GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, Quai des Grands-Augustins, 53.

rc 171

THÉORIE

DANS LES LITS RECTlLIGNES A GRANDE SECTION.

ÉTUDE DES RÉGIMES GRADUELLEMENT VARIÉS (l

« 1. La publication, par M. Bazin, de ses Expériences sur la distribution des vitesses dans les tuyaux (2), fournit en ce moment aux hvdrauliciens les premières données précises, acquises à la Science, touchant l'établissement du régime uniforme à l'entrée et dans la première partie amont des lits cylindriques allongés où ce régime existe. En effet, dans ces expériences, faites sur un tuyau en ciment lissé de 8orI" de diamètre et 8o,a de longueur, le m es u rage des vitesses des filets fluides, à travers les trois sections situées au quart, au milieu et aux trois quarts de la longueur, a permis de reconnaître que ces vitesses u étaient pareilles aux points homologues sur les

(') Ce Mémoire fait suite à celui que j'ai publié l'année dernière sous Je titre :

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, et qui était presque entièrement consacré au régime uniforme.

( '2 ) Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences de l Institut de France, t. XXXII, n° G; voir la paye 14 du Mémoire.

deux dernières sections, entre lesquelles régnait par conséquent l'uniformité du régime, mais qu'elles étaient notablement moins inégales, du centre au contour, sur la première. Dans celle-ci", leur rapport à la vitesse moyenne U, aux distances/- de l'axe exprimées par les fractions suivantes du rayon R,

avait respectivement les valeurs

yT=i,i2o5, 1,1190, i,io6j, 1,0970, 1,082."), 1,0070, 1,0120, 0,929.5, 0,8600, 0,7000,

. lundis que, |)lus en aval, dans la seconde moitié du tuyau, ce rapport était ( t.iï mpyjennfc, avec des écarts de sens divers, pouvant al'cr, entre les deux ' sections considérées de celte moitié, jusqu'à 0,0 1 2 5) :

JT =1,1675, i,i6o5, 1 , 1 4 7 -> ? i,i258, 1,0923, 1,0473, 1,0008, 0,9220, o,8^65, 0,7^15.

» L'uniformité emploie donc à s'établir une assez grande longueur, supérieure, comme on voit, à cinquante fois le rayon, dans le cas d'un tuyau circulaire à parois polies, puisque les vitesses n'y étaient pas réglées après un parcours de vingl-cinq diamètres; et il y a lieu d'étudier le régime graduellement varié qui règne, sur celte longueur, entre la première section amont où les filets fluides, avant terminé leur rapide épanouissement consécutif à la contraction de l'entrée, sont désormais presque parallèles, sans courbure sensible, mais encore beaucoup trop rapides près de la paroi, beaucoup trop lents sur l'axe pour se conserver tels, et la section, relativement très distante, où même le filet le plus central a pris enfin toute sa vitesse, après s'être accéléré jusque-là à mesure que se ralentissait le fluide extérieur plus retenu par la paroi.

» Tel est le genre de régime graduellement varié, non considéré jusqu'ici dans les grandes sections ou dans les mouvements tourbillonnants, qui fera le principal objet de la présente étude. Toutefois, je rattacherai cette étude à la théorie générale, que je reprendrai d'abord, des autres modes d'écoulement graduellement variés, permanents ou non permanents, bien plus fréquents dans les cours d'eau découverts : savoir, de ceux où il se produit soit d'un point à l'autre de la longueur, soit sur place, des changements de section fluide et de vitesse moyenne, assez bien amenés pour laisser subsister partout, avec quelque approximation, la distribution des

( 7 ) vitesses caractéristique du régime uniforme, altérée seulement dans une mesure comparable à ces changements eux-mêmes. Leur théorie, très facilitée par l'emploi immédiat, qu'elle comporte, de la méthode des approximations successives à partir des formules du régime uniforme, a été indiquée, il est vrai, dès 1 87 1 (') et publiée in extenso dans un Mémoire de l'année suivante 1872 (2); mais je lui ai trouvé depuis des simplifications et des compléments qui permettent d'en abréger beaucoup et d'en mieux synthétiser l'exposition.

§ II. — Équations fondamentales de l'écoulement graduellement varié.

» 2. J'ai déjà donné la définition et les équations fondamentales des régimes graduellement variés, dans mon étude de l'année dernière sur l'écoulement tourbillonnant et tumultueux (:î ). Les composantes transversales v, w de la vitesse moyenne locale V y sont assez petites, ainsi que les dérivées, par rapport à l'abscisse x ou au temps /, soit de la composante longitudinale u, soit de la section normale fluide n, soit de la vitesse moyenne de débit U à travers cette section, pour que les produits de toutes ces quantités, entre elles ou par le petit coefficient z du flottement intérieur, soient négligeables dans les équations du mouvement. De plus, les dérivées successives en x ou t des mêmes petites quantités sont d'ordres de grandeur de moins en moins sensibles, en sorte que l'on doit n'en tenir compte qu'à des degrés d'approximation de plus en plus élevés; et même la dérivée de 1 en x, comparable au produit de s par certaines des petites dérivées précédentes, peut être supposée nulle.

» 5. Cela posé, les deux équations indéfinies du mouvement, où figurent les deux très petites accélérations latérales /, w' ', se trouveront

(') Comptes rendus, t. LXXIII, p. 3^ et 101 ; 3 et 10 juillet 1871.

