LIBRE PAEC0UR8 MOYEN

Maxwell, de même aussi les parooiiTS libres sont en général différents du libre parcours moyen l et Ton peut se proposer de rechercher comment ils se répartissent autour de lui.

Nous admettons que les molécules qui ont parcouru sans choc le chemin x ont toutes des chances égales de ne pas subir de choc pendant le parcours ultérieur da?*. En d'autres termes la probabilité d'absence de choc sur le parcours x-i-dx est composée de deux probabilités indépendantes : l^ la probabilité d'absenoe^e choc sur le parcours x, que nous désignerons par f{x); 2° la probabilité d'absence de choc sur le parcours ultérieur dx; cette dernière est évidemment de la forme 1 — a do? (où a désigne une constante), puisque la probabilité de choc sur le -peUt parcours dx est forcément proportionnelle à ce parcours**

La règle des probabilités indépendantes donne donc l'équation fonctionnelle

f(X'+-dx) = f{x)-\-f(x)dx = f{x){l—adx) ou

f(x) = — af(x).

On en tire

en désignant par h une constante d'intégration.

La constante h se détermine aussitôt en remarquant que la probabilité d'un parcours sans choc équivaut à la certitude, si le chemin parcouru est nul. La fonction f(x) doit donc se réduire à 1 pour a?^^ 0, ce qui donne 6 = 1.

Pour trouver la signification de la constante a, désignons, par V le nombre total de chocs effectués par

1. C'est une forme de l'hypothèse déjà utilisée du a chaos moléculaire ».

2. La constante a est indépendante du parcours x, mais peut dépendre de la vitesse de la molécule. ^ j

seconde par une molécule, c'est-à-dire le nombre total de ses parcours libres. Parmi ceux-ci il y en a

qui dépassent x. Le nombre de ceux qui sont compris entre xet x-^- dx est donc

— aj: — a{x-¥-dx) ^ — <ï^/i ^ — adx\ j^^ — a.r

ve — ve ^ ' = \e (1 — e ) = \adxe

lia, somme de leurs longueurs est

\axdxe~^^y

et si l'on étend cette somme à tous les parcours effectués en une seconde, on trouve pour la vitesse de la molécule

t; = va /

e-''''xdx = --' a

Le libre parcours moyen est par suite

En résumé, la probabilité pour qu'une molécule parcoure sans choc le chemin x est

en désignant par l le libre parcours moyen. La proportion des molécules dont le parcours libre est compris entre x et X -h dx est, de même,

dx ~J

Il résulte do là que le nombre de molécules dont le parcours libre est supérieur à Z est très petit; ainsi il n'y a qu'une molécule sur 148 qui ait un parcours libre supérieur à 5Î, une sur 22 027 qui parcoure librement plus de 10 Ij etc.

16. Viscosité d*im gaz. — Imaginons qu'une lame solide plane et de grande surface se déplace dans son propre plan avec une vitesse Uniterme U*, parallèlement à une autre lame fixe, séparée de la première par une couche gazeuse mince. L'expérience montre que le gaz ne se comporte pas comme un fluide parfait, mais qu'il adhère en quelque sorte à la plaque mobile, et que, par un frottement intérieur qui se transmet de proche en proche, il tend à communiquer son mouvement à la plaque fixe.

En régime permanent, on peut vérifier : 1^ que les vitesses des diverses couches gazeuses sont proportionnelles à leur distance z au plan fixe, c'est-à-dire de la forme

2** que la plaqua fixe est soumise, par unité de surface, à une force d'entraînement parallèle à la direction du mouvement, et dont la valeur, proportionnelle au gradient de

vitesse, A ou -r-» est de la forme az

Cette même force par cm* est aussi exercée par la portion du gaz située d'un côté d'un plan parallèle aux lames sur la portion placée de l'autre côté. Le coefficient yj, qui peut dépendre des conditions de température et de pression aussi bien que de la nature du gaz, s'appelle coe/ficient de viscosité ou coefficient de frottement intérieur du gaz.

