivant la grandeur « de la force qui le met en mouvement : la vitesse cons- r tante pour un même mouvement uniforme varie donc & aussi avec la force motrice ; mais , dans l’ignorance où t nous sommes sur la nature de ces forces , il ne nous j est pas possible d’assigner à priori la loi de ces varia- c tions. En effet, dans le mouvement d’un corps, nous ! ne voyons clairement que deux choses, l’espace par- t couru, et le temps employé à le décrire; la cause du 1 mouvement, ou ce que nous avons généralement appelé force, nous est presque toujours inconnue, et nous n’avons d’autre moyen de l’apprécier que par les

r effets qui en résultent. L’hypothèse la plus simple que a l’on puisse faire sur le mode d’action des forces mo- B trices , est de supposer les effets proportionnels aux ^ causes qui les produisent , ou , ce qui revient au même, ,r. d’admettre que plusieurs forces agissant dans le même jjj sens et dans la même direction feront parcourir au se corps qu’elles sollicitent, un espace égal à la somme „ des espaces que chacune d’elles lui aurait fait parcourir ;s séparément; en comparant ensuite aux observations , les résultats qui dérivent de cette hypothèse, on peut r s’assurer par leur accord avec elles , que c’est en effet la loi de la nature. Au reste , cette hypothèse , et celle s de l’inertie , que nous avons regardée comme une pro- 5 priété de la matière, sont les deux seules données que r la Mécanique emprunte à l’expérience, et leur constant . accord avec les observations leur a donné la certitude de vérités rigoureuses.

Dans le mouvement uniforme , les vitesses sont proportionnelles aux espaces parcourus dans les mêmes intervalles de temps; les espaces, d’après ce que nous venons de dire , sont proportionnels aux forces motrices ; les vitesses sont donc aussi proportionnelles à ces forces. Dans ce mouvement , la vitesse et la force peuvent donc servir de mesure l’une h l’autre , et par conséquent toutes les règles que nous avons données sur la composition des forces peuvent s’appliquer à la composition des vitesses. Ainsi , lorsqu’on connaîtra les vitesses que deux forces communiquent séparément à un mobile, on déduira par la règle du parallélogramme des forces, la vitesse qui serait due à la résult&nte de ces forces. Réciproquement, lorsque la

vitesse imprimée à un mobile par la résultante de deux forces sera connue, on pourra en la décomposant, déterminer l'intensité de chacune d’elles. Cette manière de mesurer les forces ne donne pas, il est vrai, leurs valeurs absolues, elle indique seulement leurs rapports entre elles; mais c’est la seule chose qu’il soit important de connaître en Mécanique.

Considérons maintenant le mouvement d’un point sollicité par une force qui agit sur lui d’une manière continue, comme la pesanteur, par exemple. Il nous est impossible de savoir si cette force et les forces semblables que nous observons dans la nature agissent en effet sans interruption sur les corps qui leur sont soumis, ou si leurs actions sont séparées par des intervalles de temps dont la durée est insensible ; mais quoi qu’il en soit de ces deux suppositions, il est facile de voir que les résultats doivent être les mêmes dans les deux cas; car si l’on représente les vitesses d’un corps sollicité par une force sans cesse agissante , par les ordonnées d’une courbe dont les abscisses représentent les temps, cette courbe , dans le second cas , se changera en un polygone d’une infinité de côtés, et qui pourra par conséquent être censé se confondre avec elle. Nous adopterons la seconde hypothèse, comme la plus conforme aux principes du calcul différentiel, et surtout parce quelle fournit le moyen de ramener d’une manière très simple aux lois du mouvement uniforme celles du mouvement varié que nous considérons. En effet, si l’on désigne par dt l’intervalle de temps infiniment petitqui sépare les actions successives d une force motrice quelconque , le mouvement pendant At in-

DÜ SYSTÈME Dü MONDE. 45

tervalle pourra être regardé comme uniforme, et en nommant ds l’espace parcouru pendant cet instant, la

vitesse de ce mouvement sera représentée par

Si l’on suppose donc le temps t, pendant lequel la force motrice, dans le mouvement varié, agit sur le point qu elle anime, divisé en une infinité d’intervalles infiniment petits, le mouvement qui en résultera se trouvera partagé en une infinité de mouvemens uniformes dont les vitesses constantes pendant chacun de ces intervalles varieront seulement d’un intervalle à l’autre.

Quant à la force qui produit ce mouvement , et que nous nommerons désormais force accélératrice , son effet étaut de faire varier continuellement la vitesse , ces variations instantanées doivent naturellement lui servir de mesure. Or, pendant l’instant infiniment petit dt, on peut regarder l’action de la force accélératrice comme constante. Si l’on désigne donc par dv l’accroissement de la vitesse au bout de l’instant dt , et par P la force accélératrice, on aura dv=¥dt; puisque l’accroissemeut de vitesse engendré pendant l’instant dt doit être le même que celui qui aurait eu lieu si l’action de la force accélératrice n’avait pas été interrompue pendant la durée de cet instant. On aura donc ainsi P = ^; et comme on a

déjà p = on aura ¥ = C’est-à-dire que la

force accélératrice, dans le mouvement varié, sera mesurée par la différentielle seconde de l’espace, divisée par le carré de l’élément du temps supposé

constant. On pourra d’ailleurs étendre à celte quantité ce que nous avons dit sur la composition des vitesses dans le mouvement uniforme.

