LIVRE SECOND

Mouvement de révolution des corps célestes.

CHAPITRE Ier. Des forces qui produisent les mouvement des corps celâtes , ou principe de la pesanteur universelle .

Les mouvemens des corps et lestes nous révèlent l’existence des forces qui les animent. Les lois de ces mouvemens, découvertes par Kepler, combinées avec les principes de la Mécanique, montrent, i°. que la force principale qui sollicite les planètes et les comètes est dirigée vers le centre du Soleil ; a9, que cette force croit en raison inverse du carré de la distance du centre de ccs astres & celui du Soleil; 3®. que la force qui anime les planètes et les comètes serait la même pour tous ces corps supposés & égale distance du Soleil n°» 1 et a

TABLES DES MATIÈRES. xxiij

La comparaison des lois du mouvement ans observations , conduit sans aucune hypothèse étrangère h cette grande loi de la nature : toutes les molécules de la matière s'attirent en raison directe des masses et

inverse du carré des distances n° 3

Les phénomènes les plus remarquables du système du monde se déduisent naturellement do principe de la gravitation universelle n° 4

CHAPITRE II. Equations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles .

•Le mouvement de chacun des corps du système est déterminé par six équations. Les trois premières déterminent à chaque instant la position de son centre de gravité dans l'espace ; les trois dernières , la situation du corps

relativement h ce centre » n°‘ 5 et 6

Lorsqu'on ne considère qne les mouvemens de translation des corps célestes, on peut faire abstraction de leur figure, et les regarder comme des points matériels concentrés dans leur centre de gravité. Equations

différentielles du mouvement d’un pareil système n# 7

Équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles, autour de l’un d’entre eux considéré comme

centre des mouvemens uo g

Les intégrales qui résultent des principes de la conservation du mouvement du centre de gravité, des aires et des forces vives, sont les seules intégrales rigoureuses qu’on ait pu jaaqu’ici tirer de ces équations. Développement de ces intégrales n° g

Le système d'une planète et de ses satellites agit, à très peu près, sur les autres corps célestes, comme si la planète et ses Miel lit es étaient réunis A leur centre commun de gravité, et le mouvement de ce centre autour du Soleil est à très peu près le même que si cette réunion avait lien en

n° 10 et 11

Lis équations différentielles des monvemens des corps célestes n’étant pas integra blés en général , il a fallu recourir aux méthodes d’approximation pour en déduire les lois de ces mouvemens. La méthode proposée par Lagrange, et qui embrasse dans la même analyse les phénomènes du mouvement de translation et ceux du mouvement de rotation , est la plus ingénieuse et la plus générale qu’on ait encore imaginée n° 12

CHAPITRE III. Intégration des équations différentielles du mouve ment (Tun système de corps soumis à leurs attractions mutuelles.

Transformation nouvelle de ces équations. Méthode générale pour les intégrer par la variation des constantes arbitraires contenues dans les intégrales qu on obtient , en faisant abstraction d’une partie de leurs termes. Expressions generales des variations des constantes arbi- ^ai«* JS, 1 4, i5, 16, 17, 18 et 19

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE IV. Première approximation du mouvement de révolution des corps célestes , ou théorie du mouvement elliptique.

intégration des équations différentielles qni déterminent les mouvement relatifs de deux corps qui s'attirent en raison directe des niasses et en raison inverse du carre' des distances. La courbe que le premier décrit autour du second est une section conique, et les aires décrites sont proportionnelle* aux temps, Expressions du rayon vecteur de l'anomalie moyenne et de

l'anomalie vraie, en fonction de l’anomalie excentrique n« 10

Transformation des intégrales précédentes qui donne les constantes exprimées * en fonctions des coordonnées rectangulaires de la planète et de leurs premières différences n° ai

Expressions de l'anomalie excentrique , du rayon vecteur et de l’anomalie vraie , en séries convergentes de sinus et de cosinus de l'anomalie

moyenne n°’ aa , a3 et a4

Expressions en séries du rayon vecteur, de la longitude cl de IV latitude d'une planète rapportée h un plan très pen incliné h celui de son orbite n* u5

Développement des formules du mouvement elliptique dans le ct'i d’une orbite liés cxccntiique. Expressions du rayon vecteur cl du temps eu fonctions de la longitude vraie, dans une parabole. Ces formules sont

très en usage dans la théorie des comètes • n« 26

Relation remarquable qui existe entre le temps employé b décrire un arc de parabole , les rayons vecteurs menés aux extrémités de cet arc et

la cordc qui le soutend n* 27

Moyen très simple de déterminer la masse des planètes qui sont accompagnées de satellites. Application ?i Jupiter. Méthode particulière pour déterminer la masse de la Terre..... 110 28

CHAPITRE V. Détermination des constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique.

