I -f" co s y
d’où l’on tire
V l-*‘. V i- e'*.eosy=l -
e’. t/i-e'\cosy «'’cosj. tin» 3^ + ViT^e' i + VT~e~‘ »+cosy'
Substituons cette’valeur dans l’équation ( k ), et faisons passer dans le second membre le terme constant 2mm' . a‘a'*nn', nous aurons
ni* . ae* + tn' . aV' + jmm' . a'a'nn 008 y \
+ zmm' ufct'un’ . =C, l
• i+cos^ J
, % i sin *y
*nn — ~(
C étant une constante arbitraire.
La valeur de cette constante est une très petite quantité par rapport aux carres et aux produits des masses m et m', puisque ces carrés et ces produits sont multipliés dans le premier membre de cette équation par e%, e%, sin*^<, et que nous supposons qua une époque déterminée les excentricités et l’inclinaison mutuelle des orbites sont très petites. Il suit de là que chacun des termes du premier membre restera très petit par rapport aux carrés et au produit de m et m', tant que ces termes seront de même signe, puisque
454 THÉOH IE ANALYTIQUE
chacun d'eux sera alors nécessairement plus petit que la constante C du second membre. Or, si les planètes m et m! sont supposées tourner dans le même sens autour du Soleil, comme cela a lieu dans la nature, les moyens mouvemens nt et n't seront de même signe ; les six termes du premier membre de l’équation (H) seront donc positifs tant que l'angle y sera plus petit que 901; mais si l’on suppose y = 9a0, on a sin y= 1 , cos 5/ = o. Le dernier terme de l’équation (II) n’est donc plus très petit par rapport à mm* , ce qui est impossible, puisque la constante C est très petite par rapport au produit des masses m et ni et que les autres termes du premier membre sont positifs. L’angle y ne pouvant jamais atteindre 90°, il s'ensuit que l’inclinaison y et les excentricités e et e1 des deux orbites demeureront toujours peu considérables; car cos y ne pouvant pas devenir négatif, tous les termes du premier membre de l’équation (H) seront positifs , et chacun d’eux par conséquent restera toujours très petit par rapport aux carrés et aux produits des masses m et m, ou, ce qui revient au même, les coefficiens e*, e'*, sin*^ de ces termes seront toujours de très petites quantités, comme ils le sont aujourd’hui.
Les mêmes raisonnemens s’appliqueront évidemment à l’équation (H) quel que soit le nombre des planètes m, m', m *, etc., que l’on considère, puisque chacune d’elles ne fait qu’ajouter au premier membre des termes semblables à ceux qui le composent.
Concluons de là que la stabilité du système plané-
taire est assurée par rapport aux excentricités et
aux inclinaisons (les orbites , connue elle l’est par
rapport aux grands axes, quelque loin que l'on pousse
les approximations relativement aux excentricités et
aux inclinaisons , et en ayant égard aux termes du
second ordre par rapport aux masses perturbatrices.
79. Nous avons vu , dans le n° a3 du Ier livre , que dans. le mouvement d’un système de corps, il existe un plan qui reste toujours parallèle à lui-même et que, par cette raison , nqus avons nommé plan invariable. La propriété remarquable qui le caractérise, c’est que la somme des masses des différens corps du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs dans un temps donné, est un maximum par rapport à ce plan , et qu’elle est nulle par rapport à tout autre plan qui lui est perpendiculaire.
La position du plan invariable se détermine au moyen des trois équations (A). En effet , si l’on nomme <I> son inclinaison sur le plan des xy, et FT la longitude de son nœud ascendant, on aura, u° a3, liv. I' r, pour déterminerces deux angles’, les équations
C" Qf
tang<I>.sinn= -g-, tang <I> . cos n = -,
et par conséquent en substituant pour C , C' , C", leurs valeurs
. m.l/ a.( sin®'.sin«'+etc.
tang®.sinI7= — x . —
m. y a.( i-e*)-cosp+m'. y a'.(i-e'*).cosp'+etc.
ik. V' a'-( 1—
tang<t>.cosn= — —
m. y n.(i-*’).cosf-t-/n'. l/a'.^-f'^.cosp'-f-etc.