Ces considérations sur les lois du mouvement suffisent pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d’un point matériel sollicité par des forces quelconques. En général, tout problème relatif au mouvement doit avoir d’abord pour objet de déterminer à chaque instant la position du mobile, sa vitesse et sa direction. Ce qu’il y a de plus simple, pour y parvenir, c’est d'établir une relation entre les accroissemens de ses coordonnées et les forces dont ifs dérivent, en sorte qu’on puisse ensuite remonter, par l’intégration de ces valeurs infiniment petites à leurs valeurs finies, ce qui n’est plus qu’une question d’analyse. Aussi la Mécanique a-t-elle fait de rapides progrès à mesure que cette branche de nos connaissances s’est développée.

1 2. Soit donc M un point matériel que nous regarderons comme entièrement libre ; supposons les forces qui le sollicitent réduites à trois forces X, Y, Z, respectivement parallèles aux trois coordonnées rectangles x, y, z , qui déterminent sa position; supposons, de plus, que ces forces agissent en sens contraire de l’origine des coordonnées, et tendent à les accroître. Les directions des trois composantes X, Y, Z , étant perpendiculaires entre elles , chacune d’elles est indépendante de l’actiou des deux autres, et peut être regardée comme si elle agissait seule. Elles auront donc pour mesure la différentielle seconde

de l’espace qu’elles feraient parcourir séparément au point M, divisée par le carré de l’élément du temps, et l’on aura par conséquent

x Y d'y y d‘z rj

d*‘ “ J » dt‘ ~~ ’ dt' — *1’

ce sont les équations générales du mouvement du point M ; elles expriment la relation qui doit exister entre les accroissemens différentiels des coordonnées qui fixent sa position , et les forces accélératrices qui les produisent ; elles sufliseut pour déterminer à chaque instant toutes les circonstances de sou mouvement dans l’espace.

Si ce point est libre, les trois intégrales premières des équations (A) feront connaître à chaque instant la vitesse dont il est animé , et leurs intégrales finies donneront la valeur des coordonnées x, y, z en fonction du temps t. Si l’on élimine t entre les équations d’où ces valeurs dépendent, il en restera deux entre les variables x, y, z, qui seront les équations de la courbe décrite par le point M dans l’espace; cette courbe sera généralement à double courbure; c’est ce qu’on nomme la trajectoire du mobile.

Si le point n’est pas libre, s’il est assujetti, par exemple, à se trouver sur une surface ou une courbe donnée, au moyen des équations de cette surface ou de cette éourlre, on éliminera, de l’équation entre x,yet z, résultant de l’intégration des équations (A), autant de ces variables qu’il y aura d 'équations don nées, et il en résultera, entre les forces X, Y, Z, des équations de condition nécessaires pour que le mobile puisse remplir les conditions demandées.

1 3. Si l’on ajoute les équations (A) après avoir multiplié la première par 2 dx , la seconde par 2 dy, la troisième par 2 dz, et qu’on intègre leur somme, on aura

M+jy+js = C.+ afÇLdx 4- Y dy + Z dz) ; (,)

C étant une constante arbitraire.

Le premier membre de cette équation est le carré de la vitesse dont le point M est animé, puisque ~t, ^ sont les composantes de cette vitesse, relatives à trois axes rectangulaires , et que nous avons vu qu’on pouvait appliquer aux vitesses les mêmes principes que nous avons démontrés pour la composition des forces. En désignant donc par v cette vitesse, on aura

e* = C 4- 2 fQidx 4- \dy 4- Z dz).

Supposons que la fonction \dx-\- Xdy-^-Zdz soit la différence exacte d’une fonction des trois variables x, y, z, que nous désignerons par f{x,y, 2), on aura, en intégrant,

Cette équation est remarquable en ce qu’elle donne la vitesse du mobile en un point quelconque de la trajectoire, au moyen seulement des coordonnées de ce point, et sans qu’il soit besoin de connaître la nature de cette courbe. Si l’on désigne par A la vitesse

qui répond au point dont les coordonnées sont c, b, c, on aura, pour déterminer la constante C,

A* = C 4- 2 /(a, b, c), et par conséquent

d’où l’on voit que la vitesse que le mobile acquiert en passant d’un point dont les coordonnées sont a, b, c, à un autre point quelconque, est la même, quelle que soit la courbe qu’il ait parcourue dans l’intervalle.

La courbe que décri t dans ce cas le mobile jouit d’une propriété particulière qu’on déduit aisément des équations précédentes par les premiers principes du calcul des variations. Cette propriété consiste en ce que l’intégrale fvds, prise entre deux points donnés , est moindre sur cette courbe que sur toute autre courbe menée entre les deux mêmes points, si le mobile est libre ; et que s’il est assujetti à se mouvoir sur une surface donnée , cette intégrale est moindre par rapport à la courbe qu’il trace sur cette surface en passant d’un point à un autre, que par rapport à toute autre courbe menée entre ces deux points sur la même surface.

Il suffit pour le faire voir, de démontrer que la variation S'.fvds est nulle entre ces limites. Or on a

J'.fvds — fJ'.vds et cf .vds =± ds.$v + ds*

ds désignant l’élément de la courbe décrite, et dt

5o" THÉORIE ANALYTIQUE,

i élément du temps, on a d’ailleurs

ds = y/ ^x% + ^ * + dz% ; ds = vdt , d’où l’on tire

f. f.dx +d-£j.dy + %-f.di, ds. JV = vS'v.dt.