Une définition analogue peulr être donnée pour un liquide. Les équations classiques de l'hydrodynamique

1. Petite par rapport à la vitesse d'agitation thermique des molécules.

des fluides parfaits doivent être corrigées par Tintroduotion de termes de viscosité proportionnels au coefficient 7|, si l*on veut leur permettre de rendre compte des propriétés des fluides réels, par exemple du phénomène d'entraînement d'une plaque solide décrit tout à Theure. Inversement, l'étude expérimentale des fluides réels permettra, par comparaison avec les formules théoriques, de connaître leur coefficient de viscosité. Nous nous contenterons de citer l'exemple de l'écoulement d'un fluide sous vitesse modérée à travers un tube cylindrique étroit. Les loié de cet écoulement, découvertes expérimentalement par Poiseuille, s'interprètent aisément au moyen des équations de l'hydrodynamique des fluides visqueux, et se trouvent résumées par la formule

dans laquelle I représente le débit en volume du fluide, r et Z le rayon et la longueur du tube, pi — Pa la chute de pression ou de charge entre les deux extrémités du tube. Si l'on introduit le débit en masse G- au lieu du débit en volume I, il faudra multiplier l'expression précédente par la densité absolue p, ce qui donnera, pour un gaz, d'après les formules (11 bis) et (15),

en désignant par p la pression moyenne du gaz qui s'écoule. On voit que le débit en masse G est proportionnel, non seulement à la chute de charge, mais à la pression moyenne d'écoulement,

La formule (28) fournit un procédé expérimental de mesure pour le coefficient de viscosité d'un fluide^ Appliqué d'abord aux liquides, il a fourni pour l'eau à 10*^ la valeur 0,013X3. G. S. Pouz les gaz, les nombres obtenus sont beaucoup plus faibles. En voici quelques-uns :

Hydrogène. 84 • 10~' C. G. S. dans les conditions normales. Gaz carbonique. . 13710-« — — Air. . . . 17riO-« —

Des résultats plus complets seront donnés au chapitre XI.

vf. Théorie de la viscosité. — L'interprétation cinétique du frottement intérieur dans un gaz est due à Maxwell. Reprenons Texpérience fondamentale, et choisissons pour plan des xy le plan de la lame fixe, pour axe des x un axe parallèle à la direction du mouvement, pour axe des z un axe perpendiculaire aux lames dirigé vers la lame mobile (par exemple de bas en haut).

Il résulte de Téquation fondamentale de la dynamique que toute force agissant sur une masse déterminée est numériquement égale à T accroissement de la quantité de mouvement de cette masse dans l'unité de temps. Comme la partie du gaz située au-dessus d'un plan P d'ordonnée z parallèle au plan des lames exerce une force accélératrice sur la portion du gaz placée en dessous, et, par suite, subit de sa part une force retardatrice égale et opposée, il faut qu'il y ait échange de quantités de mouvement entre ces deux régions. A cause de l'existence dans le gaz d'un gradient de vitesse perpendiculaire aux lames, les molécules possèdent, en moyenne, au-dessus du plan P, une quantité de mouvement supérieure à ceUe des molécules placées au-dessous. Par suite de l'agitation thermique, elles transportent, par seconde, de haut enbas, une quantité de mouvement plus grande que celle transportée en même temps en sens inverse par les molécules qui traversent le plan P de bas en haut. La somme algébrique de^ ces quantités de mouvement, rapportée à l'unité de temps et à l'unité de surface, donne une mesure de la force de frottement intérieur R, et permet par suite d'évaluer le coefficient de viscosité.

Supposons, pour simplifier le calbul de cette somme, que toutes les molécules aient une vitesse commune égale à leur vitesse moyenne v, et qu'entare le moment où. elles traversent le planP et celui où elles ont subi leur dernier choc, elles aient parcouru le même chemin l égal au libre parcours moyen. Si 6 est l'angle de la vitesse de Tune d'entre elles avec la direction positive de l'axa des z, le dernier choc qu'elle aura subi aura eu lieu dans le plan P' d'ordonnée

z =z — ïcosO.

La vitesse u parallèle à Ox que possédait la molécule à ce moment est la résultante de celle qui provient de l'agitation thermique, soit u, et de la vitesse d'entraînement du gaz dans le plan P', soit Az' (formule 26). On peut donc écrire

u' := u -h Az =^u -h (z — IcosO)— — .

On peut évidemment faire abstraction du terme en u dans l'évaluation de la quantité de mouvement transportée à travers le plan P, car le transport de quantité de mouvement provenant de l'agitation thermique est nul dans l'ensemble. La quantité de mouvement utile transportée à travers le plan P parallèlement à Ox est donc simplement

m(z — tcosO)— -»

et ne dépend que de la variable 6. Or, si n est la densité moléculaire du gaz, le nombre par cm' des molécules dont la vitesse fait avec Oz un angle compris entre et e-hdôest*

rîsinOdO

1. Car l'angle solide de l'espace conique annulaire compris entre les deux cônes d'angle et ô -j-dO est 27:sinOd6.

Le nombre de celles qui traversent riinité de surface du plan P dans Tunité de temps est le même que le nombre des molécules de la catégorie considérée qui sont comprises dans un cylindre oblique de génératrices inclinées de 6 sur Oz, de base 1 et de hauteur v coaô. Il est donc

dn = — sinO cosôdO.