(2) Essai sur la théorie des eaux courantes, aux t. XXIII et XXIV du Recueil des savants étrangers ou des Mémoires présentés etc , §§ VI, IX, X, XI, XII, XXVI, XXXVI. Noir surtout le § XL, rédigé en i8j3, et, au Tome XXIV, une Addition, p. 5o,.

(8) Comptes rendus, 22 et 29 juin 1896; t. CXXII, p. 1 449 el iJ'7t ou n° 20, p. 17. du précédent Mémoire consacré surtout au régime uniforme et intitulé : Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section.

( 8 ) débarrassées, comme on a vu par mon étude de l'année dernière (1), des termes en s; et elles exprimeront que la pression moyenne p varie, à l'intérieur de chaque section a normale à l'axe des x, comme dans un fluide sans frottements, sa différentielle suivant un petit chemin sjdy'1 H- riz'1 y égalant sa valeur statique moins le produit ?(v' dy -+- w riz).

» Celui-ci, par unité de longueur du chemin suivi, est, comme v' eUr', du second ordre de petitesse; on pourra donc, à peu près toujours, le négliger. Mais sa présence dans l'expression de rip entraîne évidemment la condition d'intégrabilité

dv> dw' dz dy

» Ce sera une des équations indéfinies du problème; et il faudra, par conséquent, malgré l'extrême petitesse de ses termes, y avoir recours, sauf dans les àeux cas simples de sections rectangulaires d'une grande largeur constante et de sections circulaires, où d'évidentes considérations de symétrie en tiendront lieu. Elle servira à déterminer les petites composantes transversales v, w de la vitesse, concurremment avec la condition de continuité ou de conservation des volumes fluides

. dv dw du

\ ' dy dz dx

» i. L'expression de p, ainsi formée pour l'époque actuelle t et à partir de Yaxe hydraulique actuel où elle est appelée p», c'est-à-dire à partir du point où cet axe perce la section g comprenant le point considéré (x, y, s), aura donc la partie non hydrostatique — f p (V dy -f- w' riz), duc aux forces centrifuges du fluide ( — oe', — on/ par unité de volume) au moins dans la mesure où la vitesse V est normale au plan des yz ou de g. Mais cetlc partie sera du second ordre de petitesse, et, dans la dérivée de p en x figurant au premier membre de l'équation indéfinie en u' , elle ne fournira, par suite, que des termes du troisième ordre, négligeables, même quand on poussera jusqu'à la seconde approximation le calcul du régime graduellement varié. L'équation indéfinie principale de ce régime sera donc la relation (^3) de ma Note du 29 juin 1896 (2), ou, par suite, en prenant comme variables n, '( les coordonnées homologues de y, z dans

( ') Comptes rendus, t. CXXII, p. 1620, ou n° 27, p. 23, du précédent Mémoire. (2) Comptes rendus, t. CXXII, p. 1021, ou bien p. i\ du Mémoire précédent.

(9) une section semblable à <r, mais de rayon moyen i, la formule (26) de la môme Note, savoir

LF^>y+!LF(^>y

Sit;

(3) iK^J+iKo^J+Aïi-Ax.

» Dans cette formule, I désigne la pente motrice actuelle, F(r,, '() une fonction censée donnée pour chaque forme de la section et u0 la vitesse u sur une génératrice convenue du fond, par exemple, sur la génératrice équidistante des deux bords. Il s'y joint la condition (26) spéciale au contour de <t et qui est

dl-L (4 ) (sur le contour) F(u, l) -~ = - ksjb0f(r„ Ç),

dv désignant toujours une petite normale menée au contour dans la section de rayon moyen 1, à partir de chaque point intérieur (r,, () infiniment voisin, et /(r,, '() une fonction donnée sur tout le contour, généralement peu différente de 1 le long du contour mouillé y, mais nulle aux surfaces libres.

» On a vu d'ailleurs qu'il résulte de ces deux équations, pour déterminer la vitesse u0 au milieu du fond, la formule notée (27), qui, en appelant Oïl/la moyenne des valeurs de /('<% '() le long du contour mouillé y et, finalement, Dïlu' la valeur moyenne de u' sur toute l'aire n, est

» 5. Enfin, il a été démontré au même endroit: d'une part, que ces équations sont indépendantes du choix des axes rectangles des y et des z dans un plan parallèle à la section n • d'autre part, qu'elles déterminent complètement les vitesses u à travers celle-ci, dès qu'on y donne la pente motrice actuelle I et, en chaque point {y, z) ou (n, £), l'accélération longitudinale actuelle u'. Or cette dernière peut s'évaluer, sauf erreur de l'ordre des carrés ou produits qu'on néglige, en remplaçant la vitesse longitudinale u par la vitesse totale V = \ju2 + v2 -+■ w'1 , ou en prenant ainsi X accélération tangentielle, dérivée complète par rapport au temps (c'està-dire pour une même particule suivie dans son mouvement moyen local)

de la vitesse V; et l'on voit alors qu'elle est tout aussi indépendante des B. 2

( io)

axes coordonnés que la pente motrice elle-même,

d (o , Po

(6) l = ~ ds \~° ' ?g

où 60 est Yallilude et p0 la pression moyenne sur Yaxe hydraulique actuel, dont on considère l'élément ds compris entre la section g proposée, qui lui a été menée normale, et une section voisine parallèle.