Si dans la première de ces équations on substitue pour ds sa valeur vdt , elle donnera .

v . J . ds = ^ . J' . dx -4- . cT . dy + ^ . S' . dz .

Si l’on différencie par rapport à la caractéristique tT l’équation (r), elle donne

vJ'v =s XJ\r -f- Yjy 4- Z cTz ,

ou bien en mettant X, Y, Z, leurs valeurs

ds.J'v=^.J'x + ^£.S'f

Réunissant les deux parties de la valeur J'.vds, on trouve

J'.(vds) = d-(dxJj‘ + dy-i'J' + dzJz).

' ' dt

D’où, en intégrant par rapport à la caractéristique dr on tire >

<f./ vds = + constante.

Si l’on suppose fixes les deux points extrêmes de

DU SYSTÈME DU MOîiDE. 5r

la courbe, les variations «f.r, Jy, J'z seront milles par rapport à ces points , on aura donc entre ces limites J'.ft’ds = o , et par conséquent l’intégrale f vds sera un minimum.

Si le mobile n’est soumis à l’action d’aucune force accélératrice , sa vitesse e est constante , et l’on a fvds = i>s, en sorte que l’arc de courbe décrit par le mobile est alors le plus court que l’on puisse mener du point de départ au point d’arrivée ; et comme les espaces sont dans ce cas proportionnels au temps, il en résulte encore que le mobile parvient du premier point au second dans un temps moindre que s’il était obligé de suivre toute autre courbe.

Ces résultats, très remarquables, supposent que la fonction Xr4r -f- Y dy -f- rLdz est une différentielle exacte. Il existe dans la nature un cas fort éteudu , où cette condition est remplie, c’est celui où toutes les forces accélératrices qui agissent sur le mobile sont dirigées vers des centres fixes, et où l’intensité de chacune d’elles est une fonction de la distance du mobile à son centre d’action.

En effet, si l’on représente par P l'intensité d’une de ces forces, par a, b, c les coordonnées du point fixe vers lequel elle est dirigée, par p la distance de ce point au mobile dont les variables ce, y, z déterminent à chaque instant la position , en sorte qu’on ait

les cosinus des angles que forme la droite p avec les

axes coordonnés seront respectivement

— , ou, eu différenciant l'équation précédente,

5*’ <dy’ dx' ^*es comPosanles de la force P, parallèles aux mêmes axes, seront donc

On aura, par conséquent, en vertu des actions réunies des forces P, P', P", etc. , qu’on supposera toutes de la même nature que la force P,

X = 2.pJ, Y = 2.pÿ, Z = 2.P^.

dx’ * dy ’ dz

Si l’on multiplie respectivement par dx, dy, dz ces valeurs , et qu’on les ajoute , on a

Xdx -f- Y dy + Z dz = 2. P dp.

Les forces P, P', etc. , étant fonctions des distances p, p', etc. , chacun des termes du second membre de cette équation est une différentielle exacte ; son premier membre l’est donc pareillement.

Il n’en serait pas de même si quelqu’une des forces P, P', etc. , était dirigée vers des centres mobiles ; dans ce cas, les coordonnées a, b, c deviendraient variables, et la différentielle de dp qui entre dans la valeur de Xdx -f- Y dy -f- Z dz n’étant plus complète , cette formule ne serait pas une différentielle exacte.

14. Lorsque les forces qui agissent sur le mobile se réduisent à une force unique dirigée vers un centre fixe, le mouvement qui en résulte jouit d’une pro-

- ' Dü SYSTÈME Dü MONDE.

priété très importante dans la théorie du système du monde, et qui se déduit d’une manière très simple des équations différentielles (A). Elle consiste en ce que les aires décrites autour du centre fixe par la droite menée de ce point au mobile, sont propor- ' tionnelles au temps employé à les parcourir.

Pour le faire voir, multiplions la première des équations (A) par y, la seconde par x, et retranchons-les ensuite l’une de l’autre ; nous aurons

On trouverait d’une manière semblable les deux autres équations

~ x?- = (zX — xZ).di,j

Si l’on prend pour origine des coordonnées le point fixe vers lequel la force accélératrice P est constamment dirigée, on a X = P.*, Y = P.‘J, Z = P.^;

en faisant, pour abréger, r= \/x‘ z*, on

tire de là,

xY=jX, zX = xZ, jZ — z\. (c)

Les seconds membres des équations (a) sont donc nuis , en vertu des équations précédentes , et ces équations donnent, en les intégrant,

xdjr—jdx=cdt, zdx — xdz=c'dt, jrdz — zdjr=c"dty * ^ ' *

c, c', c " étant trois constantes arbitraires.

Si l’on ajoute ces intégrales après avoir multiplié la première par z, la secoude par y, la troisième par x , on a

cz -f- cy -4- c x = o ;

équation qui nous montre que la trajectoire décrite par le mobile est contenue dans un plan passant par l’origine des coordonnées.

