Pcosa = o, 2.Pcos£ = o, 2.Pcose = o

C’est-à-dire que, dans le cas de l’équilibre d’un point matériel M sollicité par un nombre quelconque de forces, la somme des composantes de ces forces parallèles à trois axes coordonnés rectangulaires, doit être séparément égale à zéro.

3. Ce théorème offre un moyen curieux de construire géométriquement la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point, ou de vérifier l’équilibre qu’on supposerait exister entre ces forces. En effet, soient P, P', P". . .PW les forces données , que nous supposei;ons en nombre n-f-i, et représentées par des lignes prises sur leurs directions. Soient a, b, c, a', b', etc., les angles quelles forment respectivement avec les trois axes coordonnés. Si l’on ajoute toutes ces droites à l’extrémité l’une de l’autre , dans un ordre quelconque, mais dans des directions parallèles à celles qu’elles ont autour de leur point commun d’application, on formera un polygone d'un nombre n+i de côtés, ces côtés pouvant être situés on non situés dans le même plan. Plaçons l’origine des coordonnées à l’origine de l’une quelconque des forces P, P', etc. , à l’origine de la force P, par exemple, et désignons

par -xw, yw, zw ; x(l\ y(i}, zw xw, yw, zw,

les coordonnées des différens sommets de et? polygone ; il est aisé* de vérifier qu’on aura généralement,

,4 TIIÉOJUE ANALYTIQUE

xc"3 = P cos a -f- P'cosa'. . . . -f- Pc",cosa("5, vw = PcosÆ -f- P' cos b' . .. . -f- PwcOsiw,

ZW = P cos c -f- P7 cos c' ....-+- P^"3 cos c c"3 .

Si les forces P, P'. . . ï**3 sont en équilibre , on a n* 2 , xw — o, y0*3 = o, zw = o;

et par conséquent le polygone est fermé. Si l’équilibre n’a pas lieu, les coordonnées x(*3, y(‘\ zc"3, étant égales respectivement aux trois coordonnées

de la réspltante des forces P, P' P*"3, n° 2, cette

résultante se confond avec la ligne menée de l’origine pour fermer le polygone ; elle est donc représentée en grandeur et en direction par cette ligne. Quant à sou sens d’action, il n’est pas équivoque, puisqu’elle doit toujours tendre à augmenter les coordonnées xc*3, v("\ zw ; d’où l’on peut conclure encore que cette résultante est égale et directement opposée à la force qu’il faudrait ajouter aux forces P, P'. . .P1*3 pour établir l’équilibre dans ce système, ce qui d’ailleurs est manifeste.

Il suit aussi de là, comme corollaire, que si le système de forces que l’on considère se réduit à deux forces P, P', formant entre elles un angle quelconque, la résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces, et que, si ce système se compose de trois forces P, P', P" non situées dans le même plau, leur résultante est représentée parla diagonale du parallélépipède construit sur ces trois forces.

* 4- Supposons maintenant que le point M snr lequel

agissent les forces P, P', etc. , ne soit pas libre et qu’il soit assujetti à rester sur une surface donnée; il en éprouvera une résistance que nous désignerons par N, et qui s’exercera suivant la perpendiculaire à cette surface. S’il en était autrement, cette résistance pourrait se décomposer en deux autres forces, l’uue dirigée suivant la normale à la surface, et qui empêcherait le point de la pénétrer, l’autre parallèle à cette surface, et qui s’opposerait à ce que le point pût s’y mouvoir librement; ce qui est contre la supposition. Si 1 on considère la résistance N comme une force nouvelle dont le point M est animé, il est clair qu’on pourra le regarder ensuite comme parfaitement libre , et faire abstraction de la surface donnée. Soient donc a, £, y , les angles que forme la direction de la normale au point M avec les axes coordonnés ; soient X, Y, Z la somme des composantes, respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point M; on aura, pour les conditions d’équilibre,

NC08#+X,3=0, KCO&^YSO, )

Mcos> 4- Z = o. J im)

De ces équations on tire d’abord

c’est la mesure de la résistance dont la surface doit être capable pour nëtre pas pénétrée par le point M; elle est égale à la résultante des forces qui agissent sur ce point, ou à 1% pression qu’il exerce contre la surface, suivant la direction de sa normale.

iQ, THÉORIE ANALYTIQUE

Soit L = o l’équation de la surface donnée ; x, y, z les coordonnées du point M situé sur cette surface; on aura , par les formules connues ,

cos*= K (£) » , cos e = K © > cos > = K © ; en faisant, pour abréger,

Si l’on substitue à la place de cos a, cohC , cos y , leurs valeurs dans les équations (ni), et qu’on élimine entre elles l’arbitraire N, les conditions d’équilibre du point M se réduiront aux deux équations suivantes :

Pour voir ce qu’expriment ces équations, désignons par Jt la résultante des trois forces X, Y, Z, les cosinus des angles que forme R avec les axes coor-

donnés seront exprimés par — , g-, g-; en nommant

donc A, B, C ces trois angles, les équations précédentes donneront

cosA.cos£ =; cosB.cosa, cos A. cos y = cos C. cos a.