» En faisant idéalement la même substitution permise de V et V0 à a et u0 dans les premiers membres des formules (3), (4) et (5), ces équations auront, dans toutes leurs pari ies, une signification géométrique ou physique, indépendante des axes généraux de coordonnées que l'on pourrait choisir ensuite pour étudier dans chaque cas le mouvement à toutes les époques; caries y, z, our,,£, qui y figureront, seront des coordonnées locales propres à la section fluide g menée, à l'époque /, normalement en un point donné quelconque de Yaxe hydraulique tel qu'il est à ce moment, c'est-à-dire de l'axe du tuyau quand il s'agit d'un tuyau plein, et d'une coupe longitudinale de la surface libre actuelle quand il s'agit d'un cours d'eau découvert.

» Enfin, les vitesses et les accélérations, variant lentement d'un point à l'autre dans les sens parallèles ou presque parallèles à la direction moyenne de l'écoulement, ont sensiblement les mêmes valeurs et les mêmes dérivées en sens divers aux points correspondants de sections voisines g, presque pareilles d'ailleurs, menées en un même endroit dans le fluide suivant des orientations un peu différentes, mais toutes à peu près normales aux vitesses V. Et l'on peut même y confondre des dérivées de u suivant des sens transversaux (des y ou des z) un peu différents, faisant entre eux des angles du premier ordre de petitesse, pourvu que ce soit dans des termes, provenant des frottements, où figurait d'abord le petit facteur s, comme sont ceux en F (y;, "Ç) de (2) et de (3).

» Donc, si l'on prend, pour toutes les époques, un axe fixe des x suivant la direction moyenne de l'écoulement, et des axes des y et des z perpendiculaires, les quantités u, ç, w, u', v', w' pourront, également, se rapporter à ces axes fixes et communs dans les formules (1), (2), (3), (4) et (5), où la pente motrice I sera la dérivée en x, changée de signe, de

l'expression 60 -h ^, mesurée le long d'un axe hydraulique généralement

variable d'un instant à l'autre, mais dont les éléments ds ne feront avec l'axe des x que des angles ayant leurs carrés négligeables.

§ III. — Équations qui déterminent le mode de distribution des vitesses

dans l'écoulement varié.

» 6. Si, après avoir divisé (3) et (4) par k\j'B0, l'on élimine I de (3) par la relation (5), il vient, pour déterminer le mode de distribution des vitesses à travers la section t, le système suivant d'équations, où nous

avons pris comme inconnue la même fonction — — ( i ) que dans le

cas du régime uniforme (') :

dll — Uo r , .1. „ i <V 1\ U — Ut

(au contour) F-j = = — /, (au milieu du fond)

» Posons

(8) iif-|f = F'^-) + ^.7F!(-,,r).

«oAry'Bo 6Do«0 /.

F, étant la fonction, déjà considérée, qui définit pour chaque forme de section la distribution des vitesses dans le régime uniforme et que détermine le système

[ (au contour) F —p = — f, (au milieu du fond) F, = o.

» Les formules (7) deviendront évidemment, en F2,

I (au contour) F -— = o, (au milieu du fond) F2 = o ;

et il est clair que celles-ci, une fois l'accélération u' connue aux divers points (y, z)ou (y], Z,)àea, détermineront complètement la fonction F2, qui

(!) Comptes rendus, 6 juillet 1896, t. CXXIII, p. 7, ou § VIII du Mémoire précédent, p. 26.

dépendra non seulement de r,, £, mais aussi des autres quantités entrant dans u' .

» Quand la fonction F2 sera ainsi trouvée, la relation (8) donnera, pour exprimer dans toutes les sections semblables le rapport de la vitesse u en un point quelconque à la vitesse u0 au milieu du fond, la formule

§ IV. — Relation entre la vitesse moyenne et la vitesse au fond.

» 7. Le rapport de la vitesse moyenne U à la vitesse w0 au milieu du fond s'obtiendra, par suite, en prenant la moyenne des valeurs du second membre de (i i) sur toute l'aire g de la section fluide; ce qui donne, comme généralisation de notre formule (3i) de régime uniforme ('), si DlcF2 désigne la valeur moyenne de la fonction F2 (r,, £),

( 1 2) £ = i + (fcm-FO v'b; 4- — 4=- £ ^F2.

» On voit qu'il suffirait de connaître 0ïLF2 pour pouvoir tirer de (12) la vitesse u0, au milieu du fond, en fonction de la vitesse moyenne ou de débit U; après quoi, la substitution de cette valeur de u0 dans l'équation ('5) donnerait, entre la vitesse moyenne, le rayon moyen, la pente motrice et l'accélération moyenne DKu' , une relation, propre à jouer dans les régimes graduellement variés le rôle capital de l'équation usuelle

- I = b\J2 dans le régime uniforme. Or l'expression désirée de 0ïlF2 se

déduit aisément des équations (9) et (10) définissant F, et F2, sans qu'on ait, à beaucoup près, besoin de les intégrer.

•» 8. Ajoutons, en effet, les premières équations (9) et (10), respectivement multipliées parF2^et par — ¥{dn; et observons que da, ou dydz, est le produit du carré du rayon moyen par l'élément d'aire d-rid'C, dans la section semblable de rayon moyen r. Puis intégrons les résultats dans

(') Comptes rendus, 6 juillet 1896, t. CXXIII, p. 8, ou p. 27 du Mémoire précédent.