11 est aisé de s’assurer que les premiers membres des équations (a) représentent le double de l’aire élémentaire tracée pendant l’instant dt par la projection du rayon vecteur du mobile sur chacun des plans coordonnés ; cette aire est donc une quantité constante ; par conséquent l’aire décrite par les projections du même rayon pendant un temps fini t sera proportionnelle à ce temps. La direction des plans coordonnés étant arbitraire, on peut prendre pour l’un d’eux le plan même de la trajectoire du mobile , d’où il suit, par conséquent, que les aires décrites par le rayon vecteur autour du centre des forces sont proportionnelles au temps.

Réciproquement, si les aires, tracées par le rayon vecteur autour du point fixe, croissent comme les temps, on en peut conclure que la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. Eu effet, les équations (2) étant satisfaites d’après cette hypothèse , leurs différentielles, et par suite les premiers .membres des équations («), seront nuis; on retrouvera donc ainsi, entre les forces X, Y, Z et les coordonnées x, y, z du mobile, les équations (c) ; d’où l’on tire

La résultante des forces X, Y, Z est par conséquent dirigée suivant 4a ligne droite menée du mobile à l'origine des coordonnées.

Les propriétés du mouvement d’un point matériel, que nous venons de développer, sont générales, et s’appliquent à une classe très étendue de forces accélératrices. Nous allons faire maintenant, sur la nature de ces forces, quelques suppositions particulières, et résoudre plusieurs problèmes qui sont d’un grand intérêt dans la théorie du système du monde.

1 5. Proposons-nous d’abord de déterminer le mouvement d’un point matériel sollicité par l’action de la pesanteur, et qui se meut dans un milieu résistant.

La pesanteur nous offre l’exemple d’une force qui exerce une action continue sur les corps qu’elle anime. Elle agit d’une manière semblable sur toutes les molécules de la matière, soit dans l’état de repos, soit dans letat de mouvement , et parait tendre à les attirer vers le centre de la terre. L’action de la pesanteur varie suivant les différons points que nous occupons sur leglobe, et suivant les distances où nous sommes de son centre. Sa direction change avec l’horizon du lieu auquel elle est toujours perpendiculaire; mais comme les courbes que l’on considère dans le mouvement des projectiles ont infiniment peu d’étendue comparativement aux dimensions de la terre, nous regarderons, dans ce qui va suivre, l’action de la pesanteur comme constante, et nous la supposerons dirigée suivant des droites parallèles. La résistance que le mobile éprouve de la part du milieu qu’il traverse dépend à la fois et de

la densité de ce milieu et de la vitesse dont il est animé. *

Cela posé, désignons par g l’intensité de la pesanteur, et par £ la résistance du milieu, que nous regarderons comme une force dirigée suivant la tangente à la courbe que le mobile décrit, et agissant en sens contraire de son mouvement, son intensité dépendant de la vitesse du mobile. Supposons le plan des x et des horizontal , et plaçons l’origine des coordonnées au point le plus élevé de la trajectoire. Si l’on désigne

par ds un élément quelconque de cette courbe , ~ , , ^ , seront les cosinus des angles que forme sa tangente avec les axes coordonnés , et la force £ donnera parallèlement à ces axes les trois composantes suivantes:

£.$, £.$•, £.^. Ces forces tendent à diminuer

ds cis as

les variables x, y, z. L’action de la pesanteur au contraire, qui s’exerce tout entière suivant l’axe des r, tend à augmenter cette coordonnée ; en désignant donc par X, Y, Z, les forces accélératrices dont le mobile est animé parallèlement aux trois axes coordonnés, on aura

Les trois équations du mouvement deviendron' donc

d'x p t ix d'y * d» d’z p ds

dl‘~ h‘d»> d? b'S» + 8

Si l'on multiplie la première par dj, la seconde par dx, et qu’on les retranche l’une de l’autre, on aura

dx d‘y dy d‘x

dt‘~dt di'Tt °’

d’où l’on tire, eh intégrant,

jr = ax + b,

a et b étant deux constantes arbitraires.

Cette équation, qui appartient à une ligne droite, est celle de la projection su» le plan des x y, de la courbe décrite par le mobile ; cette courbe est donc entièrement contenue dans un plan vertical*. En prenant par conséquent ce plan pour celui des coordonnées a: et z, on aura généralement y — a. Si de plus on suppose, comme on le fait ordinairement, la résistance du milieu proportionnelle au carré de la vitesse

dont le mobile est animé, ce qui donne C = m. .

m étant une quantité qui dépend de la densité du milieu, et qui varie avec elle, les équations du mouvement se réduiront aux suivantes:

cfx ds dx d’z

d? m‘ dt'dt * 7?

ds dz .

lît-dt + 8-

La première s’intégre immédiatement, et il en résulte

dx

dt

C étant une constante arbitraire et c la base des logarithmes dont le module est l’unité. Pour intégrer la seconde, faisons dz =jdx, y étant une fonction

quelconque de z; eu différenciant par rapport à t, il en résultera

d'z dy dx dx

dt' dt dt ~'3r' dt‘ '

Substituant cette valeur dans la seconde des équations (a), elle se réduit, en vertu de la première, à

dy dx

ou bien, éliminant dt au moyen de l’équation (b), et faisant, pour abréger, a — — on aura

dy

~tx

la.c

Cette équation différentielle du premier ordre donnera, en l’intégrant, la valeur de y en fonction de .r; cette valeur, substituée dans l’équation dz =zjrdx, fournira une nouvelle équation du premier ordre entre z ctx sans t , qni sera par conséquent l’équation différentielle de la trajectoire.