Détermination des élémens de l'orbite d’une planète ou d’une comète, lorsqu'on connaît, pour un instant donné, 6cs trois coordonnées orihogouajes

et leurs différences premières...... n° 39

Relation générale qni existe entre les deux rayons vecteurs menés aux extrémités d'un arc elliptique, la cordc qui soutend cet arc et le temps

employé b le parcourir n° 3o

Détermination des élémens de l'orbite dans le cas où l'on connaît deux lieux de la planète et le temps employé à parcourir l'espace qu'il» comprennent n° 3t

Développement en séries convergentes ordonnées par rapport au temps, des coordonnées rectangulaires de la planète, dans le cas où l'on tup-

TABLE DES MATIERES. xxv

pose très petit l'intervalle qui a'écoolc entre ws passages par les deux

points donnés.

Détermination des élémens de l'orbite dans le cas

on l'on connaît (rnis

rayons vecteurs et les temps employés par la

planète à parcourir

lea intervalles qui les séparent

CHAPITRE VI. Variations des constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique , ou théorie des perturbations planétaires.

On peut considérer généralement l’orbite d'une planète comme une ellipse dont les démens varient h chaque instant par l'action des forces perturbatriccs. Manière de réduire cette considération en analyse, et formnlcs qn'on en déduit pour la détermination des variations des démens elliptiques; ces formules coïncident avec celles qui résultent de la théorie générale delà variation des constantes arbitraires. n°» 36, 37, 3$ et 3q.

Application des formules précédentes aux formules du mouvement dans l'ellipse n° 4°

Expressions diverses des variations des démens de l'orbite, an moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice, prises par rapport k ces élémens et multipliées par des cocfficicns constans, n0* 41 » 4^ >

Formules qui déterminent la partie des variations des élémens elliptiques qni croit avec une extrême lenteur » n°> 46

CHAPITRE VII. Développement des formules qui déterminent les variations des tlcmens des orbites planétaires , et relations qui existent entre les inégalités séculaires de ces élémens.

Distinction des variations des élémens elliptiques en variations périodiques et en variations séculaires. Moyen de les déterminer en intégrant par approximation leurs râleurs diffcrcuticlles n°

Développement en série, ordonnée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, de la fonction perturbatrice.. n° 48

Formules pour calculer les difféiena termes de ce développement. n°» jp»

5o, 5t ci 5a.

Expression du terme du développement en série de la fonction perturbatrice, qni est indépendant du temps, et d'où résultent les variations séculaires n° 53

Formules générales qui déterminent les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons d'un système d'orbites , loisqu’on ne pousse l'approximation qnc jusqu'aux termes du premier ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Relations générales qui existent culro

xxvj ' TABLE DES MATIÈRES.

les inégalités à longues périodes. Conséquences qu'on eu tire. Mouvement des orbites de deux planètes soumises à leurs actions réciproques; leur inclinaison mutuelle est constante, et le mouvement de leur commune intersection , sur les plans de chacune de ces orbites, est uniforme n<>* 54, 55 , 5G et 57

CHAPITRE VIII. Inégalités séculaires des elémens des orbites planétaires.

V ariations séculaires des grands axes et des moyens mouvement.

Les moyens monvemens des planètes sont uniformes et leurs grands axes sont constans, même lorsqu'on pousse les approximations jusqu'aux carrés des forces perturbatrices no» 58, 59, 60 , 61 et 6a

V ariations séculaires des excentricités et des périhélies.

Développement des formules différentielles qui le» déterminent, en ne portant l'approximation que jusqu'aux premières puissances des excentricités

et des inclinaisons n° 63

- Intégration de ces équations et détermination par les observations de» arbitraires qu'elles renferment n* 64

Les excentricités des orbes planétaires ne pourront pas éprouver dans la suite des siècle» de» variations considérables , et elles resteront tonjonrs

très petites, comme elles le sont aujourd'hui n° 65

Examen de la formule qui donne sous forme finie la variation du péri-

hélie. n° 66

Considérations sur les résultats précédens n* 67

Variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds.