D’ailleurs ,

cos* A -f- cos* B -f- cos'C = i, cos* a. -f- cos* € -f> cos* y — i.

On aura donc . ,

cosA = cos«, cosB = cos£, cpsC = cosj..

C’est-à-dire que, pour assurer 1 équilibré du point M, il ne sera plus ne'cessaire, comme dans le cas general, que la résultante des forces qui le sollicitent soit nulle ;

• il suffira que la direction de cette résultante soit normale à la surface donnée , afin que le point M ne puisse glisser en aucun sens sur cette surface.

Si la position du point M n’était pas fixée sur la surface, et qu’il s’agit au contraire de déterminer ce point de manière à ce qu’il se maintint en équilibre sous l’action des forces X, Y, Z, les deux équations (n) jointes à l’équation L = o serviraient à faire connaître les coordonnées du point cherché.

Supposons actuellement le point M assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur la courbe de leur intersection. II éprouvera de la part de chacune de ces surfaces une résistance dont l’action s’exercera suivant les directions de leurs normales ; en comprenant ces nouvelles forces, dont la grandeur est arbitraire, parmi celles qui sollicitent le point M, on pourra faire abstraction de la courbe donnée, et regarder ce point comme entièrement libre. Désignons donc par N et N' les résistances que le point M éprouve, par a, Ç, y, et a', C, y', les angles que Tome I. a

forment les normales aux deux surfaces avec les axes coordonnés, et par X, Y, Z, les sommes des composantes, respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point. Les conditions générales d’équilibre deviendront

N co$,« H- N' cos cl' + X = o ,

N cos C N' cos C + Y = o , > (p)

N cos y -4* N'cosj/ + Z = o. )

Ces équations, en désignant par cd l’angle que forment entre elles les deux forces N et N', et observant que

cos a cos cl' + cos 6 cos C + cos y cos y' = cos a> donnent '• '

N* + N'* + aNN'. cos a — X* + Y* + Z*.

Le premier membre de cette équation représente le carré de la diagonale du parallélogramme’ construit

sur les deux forces N et N', c’est-à-dire le carré de

leur résultante, laquelle est nécessairement comprise dans le plan normal à la courbe donnée. La fonction \/X* ■+* Y* -f- Z* exprime donc la résistance dont cette courbe doit être capable pour q’ètre pas pénétrée par le point M, ou, ce qui revient au même, elle exprime la pression normale que ce point exerce sur la courbe donnée.

Soient L = o et L' = o, les équations des deux surfaces dont l’intersection forme la courbe que le

point M ne peut quitter, et désignons par x, y, z, les coordonnées de ce point, nous aurons

jr cUj jo or dLi - , (/L

cos et = K. . -r- . cosG = ft.-r-, co s -y = K.— •

« d* ’ dy* ' dz ’

cos &•=■ K'.^ > cosf'=K'.~ , cosy=K'.^; en supposant, pour abréger.

Substituant ces valeurs dans les équations ( p ), et éliminant ensuite N et N', les conditions d’équilibre du point M se réduiront à cette équation unique,

\dx -f- Xdy -f- Z dz = o. (y)

Si l’on désigne par ds l’élément de la courbe sur

laquelle le point M est assujetti , ~ ^ seront

respectivement les cosinus des angles que forme cet élément avec les axes des x , des^- et des z; les cosinus des angles formés par la résultante R et par les

mêmes axes, sont ^ , g-, g. L’équation précédente

exprime donc que cette résultante et l’élément de courbe forment un angle droit entre eux. D’où il résulte que la somme des composantes, tangentes à ce même élément, est égale à zéro, condition néces-

ao THÉORIE ANALYTIQUE

saire, en effet, pour que le point M ne puisse glisser sur cette courbe.

Si la position du point M n’était pas fixée, et qu’il s’agit de la déterminer de manière que les forces X, , Y, Z , fussent en équilibre , l’équation de condition (ÿ) jointe aux équations de la courbe donnée, suffirait pour déterminer les coordonnées de ce point.

Quelles que soient d’ailleurs les données et les inconnues du problème, la fonction .

sera toujours la mesure de la pression normale que le point M exerce sur la courbe qu’il parcourt.

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De l’Équilibre et un système de points matériels liés entre eux d’une manière quelconque.

5. Considérons d’abord un système de forme invariable, et commençons par le cas le plus simple, celui où le système se compose de deux points seulement, et où les forces qui lui sont appliquées se réduisent à deux , agissait dans le même plan.