Si l’on suppose nulle la résistance du milieu, on a m=o, et l’équation précédente donne, en intégrant,

y = lax -j- b.

Mettant pour j' sa valeur ^ , et intégrant de nouveau , on aura

z = axl + bx + h ; b et h étant deux constantes arbitraires.

Cette équation est celle d’une parabole dont le

DU SYSTÈME DU MONDE. 5g

grand axe est vertical; c’est .la courbe que décrirait un corps pesant projeté dans l’espace avec une vitesse quelconque, si l’air ne lui opposait aucune résistance. L’équation ( b ) donne, eu supposant m = o, et en

l’intégrant, t = x. k étant une ajustante

arbitraire. Si l’on suppose x=o, 2=0 quand t=o, on aura h — o, k = o, et par conséquent

t = x.W^, z = ax‘ + bx ; (1)

d’où l’on tire

La première de ces équations montre que le mouvement est uniforme dans le sens horizontal , et il résulte de la dernière, que , dans le sens vertical , il est le même que si le corps tombait suivant la verticale.

On déduit de ces trois équations toutes les lois du mouvement des projectiles dans le vide. Elles comprennent aussi, comme cas particulier, le mouvement accéléré ou retardé d’un corps pesant suivant la verticale. En effet, si l’on suppose l’impulsion primitive dirigée verticalement, la parabole, qui résultait dans le cas général d’une vitesse initiale quelconque combinée avec la pesanteur, se change en une ligne droite et se confond avec la verticale. Si le corps part de l’état du repos, b = o , et l’on a simplement

dz

dt

Gl>

6a THÉORIE ANALYTIQUE

La vitesse croît donc comme le temps, et l’espace comme le carré du temps. Si l’on imagine un triangle rectangle dont un côté représente le temps, l’autre côté pourra représenter les vitesses; et la surface de ce triangle, égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, représentera l’espace que la pesanteur fait décrire au mobile. Si, après le temps I, la pesanteur cessant son action , le corps était abandonné à lui-même , il continuerait à se mouvoir uniformément, et décrirait, en vertu de sa vitesse acquise, dans un temps égal à celui de sa chute , un espace gt% double de celui qu’il a parcouru. Telles sont les lois de la chute des graves dans le vide, découvertes par Galilée.

16. Considérons maintenant le mouvement d’un point matériel assujetti à demeurer sur une surface ou une courbe donnée. Désignons par N la résistance qu’il éprouve dans le sens de la normale de la part de cette surface ou de celte courbe; en ajoutant cette résistance aux forces accélératrices dont il est animé , nous pourrons le regarder ensuite comme entièrement libre, et faire abstraction de la surface ou de la courbe qu’il doit parcourir. En nommant donc «, €, y, les angles que fait la normale avec les axes coordonnés , les équations du mouvement deviendront

X + N cos a ,

^ = Y + Ncos^,.

g=Z + NcoS>.

Si l’on ajoute ces équations après avoir multiplié

la première par idx, la seconde par idy , la dernière par sdz, et qu’on intègre leur somme, on aura

Jx' + J£±j£ c + ifÇkdx + Y dy + Z dz)

-f 2/ N . (cos a, . dx + cos £ . dy -+- cos y , dz) .

Mais, en représentant par L = o 1 équation de la surface sur laquelle le mobile est assujetti , et en substituant pour cos*, cos S, cos y, leurs valeurs ^ données n* 4 > ou a

cos a . dx -j- cos € ■ dy -f- cos y.dz — KÆ = o.

L’inconnue N disparait donc de l’équation précédente , et l’on a simplement

+ + c + 2y(X<ix + Y dy + Z dz).

Supposons que Xdx -1- Y dy •+- Z dz soit la différentielle exacte d’une fonction de trois variables f(x, y> z), on aura

Soient a, b, c, les coordonnées d’un point connu de la courbe décrite, A la vitesse du mobile en ce point; en nommant v la vitesse qui répond aux coordonnées x, 7, 3, on aura

c’ — A* = 2f(x,y, z) — af{a, b, c).

Cette équation est analogue à celle que nous avons trouvée n" i3, pour le cas d’un point matériel libre;

6s THÉORIE ANALYTIQUE

concluons de même, i*. que si aucune force accélératrice n’agit sur le mobile, sa vitesse est constante: c’est ce qu’il est facile de concevoir, d'ailleurs, en observant que la diminution de vitesse qu’un point qui se meut sur une surface ou une courbe donnée éprouve à la rencontre de chacun des plans de cette surface ou des élémens infiniment petits de celle courbe, est une quantité infiniment petite du second ordre; a*. que si les forces accélératrices n’étant pas nulles , la formule Xdx Y dy -f- Z r/s est intégrable, la vitesse du mobile n’est plus constante , mais qu’elle est indépendante de la surface ou de la courbe sur laquelle il est forcé de rester; il suffit, pour déterminer cette vitesse en un point quelconque" de la trajectoire, de connaître les coordonnées de ce point et la vitesse du mobile au point de départ.

Enfin, le principe de la moindre action subsiste par rapport aux courbes qu’un point matériel peut tracer sur la surface à laquelle il est assujetti, comme par rapport à celles qu’il peut décrire dans l’espace lorsqu’il est libre, ainsi que nous l’avons annoncé dans le n° cité.