( '3 ) toute l'étendue de celle-ci, après avoir remplacé les différences

Par ^ F2.F-^--F1.F^- ,- F2.F-7r--F1.F-7F • Les termes ou

ûrr, \ 2 ' û?7) ' ' <r/r, J dt\ -' dX, ' " <iw

paraissent ces différences se transformeront, à la manière ordinaire, en intégrales de contour, que les secondes relations (9), (10) simplifieront et réduiront à la partie mouillée du contour. Revenons enfin à la section effective c et à son contour mouillé y, en multipliant les différentielles sous les signes/ par les facteurs convenables. Alors, si on (F, m') désigne la valeur moyenne du produit F, (r,, 'Ç)id dans tonte l'étendue a, nous aurons, après avoir divisé par a,

(i3) — / /F2 -^ -f- 0H/.3TLFj = ,m F4.3]W — Dft (F, a').

Jy 7.

» Dans cette relation, le premier terme égale évidemment le produit de DKf par une valeur de F2 intermédiaire entre la plus petite et la plus grande que prenne cette fonction le long du contour mouillé /. Or, si les vitesses, aux divers points de la paroi, étaient réparties dans le mouvement varié comme dans le mouvement uniforme, on y aurait, d'après (8), F2=o, le premier membre de (8) s'y réduisant à F, (?;,£). Sans avoir besoin d'admettre qu'il en soit rigoureusement ainsi, il est clair, par analogie avec ce qui a lieu dans le régime uniforme, que les écarts relatifs de vitesse, propres au mouvement varié, seront bien moindres le long du contour mouillé que dans tout l'intérieur de la section. Autrement dit, la fonction F2 se maintiendra, le long de y, beaucoup plus voisine que dans l'aire a de sa valeur zéro réalisée au milieu du fond. Donc le premier terme de (i3) est négligeable devant le deuxième, et cette relation donne

(14) =DnFiXlu<-XliFiu>),

ÔWf

» 9. Telle est l'expression de D1oF2 à substituer dans (12). Remplaçons

ensuite le binôme 1 -h ^v^^ô^F, parsa valeur, 1 / °'. L' , contenant le coefficient usuel b qui entre dans la formule du régime uniforme ( ' ), et mettons

(') Comptes rendus, 6 juillet 1896, t. CXXIII, p. 8, formules (32) et (33); ou p. 27 du Mémoire précédent.

d'ailleurs cette valeur en facteur commun au second membre. Nous aurons . „. U /B^ïÇ/l , , A /~r a DïlFi3ïlu'-DK(Flu')~]

(I3) ^ = \~îT~V^I{\^~fyr -JB^ÏÔT/- -J'

expression où le terme qui suit l'unité dans la parenthèse sera très petit et aura son carré négligeable, puisque nous admettons ici un mode de distribution des vitesses voisin de celui du régime uniforme. Comme on veut avoir u'I en fonction de U2, il reste à renverser cette valeur du quotient de U par u0 et à l'élever au carré, en employant d'ailleurs la formule du binôme et en substituant à B0u20DTU/, dans le terme en u, sa valeur de première approximation 6U2. Il vient, pour représenter (au facteur près pg) le frottement extérieur moyen B0u20DTl/ par unité d'aire, la formule

(ib) B0^/=&U2-2*y/^- ' * '-■

» On donne au second membre une signification plus intuitive en observant que F, et At/^-. reviennent, d'après (8) et (i5), dans les petits

/ r . U — Mo ? «ovHn J u " — ll0

termes ou u est en facteur, a -=L> A— ,T— > et ont pour produit — r

Alors '/0 s'élimine du dernier terme de(i6); et, en indiquant finalement par (u2)' la dérivée complète de u2 relative au temps, c'est-à-dire sa dérivée liai' prise en suivant une même particule, par 3ïl(m2)' la valeur moyenne de (u~)' , il vient

(17) B.ll^Il/^ OU2 -*---[ — ^ -2DIL//J.

Telle est la valeur de B0 wj 3Tb/ qu'il faudra porter dans l'équation (5), où figure la pente motrice I. Résolue par rapport à I, cette équation sera

(.8) l = 6U'ï + ipi^ -au/|.

§ V. — Formule générale pour la valeur moyenne, sur une section, de toute dérivée complète par rapport au temps.

» 10. Il manque encore à son dernier terme et à celui de (17) d'être reliés le plus simplement possible à la vitesse moyenne U ou à ses dérivées partielles en x et t.

( '5 ) » Pour y parvenir, démontrons d'abord la formule générale suivante, où il s'agit de tout courant fluide, permanent ou non permanent, dont les particules, d'une densité p constante ou variable, possèdent des vitesses V ayant, à l'époque /, les composantes u, v, w suivant des oc, y, z fixes et où, U étant la vitesse moyenne (de débit) suivant l'axe des x, à travers les sections a normales à cet axe et fonctions, comme elle-même, de x et de t, t désigne d'ailleurs toute fonction continue des quatre variables /, x, y, z, enfin, t', sa dérivée complète par rapport au temps, ou dérivée prise en suivant durant l'instant dt la particule venue en (;r,y,z)à l'époque/ :

(19) f^'dn = ± fj.dc + ± fjUTdc.

» Considérons, en effet, à l'époque t, la somme 2/tit', pour toutes les

particules m = zdndx comprises dans le volume fluide / dx i dn, que

limitent les sections t, n ayant deux abscisses voisines et constantes x, x -+- Ix; et soient t, la valeur, à l'époque t -h dl, de la fonction t pour la particule m, ns la section fluide correspondant, pour la même époque / 4- dt, à chaque abscisse intermédiaire entre x et x -+- Ax. Il est clair que

(20) 2mT' = irS~m~> ~ Iwt)'

et, d'autre part, que Imz' , Imz ont les deux expressions respectives

dx ( z-' dn et / dx f z-.dn.

