G THÉORIE ANALYTIQUE

valeurs précédentes dans la première des équations (A), qu’on néglige les masses m, m , etc. , par rapport à la niasse M du Soleil prise pour unité, ce qui donne /lc. = i , p! — i , et qu’on fasse d’abord abstraction des termes qui sont de l’ordre du carré des forces perturbatrices , on aura

tang’p

-h tangV

■etc.=C, (a)

C étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant donné.

Cette équation exprime donc une relation qui doit tonjours exister entre les excentricités et les inclinaisons des orbites planétaires, quelques changemens que leurs valeurs éprouvent dans la suite des temps en vertu de leurs variations séculaires.

Si l’on néglige les quantités de l’ordre e4 et e* <p*, cette équation devient

t/a+m' y' a'+ctc.-^.m \/ c.[e*-}-tang*p]-*m' y' a'.[e‘-+- tangV] — etc. = C.

On peut faire passer dans le second membre la partie m ni \/a'\ -f- etc., qui est constante puisque a,

a! , etc , sont constans séparément; on aura donc, aux quantités près de l’ordre e4 et e‘i p‘,

m\/ a.(e'-f- tang’ç)-(-m' ^or.(«'*-4-taiig,^') + etc. =const. («)

Nous avons vu, n° 54, que lorsqu’on n’a égard qu’aux premières puissances des excentricités et des

inclinaisons, les variations séculaires de cesélémens sont données par des équations différentielles indépendantes les unes des autres, c’est-à-dire que les variations des excentricités sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan , et que les variations des inclinaisons sont les mêmes que si ces orbites étaient circulaires. L’équation précédente , en y supposant tour à tour <p= o, <p— o, etc., et e = o, e'=o, etc., donnera donc, dans ce cas,

m v/a.e*-l-J72,\/fl,'e,*i e^c'==consbinte, m v/<ï.tang*<p4-/?j' Va. tang*<p'+ etc. = constante ,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans les n°‘ 54, 65 et 6g.

Si, dans la seconde des équations (A), on substitue

demême, à la place de sa valeur Va-(I-e*)

multipliée par le cosinus de l’angle que forme le plan de l’orbite avec le plan des xz , cosinus qui est égal à sin (p.cosa, a étant la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le plan des xy ; en négligeant les termes de l’ordre mm', on trouvera

m\/a.(i — «'J.sinf cos«+ff»'V a'.(i — «■;.sinp'cos«'+etc.=const. (4)

La dernière des équations (A) donnerait de même , en observant que sin <p . sin a, est égal au cosinus de

l’inclinaison de l’orbite de m sur le plan des yz,

m V «•(* — e").sio^ sina+m' {/ a . ( i — /“) .sin «p'si n«'-petc.=const. (c) Si dans ces équations on néglige les quantités de

l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons ce qui permet de prendre les tangentes des angles <p, <f>', etc. , à la place de leurs sinus, en faisant

p = tang <p . sin a, q = tang < p . cos a,

p' = tang <p'. sin a.', q’ = tang <p'. cos a',

etc. ,

on aura

m \ 'a.p-\- tn' a' .p'+m" v/«',./?,'+etc-=const- /«y/ a . q -f- m' V a’ . q'-\- m" Va" . </"+ etc. = const. ,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans les n° 54 et 6g.

Si l’on ne considère que l’action mutuelle de deux planètes tn et rn, qu’on désigne par y l’inclinaison de leurs orbites l’une sur Fautre, et qu’on observe que p , q , cos <p, et p', q\ cos <p' étant les cosinus des angles que forment les plans de ces orbites avec les trois plans coordonnés, on a

cos y = cos <p.cos <p' -f- pp' -f- qq' .

On trouvera , en ajoutant ensemble les carrés des trois équations (a), (b), (c)

-f- 2 .mm . l/a.(l-e*).j/ a'.ti-e'“).cosy=const.,J^ '

ou bien en observant fpaccos^=i — 2. sin*. ^.5»

DU SYSTÈME Dü MONDE.

[ni. t/ «.(,1 — a'.( 1 — e'*)]*

— 4 .mm . V/ a.( i-r’). V a'.(l-«'“).sin*. ^y= const.

Si l’on néglige les quantités du quatrième ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , et qu’on fasse passer dans le second membre les termes tout constans, on trouve

4* m m' . \/ aa . sin*.— .y

mÿa + m’ÿa'

I.a constante C est égale au premier membre de cette équation à une époque déterminée ; elle doit donc être indépendante des variations des élémcns e,e‘ , y. Si l’on désigne donc par J'e, JV, S y ces variations, et qu’on observe que a et a sont coustans , on aura

m V/ a . eSe -}- m \/ a . e i'e