Déterminons actuellement la pression que le point exerce contre la surface ou la courbe sur laquelle il se meut. Supposons d’abord qu’aucune force accélératrice n’agit sur le mobile; sa vitesse v sera constante ; et si l’on désigne par ds l’élément de la courbe décrite, ou l’espace parcouru pendant l’instant dt, on aura

ds = vdt ; d’où l’on lire dt = —. L’élément ds est

donc aussi constant , et les équations du mouvement

DU SYSTÈME DU MONDE, en substituant pour dt sa valeur, deviendront

v*.^-=Ncosa, v'/ÿ = Ncos6, v*.^ = Ncos>;

d'où l’on tirera

v\ ]/(d-xY+ (<t\rY 4- (d'zf

du'

Mais ds e'tant constant, si l’on nomme /• le rayon osculateur de la courbe décrite par le mobile, on a

ds *

\/(dh:r+(dy)'+(d‘if

L’expression de N devient donc aiusi

C’est-à-dire que la pression exercée par le point contre la surface ou la courbe est égale au carré de sa vitesse , divisé par le rayon de courbure de la trajectoire qu’il décrit.

Si le point se meut sur une courbe , et qu’il soit sollicité par des forces accélératrices quelconques, en ajoutant à cette expression celle de la pression due à l’action des forces accélératrices , on aura la pression totale que le point exerce contre la courbe.

Si le point se meut sur une surface , la pression due à la force centrifuge sera égale à celle qu’il exercera contre la courbe qu’il décrit, Recomposée suivant la normale à la surface en ce point , c’est-à-dire au carré de la vitesse , divisé par le rayon du cercle osculateur, et multiplié par le sinus de l’angle que fait

le plan du cercle osculateur avec le plan tangent à la . surface. On aura la pression totale que le point exerce contre la surface , en ajoutant à cette expression celle de la pression due à l’action des forces qui le sollicitent.

Lorsque le point n’est sollicité par aucune force accélératrice, la force centrifuge est, comme nous l’avons vu , égale au carré de la vitesse , divisé par le rayon du cercle osculateur de la trajectoire ; le plan qui contient ce cercle est donc alors toujours perpendiculaire à la surface donnée.. Cette propriété appartient à la courbe la plus courte qu’on peut mener d’un point à un autre sur cette surface : c’est donc aussi celle que décrit le mobile ; et cette loi remarquable du mouvement d’un point matériel dépend d’un principe général de Mécanique qu’on a nommé principe de la moindre action.

Si un point matériel qui n’est animé d’aucune force accélératrice se meut dans l’intérieur d’un cercle ; la pression qu’il exerce contre la circonférence sera égale , d’après ce qui précède, au carré de sa vitesse divisé par le rayon de cette circonférence.

Au lieu de supposer le point renfermé dans un cercle, on peut imaginer qu’il soit attaché à l’extrémité d’un fil inextensible, et qu’il se meuve circulairement autour d’un point fixe ; la tension qu’éprouvera le fil remplacera la résistance que le point exercerait contre la circonférence du cercle , et équivaudra par conséquent à la force que nous avons désignée par N. L’effort que fait le point pour tendre le fil et pour s’éloigner du centre de la circonférence, est ce qu’on

DU SYSTÈME DU MONDE. f>5

nomme force centrifuge; elle est égale au carré de la vitesse divisée par le rayon. En désignant donc pai 'f cette force, on a

Comparons la force centrifuge à la pesanteur. Pour cela, supposons que la vitesse v soit celle qu’acquerrait le corps en tombant de la hauteur h, on aura, n" i5, v* = 7gh , et l’équation précédente donnera

Si h~\r, la force centrifuge devient égale à la pesanteur, en sorte que la tension que le fil éprouve par l’action du corps qui se meut circulairement dans un plan horizontal, est la même que si ce corps était suspendu verticalement à son extrémité. Il suffît, pour cela, que la vitesse dont il est animé soit celle qu il acquerrait en tombant d’uuc hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

Supposons que le mobile emploie le temps T à décrire la circonférence dont le rayon est r, et soit vr le rapport de la circonférence au diamètre, on aura

27rr ,,

-7JT- . d 1

ou

C’est-à-dire que la force centrifuge est proportionnelle au rayon, et en raison inverse du carré du temps employé à décrire la circonférence. La force centrifuge qui résulte du mouvement de rotation de la terre doit Tome I. 5

m THÉORIE ANALYTIQUE

doue aller eu augmentant des pôles à l'équateur, et elle tend à diminuer de plus en plus l’action de la pesanteur. On a trouvé , en réduisant en nombres l'équation précédente, que le rapport de la force centrifuge à la pesanteur qui aurait Heu si la terre était supposée immobile , était à l’équateur égal à fort peu

près à - . En sorte que si le mouvement de rota-

tion de la terre était 17 fois plus rapide, la force centrifuge serait égale à la pesanteur, et les corps resteraient en équilibre sous l’action de ces deux forces à l’équateur.

1 7. Nous allons considérer maintenant, comme une application intéressante des formules générales (A), le mouvement d’un point matériel pesant dans l’intérieur d’une surface sphérique.

Nommons r le rayon de la sphère, et fixons à son centre l’origine des coordonnées; l’équation de la surface sur laquelle le mobile est forcé de rester, et que nous avons représentée généralement par L=o, deviendra, dans ce cas,

et l’on aura, par conséquent,

d(> ^ x ^(/L y cilj z

dx r 9 dy r 9 dz r 9

ce qui donne

K = i , cos «s-, cos C = — , cos y = - .