» Pour évaluer Im-r,, observons que la masse 1m comprend, à l'époque t -f- dl, la tranche fluide limitée par les deux sections g, d'abcisses x,x -+- Ix, où les particules m se grouperont en éléments de volume dxdnK donnant les éléments d'intégrale dxz-dn{, moins le fluide, p(udt)da à fort peu près, entré par chaque élément de la première section durant l'instant dt, et donnant l'élément d'intégrale — dtzu-dn, plus enfin le fluide analogue o(adt)da sorti dans le même instant par chaque élément de la dernière section 1' et fournissant à l'intégrale l'élément dtzu-.dn. La somme lm-7t sera donc

» Divisons par dt son excédent sur l'expression de 1m-, et nous aurons

( '6) évidemment, d'après (20),

C d*ffd° = l dx{iJr<h + £fj"T'h}

ce qui, en supposant àx infiniment petit, revient bien à la formule (19).

£ VI. Applications de cette formule, notamment à l'équation de continuité du fluide pour toute l'étendue des sections, etc.

» 11. Une première application, indispensable, de (19) s'obtient en posant t = 1, de manière à exprimer la conservation de la masse fluide ïm. Dans le cas auquel nous nous bornons d'un liquide, il vient ainsi, après suppression du facteur alors constant p, et en observant que U est la valeur moyenne de u sur toute l'aire a, l'équation de continuité en CJ et g, savoir

(2I) dt + -ïïr=0'

» Elle signifie que la tranche fluide, gAx, comprise entre deux sections voisines a, g\ à abscisses constantes, et à travers lesquelles les vitesses moyennes sont U et U', décroît, par unité de temps, d'une quantité

- \x, égale à la différence de leurs débits, qui est t'U' — n\J, ou

dx » Posons maintenant, dans (19), t = soit u, soit m2; et faisons d'ailleurs

où r, désigne ainsi ( ') l'excédent sur l'unité, toujours positif, du rapport du carré moyen des vitesses u à travers une section au carré de leur moyenne U, et où a, peu différent, comme on sait, de 1 -+-3t; (2), est, suivant l'usage des

( ' ) Il est vrai que r, désigne déjà le rapport, dans chaque section a, de la coordonnée y à une certaine ligne de la section. Mais il ne résultera de ce double emploi de r, aucune confusion, les deux rôles n'ayant rien de commun.

(2) En effet, si l'on pose 77 — i -+- A, la valeur moyenne de A sur toute l'aire a de la

hydrauliciens, le rapport analogue du cube moyen des vitesses u au cube de la vitesse moyenne. La formule (19), divisée par p<j, donnera

(23) sw('=-|-ar+ ^ j, sM8.y=^i v+a5 j

Dédoublons les termes où figure une dérivée en x, en y considérant (1 -+- Y))U2ff, <xU3c comme produits de Uc par (1 H- tq)TJ ou par <xU2; puis éliminons, grâce à (21), la dérivée de Ut en a?. Il vient, après quelques réductions évidentes,

/ , dV rf.(i4-r,)L U d<s

\ dt dx ' 1 dt

, ,. -, , a. (ih-t))U2 TTc/.aL2 / v U2 rf<r

=»-("•)'= dt ■tD-as--<«-,-*>-rar

» Enfin ces valeurs, portées dans (1 8) et (17), donneront aisément les expressions désirées de la pente motrice et du frottement extérieur moyen par unité d'aire (au facteur près og) :

t 7 rT9 y / \ d II2

I=;/Jlj- -4 -{-(2 7. — I — 7} ) -5

7 v y rAr 2^

1 +2 7] c/L a — 1 — 2 7) U ofcr U /'., rf.a — T) rfr

t/f "• 7 <://, sr \ dx dt

g / dt y g \ dx dt

section sera nulle. Donc les carré et cube moyens 1 4-7), a de =-tj savoir

;))I(l + 2A + A2) et 31L(i4- 3A+3A2-+- A3),

seront respectivement

i + 01c(A2) et 1 -+-33)t(A2)4-;)rc(A3).

Ainsi, d'une part, tj = 31L(A2), et les valeurs absolues de A sont, en moyenne > de l'ordre de \frt; d'autre part, Oïl (A3) étant dès lors comparable à r.y/r,, c'est-à-dire, en général, beaucoup plus petit que 3 011 (A2) ou 3?,, % se réduit bien, sensiblement,

§ vil. — Équation générale du mouvement et formule du frottement extérieur,

à une première approximation.

» 12. Les coefficients 2x — i — y), 14- 2Y), a — i — 2y), 2(01 — i— yi),2yj, i -h 3 Y] — a, calculés par les relations (22) qui définissent r, et a, pourront être réduits à leurs valeurs sensiblement constantes de régime uniforme, dans tous les écoulements assez graduellement variés pour que le mode de distribution des vitesses diffère peu de ce qu'il est dans ce régime; car ces coefficients multiplient des dérivées de U ou de a petites du premier ordre, et les parties de 7), et ajoutées par de pareilles variations de régime n'apporteraient aux termes considérés que des corrections non linéaires, supposées négligeables.

» De plus, dans les écoulements graduellement variés auxquels nous voulons nous borner d'abord, et où se feront assez lentement les changements de/orme de a influant sur les valeurs de régime uniforme de y] et a, les petites parties variables de ces coefficients seront, comme celles mômes que contiendra le rapport de u à U et d'où elles proviendront, de l'ordre des dérivées partielles premières de U ou de a; et leurs dérivées en x ou en l atteindront, par suite, comme les dérivées secondes de U ou de a, le deuxième ordre de petitesse. C'est dire qu'à une première approximation, le dernier terme, double, de chacune des équations (25) et (26) sera négligeable.

