X* Y* XY XY

Les deux dernières agissent en sens contraire et se détruisent ; les deux premières agissant dans le même sens, s’ajoutent, et leur somme forme la résultante R. On aura donc

d’où l’on peut conclure que la résultante des deux forces X et Y est représentée en grandeur par la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent ces forces.

Déterminons maintenant la forme de <px. Pour

cela, considérons une nouvelle force Z agissant sur le point matériel M, ét dont la direction soit perpendiculaire au plan des forces X et Y. Pour avoir la résultante des trois forces X, Y, Z, on composera d’abord en une seule deux quelconques d’entre elles ; on composera ensuite leur résultante avec la troisième , et il est évident que la force qui en résultera sera la même dans quelque ordre que cette composition se soit opérée. Soit donc, Comme précédemment, R la résultante des forces X et Y, x l’angle que forme cette forée avec la direction de X. Soit S la résultante des forces R et Z , et j l’angle que forme sa direction avec la force R ; on aura

X 5= It . <pæ , R = S.(PJ.

Mais si , après avoir composé en une seule les forces Y et Z, on regarde S çpnnne provenant de la composition de leur résultante et de la force X , et qu’on désigne par z l’angle que forment entre elles les forces X et S, on aura

X = S.pz.

Cette équation, comparée à celles qui précèdent* donne

<pz = çx.fy (a)

Pour déduire de cette équation la valeur de <px , je . remarque que les angles x et y devant être absolument indépendans l’un de l’autre, on peut faire varier ces deux angles séparément ; si l’on différencie donc par rapport à x l’équation précédente , qu’on la dif-

férencie ensuite par rapport à y, et qu’on divise les deux résultats l’un par l’autre ; en faisant pour abréger.

-dT = *x>

dz

dx

dz

dy

V'x.qy

équation de laquelle la fonction inconnue <pz a déjà disparu.

Considérons maintenant le triangle sphérique rectangle intercepté entre les directions des trois forces X, R, S; on aura entre les trois côtés x, y, z de ce triangle, la relation

cos z sss cos x . cos j ;

d’où, en différenciant, on tire

dz sinarcos^y dz cosar sin y

~dx sim ’ dy sin *

En substituant pour ^ et ^ leurs valeurs dans l’équation (b), on en déduit

cos x . ç x cos y .tp'y

sim.Çx sin y, <py V

Puisque les deux angles x et y sont indépendans l’un de l’autre, il est clair que l’un quelconque des deux membres de cette équation peut demeurer cons-

tant, quelque valeur que l’on donne à la variable contenue dans l’autre membre ; on aura donc généralement

cosx.ç'x

sm x.(px

c étant une constante indépendante de l’angle x. Cette équation, après y avoir substitué pour <f>'x sa

valeur donne en l’intégrant

<px = C cos-e • x ,

C étant une constante arbitraire. Cette valeur, substituée dans l’équation X = R.<p.r, donne

X = R.C.cos- c. x.

Il ne s’agit plus que de déterminer les deux coastantes C et c. Or, si l’on suppose Y nul, on a évidemment R==X et x=o; donc cosa:=i et C = i. Si l’on suppose Y=X, on a R = \/X*-f-Y* = X . v/a et x — 5o°; on aura donc X = X.v/2.cos~ 5o°j

mais cos 5o° = ; donc c— — 1 , et par conséquent

X = R . cos x.

Cette équation détermine l’angle x ; elle fait voir que la résultante des deux forces X et Y est dirigée suivant la diagonale du rectangle dont les côtés représentent ces forces.

Concluons donc, enfin, que la résultante de deux forces rectangulaires appliquées à un même point matériel M, et dont les intensités sont représentées

io THÉORIE ANALYTIQUE

par des lignes prises sur leurs directions, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du rectangle construit sur ces droites.

Il suit de là, qu’à une force donnée on peut toujours substituer deux autres forces qui forment les côtés d’un rectangle dont elle est la diagonale. Soit R la force donnée , X et Y ses deux composantes , et a l’angle que forme la force R avec la force X ; les trois forces R, X, Y et l’angle a seront liés par les équations de condition

X = R cos a , Y = R sina, R=v/X‘“+Tr.

Ces équations, qui n’équivalent réellement qu’à deux équations distinctes, serviront à déterminer deux des quatre quantités X, Y, R et a, lorsque les deux autres seront données.

En étendant à trois dimensions le théorème précédent, il est aisé d’en conclure que la résultante de trois forces rectangulaires appliquées à un même point matériel est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélépipède dont les arêtes représentent ces forces. Soient donc X, Y, Z ces trois composantes, R leur résultante, et a, b, c les trois angles que fait sa direction avec celle des forces X, Y et Z. On aura

X — R.cosa, Y = R.cosi, Z = R.cosc, équations qui s’accordent entre elles, puisque les

Dü SYSTÈME DU MONDE. 1 1

trois angles a, b, c sont liés par la condition

cos’a -f- cos %b -f- cos‘c = i .

Les équations précédentes serviront à déterminer trois des six quantités X, Y, Z, R , a et b, lorsque les trois autres seront connues. Elles détermineront la valeur et la direction de la résultante , lorsque les trois composantes X , Y et Z seront données , et réciproquement on pourra, par leur moyen, décomposer une force donnée R en trois autres perpendiculaires entre elles, et formant avec sa direction ^es angles donnés.

a. De là résulte une manière très simple de déterminer la grandeur et la direction de la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel M. En effet, soient P, P', P", etc., les intensités de ces forces ; a, a', a % etc. ; b, b', b", etc. ; c, c', c ", etc., les angles qui font respectivement leurs directions avec les trois axes coordonnés ; on décomposera chacune des forces données en trois autres parallèles à ces axes; désignant ensuite par X, Y et Z la somme de toutes les composantes, respectivement parallèles aux axes des x, des y et des z, en sorte qu’on ait •

X=2.Pcosa, Y = 2.Pcos£, Z = 2. P cos c.

Toutes les forces qui agissaient sur le point M se trouveront ramenées à trois forces rectangulaires X, Y, Z, et si l’on désigne par R la résultante de ces.

■ a THÉORIE ANALYTIQUE

trois forces, et par A, B, C les angles que fait sa direction avec les trois axes coordonnés, on aura, pour déterminer ces quatre inconnues, les équations

X = R . cos A , Y == R . cos B , - Z = R . cos C.

Si l’on place l’origine des coordonnées au po;nt M ; qu’on désigne par x, y, z, les coordonnées de l’extrémité de la force P ; par x', jr', , les coordonnées de la force P', et ainsi de suite, on aura

* x — P. cos a, jr = P.cosA, z = P.cosc, x' — P7 . cos a', etc. ,

et par conséquent

X = x -f- x' -f- etc. , Y =zjr -f- y -f- etc. ,

Z = z —f* z ' —f" etc. ;

dans ce cas, X, Y, Z représentent les coordonnées de l’extrémité de la résultante, dont le carré sera la somme des carrés de ces coordonnées; on aura donc ainsi immédiatement la grandeur et la direction de la résultante»

Si le point M est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, leur résultante doit être égale à zéro ; mais la fonction \/X* -f- Y* -f- Z*, valeur de cette résultante, ne peut être nulle, à moins qu’on n’ait séparément

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

ou bien