Si l’on prolonge les directions de ces forces, que nous désignerons par P et P', jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en un point 0, on ne changera rien à l’état du système, en supposant les forces P et Pf appliquées immédiatement à ce point. En désignant donc par R leur résultante, et par a, a', A, les angles que forment respectivement avec l’axe des x, les forces P, F, R, on aura

R. cos A = P. cos a -J- F. cos a',

R.sin A = P.sina -j- P', sin

Ces deux équations donneront la valeur et la direction de la résultante R. La position de cette force serait donc parfaitement déterminée, si l’on connaissait un seul point de sa direction; or, nous savons qu’elle doit passer par le point de concours des deux forces P et F. Pour exprimer analytiquement cette condition , menons de l’origine des coordonnées au

a 2 THÉORIE ANALYTIQUE

point O, une ligne L, et soit a l’angle que forme cette droite avec l’axe des x. Abaissons de cette même origine une perpendiculaire sur chacune des forces P, P', R ; si l’on désigne par p, p' et r, les longueurs de ces droites, il est aisé de voir qu’on aura

p — L . sin (a — a), p' = L . sin (a — d) , 1 , . '

r = L.sin(« — A). I

Si, au moyen des deux premières équations ,, on élimine de la troisième les deux quantités L et a, on aura la valeur de r exprimée en fonction de quantités connues , et la résultante R sera entièrement déterminée de grandeur et de position. Mais à l’équation qui résulterait de cette élimination, on peut en substituer une qui a l’avantage d’être plus simple, et dont la conséquence est la même; en effet, remarquons que si l’on retranche l’une de l’autre les équations (i), après avoir multiplié la première par sina, la seconde par cos a , on a

R. sin (a — A) == P.sin(a — ai) -f- P', sin (a — a).

Substituons, dans cette équation, pour sin(« — A), sin (a — a ), sin(x — a'), leurs valeurs tirées des équations (o) , et multiplions tous les termes par L , nous aurons

Rr = Pp + py. (a)

Cette équation donnera la valeur de r, et fera connaître par conséquent à quelle distance la résultante passe de l’origine des coordonnées.

S’il y avait équilibré dans le système, la résultante R serait nulle; les équations (i) montrent qu’il faut, dans ce cas, que les forces P et P' soient égales et agissent dans des directions parallèles, niais en sens inverse ; l’équation (2) montre quelles doivent être, de plus, directement opposées, ce qui d’ailleurs est évident.

La fonction Rr que nous avons introduite dans l’équation (2), et généralement le produitd’uue force par la perpendiculaire abaissée de l’origine descoordonnées sur sa direction, est ce qu’on appelle le moment de la force par rapport à cette origine. Ce produit peut s’exprimer d’une autre manière, qui a l’avantage de rendre manifeste le signe des perpendiculaires p, p' , r. En effet, si l’on désigne par x, y et x\ y ', les coordonnées des points d’application des forces P, et P', et par x, v les coordonnées d’un point quelconque de leur résultante , il est aisé de voir qu’on aura

p —y cos a — xsina, p' — x' cos a! — y' sina',

et- r=xcosA — vsinA,

l’équation (2) deviendra ainsi

R(x cos A — y sin A) = P (a: cos a — y sina)

» -J- P' (a/ cos a' — ^sina'). (3)

Considérons maintenant un système composé d’un nombre quelconque de points matériels liés entre eux d’une manière invariable, et sollicités par des forces que nous supposerons toujours agir dans le même plan. Soient P, F, F'... P0,5, les intensités de ces

a4 THÉORIE ANALYTIQUE

forces; a, a', a"...aw, les angles qu’elles forment avec l’axe des x ; p, p', p" . . les perpendiculaires abaissées de l’origine sur leurs directions. Composons d'abord en une seule deux de ces forces, P et P' prises à volonté; soit IV leur résultante. A' l’angle quelle forme avec l’axe des x, et r* la perpendiculaire abaissée de l’origine sur sa direction ; composons ensuite cette résultante avec la force suivante P''; soit R" leur résultante, A" l’angle quelle forme avec l’axe des x, et r" la perpendiculaire abaissée de l’origine sur sa direction ; composons cette nouvelle résultante avec la force Pw, et ainsi de suite : de cette manière, nous réduirons finalement le système à deux forces, R“~ 1 et P4*5, dont nous déterminerons la résultante en grandeur et en direction, d’après ce que nous avons dit précédemment. Désignons par R cette résultante, par A l’angle qu’elle forme avec l’axe des x, et par r la perpendiculaire abaissée de l’origine sur sa direction , et- déterminons par le même n* la valeur des quantités R' cos A', R'sinA', RV, R" cos A", etc., nous aurons, par de simples substitutions,

R. cos A = 2. P cos a, R.sin A = 2.P sina ,) ...

Rr = 2 . P/> , J

le signe 2 désignant généralement la somme des quantités qu’on obtient en marquant successivement d’un accent les lettres P, a, p.

Les deux premières équations déterminent l’intensité et la direction de la résultante; la troisième, la distance à laquelle elle passe de l’origine. Cette der-

DU SYSTÈME DU MONDE. a5

nière équation montre que le moment de la résultante d’un nombre quelconque de forces est égal à la somme des momens des composantes. Si l’on désigne par x, y les coordonnées d’un point quelconque de la direction de R, et par x, y, x', y', etc. , les coordonnées des points d'application des forces P, P', etc..; cette équation pourra s’écrire ainsi :

R . (x cos A — y sin A) = 2 .P(x cos a — y sina). (5)

Si le système que l’on considère est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, la résultante de ces forces sera nulle; on aura donc, dans ce cas,