» Les deux équations (25) et (26) auront ainsi leurs seconds membres réduits aux quatre premiers termes; et les quatrièmes, affectés des coefficients a — 1 — 2ri, 1 -+- 3-n — a, très petits par rapport aux coefficients précédents, seront môme peu sensibles. On pourra dire, en particulier, que la pente motrice I se divise en trois parties principales, employées respectivement ,

l'une, b[j2-, à vaincre le frottement extérieur de régime uniforme; la

deuxième, (20c — 1 — ^)-f-(— ~)> a accélérer d'amont en aval le mouvement, en y accroissant la hauteur due à la vitesse moyenne U; enfin, la troisième, — ■ — - —7-1 à accélérer le mouvement sur place.

g Cil

» D'après la formule (2G), le frottement extérieur moyen par unité d'aire comprend pareillement trois parties principales, dont les deux dernières, dépendant des mômes variations du mouvement, montrent que, à égalité de vitesse moyenne U, la vitesse au fond u0 croit quand le mouvement

( i9 ) s'accélère ainsi soit d'amont en aval, soit sur place. Ces accélérations tendent donc à égaliser les vitesses à travers chaque section, comme Dupuit en avait fait quelque part la remarque pour le cas du régime permanent, il y a un demi-siècle, dans ses Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes ( 1 ).

» 15. L'hypothèse, faite ici, d'un mode de distribution des vitesses peu différent de celui du régime uniforme, astreint évidemment, dans la formule (26), les termes qui suivent b\J2 à être notablement moindres que bU2; sans quoi le rapport de u0 à U en serait trop altéré. Mais, heureusement, les coefficients 2(a — 1 — •/]), 2r„ 1 -h 3r, — a de ces termes sont de petites fractions des coefficients correspondants iv. — 1 — yi, i -4- iv\, ce — 1 — ir{ dans la formule (25); car r, ne dépasse guère 0,02 ou o,o3 (sauf dans le cas de parois très rugueuses) et x égale 1 4-3y), à un écart près de l'ordre den\/n. Aussi le terme bU2 pourra-t-il, dans (26), être, comme on l'admet, très supérieur à ceux qui le suivent, sans que, dans (23), les termes correspondant à ceux-ci, ou dus à la variation du mouvement, soient tenus d'être moindres que le terme en h. Autrement dit, grâce aux inégalités modérées des vitesses à travers chaque section dans les écoulements tourbûlonnanls , le régime peut y être graduellement varié, avec vitesses distribuées approximativement comme dans le régime uniforme, tout en différant beaucoup d'un régime uniforme. De là, le champ étendu d'application et l'utilité de l'équation (23) du mouvement.

(*) 11 observe que le principe de Daniel Bernoulli, appliqué, entre deux, mêmes sections normales d'un courant permanent sensiblement rectiligne, aux. divers filets lluides de ce courant, impose à tous, de la section amont à la section aval, la même

variation de la hauteur — ou — due à la vitesse. Si donc, dit-il à peu près, les fi-

lets s'accélèrent, les carrés u- conserveront entre eux, tout en grandissant, leurs différences primitives (du moins le long de parcours assez modérés pour qu'on puisse y négliger l'action des frottements), et les différences entre leurs racines u s'atténueront. C'est bien ce qu'ont vérifié, toujours pour l'état permanent, les remous d'abaissement observés par M. Bazin. Les valeurs de r, qu'il y a constatées sont un peu moindres que celles de régime uniforme {Recherches hydrauliques; ire Partie, p. 262). Or r, ou OÏL (A2) mesure, en quelque sorte, par sa racine carrée, l'inégalité relative moyenne de vitesse des filets fluides composant le courant; et la diminution de tj indique bien une tendance de ceux-ci vers l'égalisation de leurs rapidités, aux endroits dont il s'asrit où le fluide s'accélère.

» Au contraire, dans les mouvements bien continus, où s'annule la vitesse u0 à la paroi, yj, a — i sont comparables à l'unité ; et tout régime graduellement varié, avec vitesses distribuées approximativement comme dans un régime uniforme, est quasi uniforme, quant à la relation existant entre la pente motrice, la vitesse moyenne et le rayon moyen. L'étude d'un tel régime n'offre donc qu'un intérêt restreint (* ).

(') J'en ai, toutefois, donné la théorie au § I d'un Mémoire publié en 1878 au Journal de Lioiwille.

Un cas particulier, celui qui concerne l'établissement du régime uniforme dans la première partie amont d'un long tube, et que j'étudie pour l'écoulement tourbillonnant, c'est-à-dire pour les tuyaux, aux §§ XXI à XXX du présent Mémoire, offre un certain intérêt aux physiciens; car il permet, par le calcul de la fraction de la charge (ou hauteur motrice) qui est employée à établir le régime uniforme, d'expliquer les débits obtenus par Poiseuille dans celles de ses expériences sur l'écoulement le long des tubes fins qui constituent sa seconde série, où la longueur était insuffisante pour que la fraction de charge dont il s'agit ici pût être négligée. Une étude surtout expérimentale de M. Maurice Couette (Thèse de doctorat es Sciences physiques, Sur le frottement des liquides, Paris, 1890), ayant appelé mon attention sur ce cas spécial, je l'ai abordé dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, d'abord les 9 et 16 juin 1890 (t. CX, p. 1160 et 1238), puis, plus complètement pour les tubes circulaires, les 6 et i3 juillet 1891 (t. CXIII, p. 9 et 49)- Un premier aperçu y démontre que la hauteur de charge employée à établir le régime uniforme, dans un tel tube à

entrée évasée, est environ — > U désignant la vitesse moyenne. Après quoi, la mise en

compte, par des intégrations en série compliquées, des variations de vitesse des filets

après l'entrée, m'a donné 1,12 — > avec une longueur minima 0,26 — R2U environ

(où £ = 0,0000001 3 p^ pour l'eau à io°), sans laquelle le régime uniforme n'existerait pas, même à l'extrémité aval, à des écarts relatifs près de 0,01 sur les vitesses.