La pesanteur étant la seule force accélératrice qu’011 suppose agir sur le mobile, on aura X = o, Y = o, ^ — g> et les équations générales du mouvement (A) donneront, par la substitution de ces valeurs, les trois suivantes :

Si l’on multiplie respectivement ces équations par ■xdx, adj- , 2 dz, qu’on les ajoute, et qu’on intègre leur somme en observant que l’équation de la sphère donne, en la différenciant,

xdx +ydjr + zdz =. o, (1)

on aura pour déterminer la vitesse dont le mobile est animé

dx* + dy‘ -f- dz'

d't' — 2gz + c> (a) c étant une constante arbitraire.

La vitesse du corps est donc la même que s’il était tombé verticalement de la hauteur z, ce qui est conforme à ce que nous avons dit ri° 16.

Déterminons la.pression que le mobile exerce contre la surface. Pour cela, multiplions les équations (B) la première para:, la seconde parj, la troisième par zajoutons-les ensuite, en observant que lequatiôn delà sphère donne ar* + r*+ =* = nous aurons

xd'x -f- y d'y + zd'z

Tr = Nr + g-s.

L’équation de la sphère différenciée deux fois , donne

xd’x -t- y d'y -}- zd's dx% + dy% + rfs*

d? dr~ •

L’équation précédente donne donc , en vertu de l’équation (a) ,

N = — fe±-c.

Il nous reste à connaître à chaque instant la situation du mobile sur la surface qu’il parcourt. Pour y parvenir, observons qu’on obtient aisément une nouvelle intégrale première des équations (B) ; en effet r si l’on multiplie la première par y, la seconde par x , qu’on les retranche l’une de l’autre, et qu’on intègre l’équation résultante, on trouve

jrdx — x dy=c.dt, (3)

c étant une constante arbitraire.

On a doncentre les variables x, y, z, et/, les trois équations différentielles du premier ordre (0* (2)> (SJ; il ne s’agit plus* par conséquent que d’intégrer ces équations pour déterminer les coordonnées du mobile en fonction du temps. La première a pour intégrale l'équation de la sphère; les deux autres, il est vrai, ne sont pas intégrales sous forme finie, mais on parvient aisément à séparer les variables, et l’intégration est ramenée aux quadratures.

En effet si , après avoir mis l’équation (i) sons cette forme xdx-\-ydy~ — zdz, on l’élève au carré, ainsi que l’équation (5), et qu’on les ajoute ensuite, on trouve

(x* -4-/*).( dx* -f- dyl) = z‘dz • c'*.dl *.

Substituons pour a:’ -\-y% sa valeur r * — z*j'et pour

dfL

dt * 1 — dtT‘

équation entre z , dz,dl, d’où il est aise de conclure

dv% 1 . dz *

— , sa valeur 2 "Z-f- c — — , nous aurons une

dt —

— r.dz

Nous donnons au second membre le signe — , parce que le corps étant supposé s’éloigner de la verticale, z diminue quand t augmente.

Cette formule donnera, en l’intégrant par approximation , le temps t en fonction de z , et réciproquement z en fonction de t.

On connaîtra ainsi à chaque instant le plan horizontal dans lequel se trouve le mobile; il suffira donc, pour assigner sa position sur la sphère , d’avoir un second plan sur lequel il doive se rencontrer dans le même instant.

Pour cela, soit a> l’angle que forme le plan vertical qui passe par le mobile et le centre de la sphère , avec le plan vertical des x et des z ; on aura

x = V/r* — z* . cos », y = \/r* — z*.sinû>, d’où l’on tire

xdy — ydx = ( r * — z’).c?a».

L’équation xdy— ydx = c .dt donnera donc ainsi

dùù =

c'. dt r* — i1’

Si l’on Substitue pour dt sa valeur précédente en;, et qu’on intègre ensuite par approximation l'équation résultante , on aura l’angle a> en fonction de z. On connaîtra ainsi pour un instant quelconque les deux variables ; et a, et la position du mobile sera par conséquent entièrement déterminée.

Au lieu de supposer que le point se meut dans l'intérieur d’une surface sphérique, on peut imaginer qu’il soit suspendu à l’extrémité d’un fil inextensible dont l’autre extrémité est fixe, et dout la longueur est égale au rayon de la sphère ; les mouvemens dans les deux casserontparfaitementles mêmes. Le fil etlepoiut qu’il supporte forment alors un peudule simple , et l’on nomme demi-oscillation le temps que met le mobile à revenir de la plus petite à la plus grande valeur de z. On en déterminera la durée en développant en série l’expression de dl,e t en l’intégrant ensuite entre ces limites.

Four y parvenir, reprenons la valeur de dt, et supposons

(/•* — + c) — c>% = (a — z).(a — b).(2gz -f- k).

En comparant dans les deux membres les coefliciens des mêmes puissances de z, on aura pour déterminer a, b , k, ces trois équations ;

Ig. (rs — a' — ab — b')

DU SYSTÈME DU MONDE. :i

On peut aux arbitraires c et c' substituer les deux nouvelles arbitraires a et b , dont la première répond à la plus grande , et la seconde à la plus petite valeur de a , puisqu’en effet la supposition de 2 *= a , et 2 = b donne dz = o.

