Tome I

16a THÉORIE ANALYTIQUE

Si l’on multiplie ces équations, la première par dxf la seconde par djr, la troisième par dz, qu’on les ajoute ensuite , et que l'on suppose la fonction- X dx -f- Y -{- Z àz une différence exacte, ce qui est le cas de la nature, et le seul, par conséquent, qu’il convienne d’examiner ici , en faisant , pour abréger

, TLdx + \dy + Zilz = dn,

on aura

dp , de . du , du . i

— d\dï+dJ' + dï) •)

d’où, en intégrant et observant que l’on a

on tire "dp .

rdp n dp » /“e t . dp‘\ ...

J,=n — Tt — *-Kæ+?ï‘+dï)' U >'

Cette intégrale devrait contenir en outre une arbitraire fonction de t; maison peut la supposer comprise dans la fonction <p.

Si l’on substitue de même pour s, u, \> leurs valeurs dans l’équation (b), on aura

dt ^

dtp

dtT*

dy~

dtp

d-fT*

C’est l’équation relative à la continuité du fluide.

DU SYSTÈME DD MONDE. l63

Ainsi donc, les équations du mouvement du fluide se réduisent, dans le cas que nous examinons , aux deux équations (/) et (g). Si le fluide est homogène,

on a, dans la première de ces équations, ~P et la seconde se réduit à * * . f

t/'e d‘ç li-fl

d? + dp *+* d? = ?• . W

11 ne s’agit donc que d’intégrer cette équation ; elle donnera la valeur de *, et en la .substituant dans l’équation (/), on aura par de simples différenciations celle de p. .*

Il n’y a aucun moyen de reconnaît» à priori tous les cas ob la fonction sdx -budj + vdz doit être une différence exacte ; mais on peut démontrer qu’elle le sera pendant toute la durée du mouvement si elle l’est pour un instant donné. En effet, supposons que, pour un instant quelconque, elle soit intégrable et égale à d<f>; dans l’instant suivant, elle deviendra

Elle sera donc encore une différence exacte pendant cet instant, si la fonction ~.dx + ~.dy+ ~ dz en est une. Or, l’équation (e) donne

%.d*+d£.dy+%.d*=d^lld(dJt .

dt dl dt % ,; f a

Si 1 on suppose la densité p constante ou fonction de p, le second membre de cette équation est une différence exacte ; le premier 1 est donc pareillement , et la fonc-

i64 THÉORIE ANALYTIQUE

tibu sdx-\-udy vdz est une différentielle complète dans le second instant, si elle l’ést dans le premier, et elle demeure telle, par conséquent, pendant tout le temps où le fluide se meut.

Si le fluide part de l’état du repos, et sans qu’il lui soit imprimé de vitesses initiales, on aura sc=o, u= o, v=o pour le premier instant: sdx-{-udy-{~ vdz sera donc une différence exacte pour cet instant, et elle lésera aussi^ par conséquent, pendant toute la duféü d« mouvement: >

, -.H La fonction sdx-+- udy vdz est encore intégrable lorsque la masse fluide que l’on considère ne fait que de< Ai es petites oscillations , ce qui permet de négliger les carrés elles produits des ■vitesses*», u,v de ses molécules. Les équations (a) donnent alors simplement

j f ; • I ds } du j ' . dv J .

La fonction . dx -f- . dy -f- ^-.as, et par conséquent la fonction! sdx udyr vdz , sera donc une

différentielle exacte, si l’on suppose, comme nous le fttii&bs'] p 'Ibhcfldtt dc ’)>l Eli nommant comme précédemment d<P ect^e dernière différence, on aura

n — ('<ÙL ’lî.

•J e ~dr

Cette équation, jointe à l’équation ( g ) relative à la continuité du fluide, renferme toute la théorie des ondulations très petites des fluides.