Équations différentielles qui les déterminent, en n'ayant égard qu'aux

premières puissances des excentricités et des inclinaisons n° 68

Conversion de ce» équations en un système d'équations différentielles linéaires, et intégration de ces équations. La stabilité dn système planétaire est assurée relativement anx inclinaisons, comme elle l'est par rapport aux excentricités, c^est-h-dire qu'elles ne subiront jamais de variations

considérables ... n° 6q

Moyen curieux de déterminer géométriquement les excentricités , les inclinaisons et les longitudes du périhélie et des nœuds des orbites planétaire»..... n<> 70

Variations de» inclinaisons et des noeuds d*un système de planètes rapportées Il l'orbite mobile de Tune quelconque d'entre elle» n° 71

Considérations sur Tes résultats précédens n° 7a

TABLE DES MATIÈRES

xxvij

Variation séculaire Je la longitude de l’époque.

Importance de celte variation, parce qu’elle produit l’altération sécu-

lairc de la longitude moyenne.., n° 73

Relation qui existe entre les variations séculaires de l’époque de deu? planètes soumises à leurs attractions mutuelles, relation qui donne le moyen facile de déduire l’une de ces vacations de l’autre supposée connue n® 74

Intégration de l’expression différentielle de la variation séculaire île l’époque. Le terme proportionnel au carré du temps qui entre dans sa valeur finie, est insensible dans la théorie de Jupiter et de Saturne, mais il produit l’accélération du moyen mouvement de la Lune, dont on avait long*

temps cherché vainement la cause... n° 75

Expression rigoureuse de la variation séculaire de l'époque n* 7b

De la stabilité du système planétaire.

Pour l’assurer, il faut 1®. que les grands axes des orbites soient invariables; a°. que les variations des excentricités et des inclinaisons soient renfermées entre d’étroites limites. Ces conditions sont remplies, quelque loin que l’on pousse les approximations, relativement aux excentricités et aux inclinaisons , en ayant même égard au carré des forces perturbatrices. p Il en résulte que les orbites planétaires, dans la suite des siècles, ne feront qu’osciller autour d’un état moyen d’ellipticité et d’inclinaison dont elles s’écarteront peu, en conservant toujours les mêmes grands axes. n"»77 et 78

La position du plan invariable nVat point altérée par 1rs variations séculaires des élémens elliptiques des planètes, même lorsqu’on a égard dans les approximations an carre de la force perturbatrice. Considérations silice sujet n° 79

CHAPITRE IX. Variations périodiques des élémens des orbites planétaires . s

Développement de la fonction perturbatrice en série ordonnée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Termes corrcspondans des altérations dn grand axe, du mouvement moyen, de l’excentricité, de l’ioclinaisoQ , des longitudes de l’époque , du périhélie et du noeud n°* 80 et 81

Manière de déterminer les constantes introduites dans ces valeurs par l’intégration a* 8a

Variations périodiques du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude .

Il suffit , pour les déterminer , d’introduire dans les formules du monvc ment elliptique , les élémens corrigés de leurs altérations périodiques;

xxviij , TABLE DES MATIÈRES.

formule très simple gai donne immédiatement l'altération périodique de

la longitude, lorsque Pon connaît celle du rayon vecteur n* 83

Développement des alterations périodiques du rayon vecteur et de la Ion» gitude, en sériés ordonnées par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, en ne portant l'approximation que jusqu'aux termes du premier

ordre, relativement k ces quantités n°» et 85

Formule qui détermine l’altération de la latitude n*1 86 et 87

CHAPITRE X. Inégalités périodiques du rayon vecteur , de la Iongitude , et de la latitude , dépendantes des puissances supérieure* des

errent ricilès et tirs. inclumisans .

Seconde méthode pour déterminer ces inégalités au moyen des équations

différentielles du mouvement trouble* n° 88

Equations différentielles qui déterminent les alterations du rayon vecteur,

de la longitude et de la latitnde... » n° 89

Intégration generale de ces équations. Moyen qu'on emploie pour faire disparaître les termes qui contiennent le temps hors des signes sinus et en

sinus n° 90

Développement des alterations du rayon vcctcnr, delà longitude et «le la latitude. Manière dont on détermine, pour les usages astronomiques , les

constantes introduites par l'intégration no» 91, 9a, 94 et

Méthode pour déterminer, par des approximations successives, les inégales du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude , en portant la précision jusqn'h telle puissance que l'on voudra des excentricités et des iuclinaisons. Considérations générales snr la détermination des inégalités planétaires qni dépendent dn carré et des puissances sn|>crieurc8 «le ces deux démens-

N. B. Dans le premier livre de cet Ouvrage, qui traite uniquement des lois générales de la Mécanique, j’ai adopté la division décimale du jour et de la circonférence ; mais, dans les livres suivans , pour faciliter la comparaison de la théorie aux observations, j’ai employé, conformément à l’usage qui a prévalu parmi les astronomes, la division sexagésimale de l’angle droit, et celle du jour en vingt-quatre heures, dont je fixe à minuit l’origine.