Cela posé , faisons

L’expression de dt deviendra

^ r\/ 2(a -+■ b) » dx

en faisant pour abréger a* = +

Cette expression intégrée depuis z = a jusqu’à z — b, ou depuis x = o jusqu’à x = 1 , donnera le temps que le pendule emploie à faire une demi-oscillation. Nommons ’ T ce temps , développons en série la fonction (1 — «\r*)— ï ce qui donne

( 1 — <t*x*) - Ï = 1 + ï . <t'x* + ,a< x4 4- .é X* 4 etc.

Multiplions chacun des termes de ce développement

dx

par

rj , et intégrons ensuite ; nous aurons

Tr'/iVBr!L+‘£

(«4 tl’+f*- i*

><[’+(ï)^^+(^)^«4-M(^)‘. **+..• etc.]?

t étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

7a THÉORIE ANALYTIQUE

Si, lorsque z — b, on suppose nulle la vitesse du mobile, ce qui revient à prendre le commencement d’une oscillation pour origine du mouvement, on aura c — — 2 gb, c = 0 , ce qui donne a> = constante ; c’est-à-dire que le mobile oscille alors dans un plan vertical : les équations (o) donnent ensuite

a = r ; d’où «*= L’ordonnée 2 divisée par r

exprime le cosinus de l’angle que forme le pendule avec l’axe des z ; le cosinus de son plus grand écart

de la verticale sera donc ^ , et la fraction exPri"

mera le carré du sinus de la moitié de cet angle; la durée totale de l’oscillation sera alors

Si le pendule s’écarte peu de la verticale, est

une très petite quantité que l’on peut négliger; on aura donc, dans ce cas,

La durée des petites oscillations est par conséquent indépendante de leur amplitude; ces oscillations sont donc isochrones ou de même durée, quelle que soit leur étendue, et cette durée 11e dépend que de la longueur du pendule et de l’intensité de la pesanteur.

L’expression précédente de T donne le moyen de

déterminer, à l’aide du pendule, les variations de la pesanteur dans les divers lieux de la terre , d’une manière beaucoup plus exacte qu’on ne pourrait le faire par des expériences directes sur la chute verticale des corps. En effet, en l’élevant au carré, on en tire

g = -Tpr; g représentant (n° i5) la vitesse que la pesanteur imprime aux graves, ou le double de l’espace qu’ils parcourent dans la première seconde de leur chute. Eu faisant donc osciller un pendule de longueur donnée r pendant un intervalle de temps connu, on aura la valeur de T eh divisant ce temps par le nombre d’oscillations du pendule, et l’équation précédente, dont le second membre sera entièrement déterminé, donnera la valeur de g ou de l’intensité de là. pesanteur. A Paris , la longueur du pendule à secondes, mesuré avec-beaucoup d’exactitude, est de o”, 741887; on a de plus 7T% = 9 . 8696 , ce qui donne g = jm, 32214 J d’où il suit que la pesanteur y fait tomber les corps de 5m,G6i07 dans la première seconde. Des expériences précises ont montré que cette valeur est la même, quelle que soit la substance dont est formé le pendule que l’on fait osciller; il en faut conclure que la pesanteur agit également sur tous les corps de la nature dans un même lieu de la terre, et que, par conséquent, sans la résistance de l’air, elle leur imprimerait à tous, dans le même temps, une vitesse égale. Quant aux variations ^e la pesanteur sur les différens parallèles, on observe que son intensité diminue en allant du pôle à l'équateur; et la variation totale qu’elle subit entre ces deux points s’élève à environ de sa valeur moyenne.

1 8. Nous venons de voir que l’isochronisme des oscillations du pendule circulaire n’a lieu qu’en supposant leur amplitude très petite; il est curieux de déterminer quelle est la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir pour arriver dans le même temps au point le plus bas, quel que soit l’arc qu’il ait décrit depuis son point de départ. Pour résoudre cette question, plaçons l’origine des coordonnées au point le plus bas de la trajectoire; nommons ds un quelconque des élémens de cette courbe , et désignons toujours par g l’action de la pesanteur. La force accélératrice , le long de l’arc de la courbe , sera la pesanteur décomposée suivant sa tangente; elle sera égale, par consédx

quent, à g Cette force tend à diminuer l’arc s

que nous supposons compté, ainsi que z, du point le plus bas ; on aura donc

d’s dx

Si l’on multiplie les deux membres de cette équation par a ds, et qu’on intègre, on trouve

dx*

c étant une constautc arbitraire.

Soit h l’ordonnée du point où le mouvement commence, et supposons nulle en ce point la vitesse du mobile; on aura c = 2gh, et l’équation précédente, résolue par rapport à di, donnëra, en observant que

l’arc s diminue quand t augmente,

dt — =£*=-; (n)

ou bien, en développant le radical du second membre,

dt:

.ds\ i-f-

z , i . 3 x' ,1.3.5 liTTh, ‘Âa + a.4.6 -^ + etc-

Quelle que soit la nature de la courbe cherche’e, s est une fonction de s, et l’on peut supposer que cette fonction développée et différenciée ensuite, donne

~ = az‘ + bz9 + etc.

En substituant pour ds sa valeur dans l’expression de dt , on aura

a zl

V *g là

fI+I î+iJ f!

Vh à*