Enfin la quantité de mouvement totale utile transportée par seconde à travers l'unité de surface du plan P parallèlement à Taxe des x et vers les z décroissants est

dJJ uv -ïcosO)-— X--sinôcos6dÔ dz 2

U= / cos*0sin6d6:=— — • (27 bis)

2 dzjQ Z dz ^

On trouve bien, pour la force de viscosité R rapportée à l'unité de surface, une expression conforme à la formule (27), et le rapprochement avec cette formule conduit à l'expression suivante du coefficient de viscosité

7| = -nmvl = - Qvl. (29)

Le calcul peut être conduit plus rigoureusement, en tenant compte de la loi de distribution des vitesses autour de la vitesse moyenne v et aussi de la distribution des parcours libres autour du parcours moyen ï. On est conduit ainsi à une formule de même type

7i = Jcpvl (29 bis)

avec une valeur numérique du coefficient k assez peu différente de la précédente '

fc = 0,3603.

Ce résultat entraîne d'importantes conséquences :

10 On sait (p. 33) que le libre parcours moyen l est inversement proportionnel à la densité absolue p du gaz. Si donc la température du gaz est fixe {v constant), le coefficient de viscosité est indépendant de la densité du gaz, c'est-à-dire, ici, indépendant de la pression. Ce résultat inattendu et très remarquable a été vérifié par les mesures expérimentales avec une précision satisfaisante pour les pressions moyennes : c'est un succès frappant de la théorie cinétique (Ch. XI, Tableau I). Aux fortes pressions, on observe des écarts, bien naturels si l'on réfléchit qu'on n'est plus en droit de faire abstraction des forces intermoléculaires. Nous reviendrons plus tard (Ch. IX) sur les écarts observés aux très faibles pressions.

2° La mesure expérimentale du coefficient de viscosité iq permet, grâce à la formule (29 bis), de calculer le libre parcours moyen l d'une molécule : nous connaissons en effet les densités absolues p et les vitesses quadratiques moyennes C (28, p. 19), par suite les vitesses moyennes v (formule 8 bis).

On trouve ainsi pour l'hydrogène dans les conditions normales 15,8- 10"^ cm, pour l'air 8,45 10~* cm., etc.*. Les chemins moyens sont donc de l'ordre du dixième de micron. A la pression de 1/100 de mm. de mercure, on trouverait, pour les deux même gaz, 1,20 cm. et 0,64 cm. Aux très basses pressions, les chemins moyens sont dono comparables aux dimensions de l'appareil qui contient le gaz.

3» La connaissance du libre parcours moyen permet, grâce à la formule (22) de calculer le produit na* de la densité moléculaire du gaz par le carré du diamètre molé-

I. Les résutats numériques complets sont donnés au Chapitre XI, page 156. ^ •

culaire. Poux atteindre séparément n et <j, une autre relation est nécessaire. On peut d'abord utiliser la formule (19) établie à propos de l'équation d'ërtat de Van der Waals. L'étude exx)érimentale des isothermes d'un fluide fournira pour ce fluide le covolume h et par conséquent le produit tks^. C'est de cette manière qu'on a pu se faire une première idée assez satisfaisante de la la densité moléculaire des gaz dans les conditions normales et en même temps des dimensions moléculaires (Voir Ch. XI, page 152).

A une époque plus récente, on a pu, par de nom breuses méthodes concordantes, dont quelques-unes se ront exposées plus loin, atteindre directement la cens tante d'Avogadro N (nombre de molécules par molécule gramme) et par suite la densité moléculaire n d'un gaz dans les conditions normales. On a trouvé ainsi N = 65 10" et 7^ = 2,9•10'^ et ces nombres peuvent être considérés comme connus avec une précision de l'ordre du centième. La formule (22) fixe alors les dimensions moléculaires : les nombres obtenus pour g sont 2,4- 10~® cm. pour l'hydrogène, 3,1 10"® cm. pour l'azote, 2,9- 10~® cm^ pour l'argon, etc. Les nombres relatifs aux gaz mono-atomiques (argon) ont une valeur particulière, car la formule (22) n'a de signification nette que pour un gaz parfait mono-atomique.

