Tome I

45o THÉORIE ANALYTIQUE

Reprenons les équations (A) du numéro précédent, sans y rien négliger : si l’on substitue pour xdj—ydx, x'dy' — ydx' , etc. , leurs valeurs, et qu’on suppose, ce qui n’ôte rien à la généralité de la démonstration , M ■+• m= i , M + m' ;= i , etc. , la première de ces équations devient

m . y/a.(i — c%) . cos ® -(- m . \/ a'. { i — e'*) . cos <p'— {— etc.

= mm' . + etc. 4- C.

Si l’on fait abstraction des variations périodiques, et si l’on néglige les quantités du quatrième ordre , par rapport aux masses m et m', le premier terme du second membre de cette équation peut être regardé comme constant. En effet, le produit/</x' ne saurait contenir de termes non périodiques , lorsqu’on y substitue pour^ et dx’ leur valeurs elliptiques; car la valeur de y ne contenant que des termes périodiques dépendans de n't , tandis que la différentielle dx' ne contient que des termes périodiques dépendant de ut, leproduitjv/x'ne peut renfermer aucun terme où les moyens mouvemens nt et n't se détruisent. Si ce produit contient des termes non périodiques, ces termes sont donc du premier ordre , par rapport aux masses m et ni' ; et comme ils sont fonctions des élémens elliptiques de m et de m, leur variation est du second ordre, et par conséquent la variation du produit mm'.ydx' est du quatrième ; il en serait de même des autres produits xdy' , j'dx , x'dy.

La même observation peut se répéter à l’égard des autres termes du second membre de l’équation pré-

cédente, puisqu’ils sont tous absolument de même forme que le premier. Ce second membre doit donc être considéré comme une constante, indépendante des variations séculaires que subissent, les élémens des orbites de m, m', etc., du moins lorsqu’on néglige les quantités du quatrième ordre, par rapport aux masses m, ni, ni' , etc.

Il est aisé de voir encore que si, dans le premier membre de la même équation, on substitue à la place des élémens elliptiques la partie périodique de leur valeur, les termes non périodiques qui en résulteront seront de l’ordre m 3 , et pourront être regardés comme constans, aux quantités près de l’ordre ni.

La première des équations (i) devient ainsi

m. v a.(. — «*) .COS0 4- m a'. (l — e'‘).cosq>'

-f- m" . i — e'*).çosçi'-f-etc.=:C.

Les deux autres intégrales (A) donneraient de même

— e*) .sin 9 co s a -f- ml . V' ti . (. sin $>'cos a'

-f- m’ . — «"*) .sin ^'cos a' 4- etc =C',

m. ya.(l — e“). sin psin a + m . a'.(i — e'“).sin^’sin a'

-f- m’ ■ sin Ç* sin a" -f- etc.=C'f

Et ces équations, exactes aux quantités près du quatrième ordre, subsisteront, quelques changemens que subissent dans la suite des temps les excentricités et les inclinaisons des orbites en vertu de leurs variations séculaires , même en ajant égard , dans la détermination de ces variations , au carré des forces perturbatrices.

ag..

45s THÉORIE ANALYTIQUE

Si l’on ajoute ensemble les trois équations précédentes après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d’elles; que pour simplifier on ne considère que l’actiou réciproque de deux planètes m et m', et qu'on nomme y l’inclinaison mutuelle de leurs orbites , en observant que

cos y — cos <p . cos <p' -+■ sin <p . sin tp1 . cos (a' — a.) , on aura

-f-2 mm'. \/ a.(i-e‘). \/ a'.(i-«'*).cosy = const

Cette équation coïncide avec lequation (il) à laquelle nous sommes parvenus n° 77 , en n’ayant égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices. On voit que cette équation est exacte en considérant même les termes dépendans du carré de ces forces , et l’on en peut conclure , comme dans le numéro cité, la relation suivante,

y' a . ei'e -f* m' • a' ■ •V'** *f"

mrn . oa . y&y pi ÿ a -f- m' y a

qui se vérifie en effet lorsqu’à la place de Se, Se' , Sy , on y substitue leurs valeurs dépendantes nonseulement de la première puissance , mais encore du carré des masses m et m', et exactes aux quantités près du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Si l’on fait passer dans le second membre de l’équatiou ( g ) les termes constans, elle devient

i-e*. |/ 1— f'\cosy=conet.(Æ)

On peut écrire d’une autre manière cette équation, en observant que l’on a

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