M. Jules Delemer a repris à fond les mêmes calculs dans sa Thèse de doctorat es Sciences mathématiques, Sur le mouvement varié de l'eau, etc. (Paris, 1896), et en a fait l'application détaillée à la seconde série d'expériences de Poiseuille. Il a

trouvé notamment, pour la charge employée à établir le régime uniforme, i,i23 — >

o quand on se borne, comme j'avais fait, à la première solution simple, ou au terme

fondamental de 1 intégrale générale, mais i,i346 — > quand on prend les deux pre-

miôres solutions simples.

On verra plus loin, dans deux Notes annexées aux §§ XXV et XXVIII du présent Mémoire, comment la théorie de ces phénomènes pourrait se déduire, comme cas limite, de celle des écoulements tourbillonnants, convenablement modifiée.

§ VIII. — Usages de l'équation générale du mouvement graduellement varié.

» 14. La pente motrice lest liée, dans un tuyau plein, à la dérivée en x de la pression p0 le long de l'axe : dans un canal découvert, elle l'est à la dérivée analogue de la section fluide <y, car elle se confond alors avec la pente de superficie, dont l'excédent sur la pente donnée du lit est le quotient, par dx, de la hauteur de la bande supérieure, — dç, qui manque actuellement à la section fluide d'abscisse x -+- dx pour égaler la section a d'abscisse x. En joignant la condition (21) de conservation des volumes fluides à la relation (25), on aura donc deux équations aux dérivées partielles, en U et/?0 dans le cas du tuyau où la section a est connue, en U et n dans le cas du canal découvert où p0, pression à la surface libre, est ou constante, ou, du moins, donnée. S'il s'agissait d'un tuyau élastique, à section g variable avec/?0, cas dans lequel ces deux équations (21), (25) contiendraient les trois fonctions inconnues distinctes U, a, p0 de x et de l, la théorie de l'élasticité fournirait, entre n etp0, la troisième équation nécessa i re .

» On aura donc les formules indispensables pour rattacher, dans le cas général d'un régime non permanent, les états successifs du courant fluide à son état initial, et pour déterminer, dans le cas plus particulier d'un régime permanent, où les équations deviendront simplement différentielles en x, les variations, d'amont en aval ou d'aval en amont, soit de la pression p0 sur l'axe, soit de la section fluide t.

» 15. Ces équations expliquent facilement, comme on peut le voir dans mon Mémoire cité de 1872 ('), les principales circonstances qu'offrent les cours d'eau découverts, soit parvenus à un état sensiblement permanent et étudiés dans leurs longues parties à variations graduelles de chaque section aux suivantes, soit considérés dans des états de crue ou de décrue survenant, les uns, assez vite, les autres, avec une certaine lenteur. Mais l'observation de tels phénomènes ne comporte guère le degré de précision qu'il faudrait pour contrôler, dans l'équalion (25), les coefficients 2x — 1 — Y], 1 -f- 2 Y], a, — 1 — 2T| des termes dus à la non-uniformité du

(')■ Essai sur la théorie des eaux courantes, §§ XIII à XVI, XXVII, et XXXVI à

régime, en tant qu'ils diffèrent, le premier, de l'unité, qu'il excède sensiblement de 5y), le deuxième, aussi de l'unité, et le troisième, de zéro, qu'il surpasse de n environ. Or il n'en est pas tout à fait de même de la propagation de Yonde ou intumescence que produit une variation assez rapide, mais momentanée, de la hauteur d'eau et de la vitesse moyenne, à une des deux extrémités du cours d'eau, onde descendante, ou dirigée suivant le courant, quand elle survient à Ventrée ou extrémité amont, onde ascendante, allant contre le courant, quand elle survient à X embouchure ou extrémité aval, et que la vitesse U du courant est insuffisante pour arrêter sa progression vers l'amont. Dans ces deux cas, la vitesse de propagation, calculable par les équations (21) et (^5), se trouve dépendre assez des petites parties des coefficients en question, pour que sa mesure effective les mette en évidence, du moins dans les cours d'eau torrentueux et à fond non poli où la rapidité um des filets superficiels excède fortement la vitesse moyenne U. Il y a donc lieu d'évaluer ici cette vitesse de propagation, en vue de vérifier expérimentalement l'équation générale ( 25) des écoulements graduellement variés.

§ IX. — Son emploi dans le calcul de la propagation des ondes ou des remous

le long d'un courant.

» 16. Supposons qu'il s'agisse d'un canal rectangulaire de pente constante et d'une très grande largeur également constante, où se trouve établi, avant la perturbation constituant Fonde étudiée, un régime uniforme, à vitesse moyenne U pour la profondeur d'eau, également donnée, H. Soient U -h U' et II -4- h les nouvelles valeurs de ces quantités lors du passage de l'onde, ou U' et h les petites variations, fonctions de x et de /, qu'ont subies celles-ci à partir des valeurs primitives constantes U, H.