A partir du moment où l'on connaît le parcours moyen des molécules, comme leur vitesse moyenne a déjà été calculée, les formules (23) et (24) font connaître le nombre des chocs effectués en une seconde par chaque molécule, ainsi que la durée moyenne d'un parcours libre. Nous rassemblerons au Chapitre XI tous les résultats numériques.

40 D'É^rès la formule (29 bis), le coefficient de frottement intérieur d'un gaz devrait être proportionnel à la

vitesse moyenne, c'est-à-dire (formules 8 Ma et 16) à la

racine carrée de la température absolue T. L'expérience donne en effet un accroissement du coefficient v) avec la température, ce qui constitue une vérification très remarquable de la théorie, si Ton réfléchit que, pour les liquides, la viscosité décroît au contraire quand la température s'élève. Mais la loi de variation observée pour y) est en réalité plus rapide que ne le voudrait la formule (29 bis), surtout aux températures modérées.

Cela tient à ce que le libre parcours a été calculé i^ns tenir compte des actions attractives intermoléculaires, qui ont déjà donné lieu au terme de pression intérieure dans réquation de Van der Waals. Sutherland a montré, par un raisonnement assez simple, qu'on pouvait tenir compte de ces actions, tout en conservant l'hypothèse des chocs élastiques, en remplaçant le libre parcours moyen de MaxweU (formule 22), qui est indépendant de la température, par l'expiession suivante, qui en dépend

et où B désigne une constante. Le coefficient de viscosité devient dès lors

v/2ti7ua«(^l^£ et sa relation avec la température est du type

Cette loi est remarquablement vérifiée par l'expérience dans un très large intervalle de températures ; elle l'a été en particulier pour l'azote de — 190^ à 4- 300\ (Voir le ch. XI, tableau II, page 160). •

18. Transport d'une grandeur quelconque. — Nous avons évalué au paragraphe précédent le transport de quantité de mouvement produit par l'agitation molécuculaire à travers un plan tracé dans le gaz, lorsque les vitesses moléculaires absolues diffèrent en moyenne de part et d'autre de ce plan. Nous avons été ainsi conduits à la théorie du frottement intérieur.

On peut généraliser le raisonnement en imaginant un gaz dans lequel une grandeur quelconque G attachée à chaque molécule, au lieu d'avoir en moyenne la même valeur dans tout le gaz, varierait progressivement d'une région à une autre. On se propose encore de calculer la quantité de la grandeur G qui est transportée à travers l'unité de surface d'un plan donné pendant l'unité de temps par suite de l'agitation moléculaire.

Pour préciser, on supposera, comme au paragraphe précédent, que la grandeur G a la même valeur moyenne pour toutes les molécules d'un plan P parallèle au' plan des xy, et qu'elle croît d'un plan à un autre suivant la loi linéaire.

Son gradient de variation est donc la constante

dG , — = A.

ùz

Une molécule traversant le plan P dans une direction qui fait l'angle ô avec l'axe des z a. subi son dernier choc dans un plan P' d'ordonnée

z' ='z — Zcosô,

en admettant, comme ci-dessus, que le parcours libre de toutes les molécules soit égal au parcours moyen Z. Elle transporte avec elle une quantité de la grandeur G égale à

A^'::=(;^__ÏCOS0)^.

Si n est la densité moléculaire, on verra comme oi-dessué que le nombre des molécules traversant Tuipté de surface dans Puni té de temps et dans une direction comprise entre 6 et 6 -f- cïO est

nv c2?i = — sinOcosÔdô. (31)

Il en résulte que la quantité totale de la grandeur G transportée à travers l'unité de surface du plan P pendant Tunité de temps et vers les z décroissants est >

J^^ àQc nv

(2r — Z oos 6) -— X — sinô cos 6 dô dz 2

T---^-T' I cos*6sin6de = —----. (32)

2 dz Jq 3 dz ^

19, Conductibilité thermique. — Si G est la quantité de mouvement mU parallèle à Ox, la formule (32) redonne Téquation (27 bis), (p. 41) relative au coefficient de viscosité.

Si G représente l'énergie moléculaire moyenne dans le plan d'ordonnée z, nous obtenons l'équation de conductibilité thermique du gaz. Supposons en effet que la température absolue T croisse avec l'ordonnée du plan P suivant la loi