CHAPITRE VII

Du Mouvement des Jluiiles.

/,o. Les lois des mouvemens des fluides sont faciles à déduire de celles de leur équilibre, au moyen du principe de d’Alembert, auquel nous avons déjà ramené toute la Dynamique.

En effet, considérons une masse fluide dont toutes les molécules sont sollicitées par des forces accélératrices quelconques. Soient x, y, z les trois coordonnées d’un desélémens dm du fluide, X, Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur lui parallèlement aux axes coordonnés , et f sa densité. Au bout de l'instant dt, les vitesses dont cet élément est animé

dans la direction des mêmes axes, seront

et au commencement de l’instant suivant ces vitesses prendront respectivement les accroissemcns Xdt,Ydt, 7jdt par l’action des forces accélératrices; les vitesses de l’élément dm parallèlement aux axes des coordonnées a*, y, z, deviennent donc

mais au commencement de ce même instant, les vitesses de l’élément dm sont évidemment

PiQitizi

DU SYSTÈME DU MONDE. * i 5;

Il faudra donc, conformement au principe énoncé, qu’il y ait équilibre entre ces six vitesses ou les forces qui les produisent, en supposant les trois dernières appliquées à dm en sens contraire de leur direction. On aura donc , n° 38 ,

Ces équations ne suffisent pas pour déterminer les lois du mouvement des fluides; il reste encore à exprimer que le fluide n’a pas changé de niasse pendant qu’il se meut, et cette condition, qui résulte de la continuité du fluide, fournil une nouvelle équation du mouvement. Kn effet, dm désignant la masse de l’un quelconque des élémeus du fluide et /sa densité, on a dm—f.dx dy dz: la condition de la continuité du fluide sera donc exprimée par l’équation f.dx dy dz = const. ou par l'équation différentielle

d.f.(dxdydz)z= o. (a)

Cette équation, jointe aux trois équations (i), serviront à déterminer les quatre inconnues x, y, z et p

eu fonction du temps.

4i. Pour développer l’équation (a), observons que les trois dimensions du petit parallélépipède dm deviennent, au bout de l’instant dt , dx -f- d.dx , dy -f- d.dy, dj d.dz. Mais il faut faire ici une remarque essentielle , c*est que la variation de dx ne provient que de l'accroissement que reçoit la coor-

d\v\ dC d'x\

' de) ■

i58- • TUÉORtE ANALYTIQUE

donnée je , les variables y. et z restant les mêmes; «le même , les variations de dy et de dz ne résultent que des accroissemens que prennent respectivement ces «leux dernières coordonnées. Pour exprimer ces conditions, nous écrirons de cette manière les trois nouvelles dimensions de dm :

dx .

Si l’on suppose que , dans le second instant , la figure de dm soit encore celle d’un parallélépipède rectangulaire, ce qui est exact, aux quantités près du cinquième ordre , comme il est facile de s’en convaincre par la Géométrie, on aura pour le volume de ce parallélépipède

djdz.{ '

Quant à la densité p, si on la regarde comme une fonction de x,y, z et t, elle deviendra au bout de l’instant dt

En multipliant donc la densité par le volume , et négligeant les infiniment petits du second ordre, on aura .

dmz= f .dxdjr dz [i .dy

. ds j d'x d’y . d’z\

+dt<iz+?'i£+r- — +f

I)U SYSTÈME I)U MONDE, et lequatiou (a) deviendra par conséquent # ^ , dx , <iy

, -f , dt

ci, , “•r* , rt-'ar , '^7 ....

H — }— 4- ~77~ + -jT — v- (a)

Si le fluide est incompressible, non-senlement sa masse ne doit pas varier, son volume doit encore rester le même pendant toute la durée du mouvement; on aura donc

j« ji„ ja-

dx . ‘ * d*

et relativement à la densité

%+%-te+%-dr+%-d**=°- (5)

Ces équations remplaceront dans ce cas l’équation (a) , et, jointes aux équations (i), elles serviront à déterminer les cinq i néon nues p, p, x ,y, zen fonction det. Enfin, si le fluide est à la fois incompressible et homogène, la dernière de ces équations deviendra identique, et les quatre autres suffiront pour déterminer les inconnues du problème.

/{2. On peut donner aux équations (i) et (5) une formeplus commode dans quelques circonstances.Pour cela, on prend pour inconnues, au l’reu des coordonnées x,y, z, de dm, les vitesses ~ÿt qui ani-

ment cet élément dans le sens de ces coordonnées, et qu’on regarde comme des fonctions de x ,y, z et t. Faisons pour abréger

dx dy dx

s~Tt’ ‘’=w7-

iGo THÉORIE ANALYTIQUE

Si J’on différencie ces équations, en supposant que x,y, z et t varient à la fois, et qua la pla<# |les accroissemens dt r, dj, dz, on substitue leurs valeurs sdt , udt, vdt , on aura

d* ~ % * dt + 5 • sdt + 1 . udt + * . vdt,

du =^.dt+J£. sdt Jf-^.wir+^.vdt,

dv=%dt+i-sdt + d^udl + £.vdi.

En mettant ces valeurs à la place «le — , iZ ~

1 dt ’ 17 ’ dt

dans les trois équations (i) , on aura les suivantes

dp , /v dt ds ds ds \

dï-r\X-dï-Tx-s- Ty'u-7.-v)>

dp fv du du du du \

dy *\ dt dx’ dy’U dî‘V)r dp

dp frj du de du di> \

dz ~ f \ dt ~~ (h’ dÿ'U d*’VJ •

Enfin l’équation (3) deviendra, par une transformation semblable

équation qui, pour les fluides homogènes et inconirpressibles, se réduit à celle-ci

ds du du

dx~i~dj~T~dl

Les équations (ci) et (b) donneront les valeurs de

Dü SYSTÈME DU MONDE. >6t

s, u, v en fonction de x,y, z, t, et l’on aura ensuite les valeurs de x, y, z en fonction du temps t , au moyen des trois équations

dx — sdt, dj — iidt , dz—vdt.

43. Toute la difficulté de la théorie du mouvement des fluides se réduit donc à l'intégration des équations aux différences partiellès (a) et (b). Mais cette difficulté est telle, quelle a arrêté jusqu’ici, même dans les questions les plus simples, les efforts des géomètres. Il existe cependant un cas fort étendu , dans lequel ces équations deviennent susceptibles d’intégration : c’est celui où la quantité sdx-{-udy-\~ vdz est une différentielle exacte d’une fonction des trois variables x, y, z, en sorte qu’en la nommant cp, on a 1 1

s dx -\-udy -+- vdz = d<p. '

La fonction <p fait connaître les vitesses de chaque molécule du fluide parallèlement aux axes coordonnés, caron a "*

Si l’on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les trois équations (à), elles deviennent ,

dp / ds dp d'p ^ dp d'p .y dp d'p \ | «

dx ^ " \ dt dx dx * dy'dydx dz’dzdxj,l

dp / du dp cPp dp d‘p dp d‘p N I . j.

dy * \ dt dx dx dy dy' dy' dz’dzdy)’}

dp dv^dp d’p dp d'p dp d'p\ 1

dz * \ dt dx dx dz dy " dy dx dz' dz‘ ) J