» La pente initiale de superficie, donnée par la formule du régime uniforme ou par l'équation (23) réduite à ses deux premiers termes, est le quotient de bXJ2 par H, vu la valeur prirpitive H du rayon moyen. A l'état non permanent, chaque section se relevant fie h, cette pente I devient évidemment b-jj- — y-; et, en même temps, le second membre de (25),

réduit, comme il a été dit, par la suppression de son dernier terme (double), prend l'expression

(U + U')« xU-t-U'rfU' 1

11 + /' v ' s dx

2r. rfU' a- 1 — 27) U + U'gf/i

dx 2 dt g II -+- h dt

» A une première approximation, l'on pourra négliger les termes non linéaires en U' ou h et même, à cause de la petitesse du coefficient b, les produits de b par U' ou par h. L'équation (25) deviendra donc

rf*

dh dx

i — 2 r, U <iA "7 H ~dt

» D'autre part, l'équation (21) donnera, au même degré d'approximation, (28)

dh ~dt

dW dh

dx dx

» 17. On peut tirer de (28) la valeur de la dérivée de U' en x, pour la substituer dans la relation (27), différentiée préalablement par rapport à x. Il vient ainsi l'équation en h,

, x drh (29) -^F+2

d2h gtt — (2a — 1 — r() U2 rf* h

dx dt 1 + 2 r, Gfo;2

» Décomposons son premier membre en deux facteurs symboliques du premier degré, ou, autrement dit, adoptant comme inconnue provisoire la fonction auxiliaire

dh dx

mettons l'équation (29) sous la forme

d± dt

» Les deux constantes o, o/ auront respectivement pour somme et pour produit les coefficients des second et troisième termes de (29); d'où

R désignant le nombre positif dont le carré est

± ki/551,

» Nous prendrons le radical, dans (32), avec les signes supérieurs s'il s'agit d'ondes descendantes, avec les signes inférieurs s'il s'agit d'ondes

ascendantes. Dans le premier cas, en plaçant l'origine des x à l'entrée du canal, on n'aura le long de celui-ci que des abscisses x positives; et l'on pourra convenir de compter le temps à partir d'un moment où l'expression (3o) de <j/ sera encore nulle pour x^>o. Dans le second cas, en plaçant l'origine des x à l'embouchure, l'on n'aura, au contraire, que des abscisses x négatives; et l'on comptera de môme le temps t à partir d'une époque où -| = o tout le long du canal, savoir pour x < o.

» 18. Cela posé, formons les intégrales du problème pour la région du cours d'eau située en avant du plan x — o//, c'est-à-dire ayant des abscisses plus grandes que co'/, dans le cas d'ondes descendantes où l'on a to'<[co, mais plus petites que <m' t dans le cas d'ondes ascendantes, ou 0/ est ^> co. Cette région comprendra évidemment tout le canal si o et u>' ont signes contraires ; ce qui arrivera dans les cours d'eau franchement tranquilles (non torrentiels), où \j gM excède notablement U. Même dans un cours d'eau torrentiel, elle sera assez étendue pour que la différence x — tôt, inférieure ou supérieure à x — ia' t suivant que les ondes descendent ou remontont le courant, y varie de part et d'autre de zéro, et finalement dans d'aussi larges limites que l'on voudra, une fois / devenu assez grand.

» La région considérée donnant, suivant les cas, x — u l ^> o ou x — o//<^o, l'intégrale de (3i), savoir 6= une fonction de x — o//, y devient simplement ^ = o à raison de la donnée d'état initial, qui annule h et <\>, quand t s'annule, pour toutes les valeurs respectivement positives ou négatives de x. Dès lors, l'équation (3o) a elle môme pour intégrale h = F(x — mt), où la fonction F, nulle (au moins sensiblement) pour les valeurs soit positives, soit négatives de sa variable, en vertu de la môme condition d'état initial, reste arbitraire pour les valeurs respectivement négatives ou positives de cette variable x — ut.

» L'équation (28), ainsi devenue -7- [HLT — (co — U)A] = o, montre

que l'expression II U' — (co — V)h est nulle partout, comme aux points du canal que l'onde n'a pas encore atteints; et il vient, en définitive, pour la solution cherchée, vérifiant d'ailleurs (27) non moins que (28),

(34) h = F(x — co/), U'=^^lh.

§ X. — Calcul théorique de l'influence qu'a la déformation de la masse fluide sur leur vitesse de propagation.

» 19. D'après ces formules, la constante a>, définie par (3s) et (33), est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes. Or, en négligeant des termes très petits de l'ordre de r,-, les relations (33) et (32) donnent

~^uhsu

2 v/,,ji L

» D'autre part, les formules (3^) de mon Étude de l'année dernière (' ) donnent de leur coté, pour exprimer la distribution des vitesses u aux diverses profondeurs relatives 'Ç, dans notre cours d'eau très large,

Ç-i Ki-3?).

En élevant le troisième membre soit au carré, soit au cube, puis multipliant par r/'C, intégrant de £ = o à £ = i, et retranchant enfin l'unité, nous aurons

4 / Um

Substituons dans le dernier membre de (35) cette valeur de % — i, puis celle der,, et il viendra, comme expression générale de la célérité oj des petites ondes de translation, le long d'un courant large à régime uniforme,

= u±Noiï

rjU

*sjg\l

7 V \fgH