AV'B
rfr.
a cl h dt
vÂv/U
rfS
h y dF
a dFj h r' 7/T
relation où a, h n'entrent que par leurs rapports, indépendants de x; de sorte que a? n'y figure pas plus que dans la condition spéciale au contour, devenue r = o. La nouvelle fonction T dépend donc uniquement de r„ £, du paramètre k\B0 et de la forme de la section. C'est ce que nous spécifierons, en écrivant T (y,, '(,£v150) au lieu de T.
» Enfin l'équation (65), multipliée par dx et intégrée, donnera pour <I> la même formule que pour $', avec simple remplacement de a", h" par a , h': car, dans la différentiation de celle-ci par rapport à x, la mise en compte de la variation des dénominateurs a, h n'introduirait que des termes non linéaires et négligeables. Il n'y aura pas, d'ailleurs, à ajouter une fonction arbitraire der,, 'C, puisque $ doit tendre vers zéro aux endroits
où y tendraient les dérivées a' , h'. Et si nous observons que f- -r- = - -ï- >
^ a h z dx
nous aurons la valeur définitive cherchée
ky/ÏÏt
1 di
1 H-^s/BoDIcF, " dx
rM,ksfïï0
§ XVI. — Mouvement transversal, dans l'écoulement à travers des sections ou rectangulaires d'une grande largeur constante, ou circulaires.
» 55. Laissant de coté la section rectangulaire à largeur la variable, calculons e, w, dans l'hypothèse générale d'un mouvement non permanent, pour les trois seuls cas où nous connaissions o, savoir, ceux de la section soit rectangulaire large(mais avec ia constant), soit circulaire ou demi-circulaire, et celui d'une section de forme quelconque, mais alors avec parois assez polies pour que la différence z> — 1 soit de l'ordre des quantités dont nous négligeons les carrés et produits.
» Dans les deux premiers cas, (î>, a, y. étant nuls, il suffit d'obtenir y par
l'équation indéfinie (52), A2y = F, — ;TtF,, où F, dépend seulement soit de '(, soit du quotient x = .7 \rl- -t- '(2 de la distance r à l'axe par le rayon R, et où, par suite, y ne dépendra aussi que de ( ou de x. On aura donc
soit ^=Ff-3lLF|f soit __^J=Fl-,mF,.
» Une intégration presque immédiate en déduit, vu la condition (4$) annulant la dérivée première de y à la limite '( = 1 ou t = 1,
(68) g=f (F,-D1LF,)^ ou £ = ;■ f (F(-;)iiF,)^A;
et les produits de cette expression soit par zéro et 1 , soit par 7A et -^, seront
les dérivées dey en r, et '(, à porter dans les formules (\6) de v, <r, ou dans celle, (56), de u\ où 9 est donné par (5i). Tl vient, par exemple, vu la valeur (01) de •/.,
TT — dx
"'^-dTV + Vdx-V2
i + k\/B0DTl-Fj ? dt
F',( r (F, -OltF,)^, ou -- r(Fi—;-)KYi)tdx
» Il ne reste plus qu'à y effectuer les intégrations, après avoir mis pour F,, DlLF,, F'( leurs valeurs effectives, ^(1 — <?), £, — '(, dans le cas du rectangle large, et |(i — ï3), |, — ix'1 dans le cas du cercle (avec une approximation suffisante).
§ XVII. — Mouvement transversal, dans l'écoulement entre parois polies et à travers des sections d'une même forme quelconque.
» 56. Lorsque o — 1, ou le coefficient £\B0, sont de l'ordre des quantités dont on néglige les carrés et produits, le rapport des vitesses individuelles u à leur moyenne U reste évidemment voisin de 1 dans le régime graduellement varié, même aux endroits et aux instants où un tel régime se détruit ou s'établit rapidement, c'est-à-dire quand Les dérivées successives de U ou de n en x et /, encore petites, ou commençant à l'être, n'ont pas des grandeurs décroissantes à mesure que leur ordre s'élève. En effet, les frottements, même alors, sont la principale cause de Yinëgalitê de vitesse entre les filets fluides et n'agissent pas plus (ou, du moins, pas
incomparablement plusj pour l'accroître, quand le régime varie que lorsqu'il est uniforme.
» La différentiation complète de u, v, w en /, pour obtenir u', v' , w', s'y effectuera en faisant varier / de cil et x de adt, ou même de U dt, mais en laissant constantes y, z; car les dérivées en v, z non seulement de v, w, mais aussi de u, v seront de petits facteurs, comme v, w. On aura, très sensiblement,
/ \ / du r,du dV T, r/U / , /N dlv, w) d(v,w)
et la condition d'intégrabilité (i) deviendra
, x / <r/ TT <-/ \ /rfi' c?«A dc ( dv dw ,
(70 b>+u^; b:-Â7 =°» ou HAdk-dï =°'
\ tft «t/j? ) \dz dy J dt \ dz dy
équation où le svmbole dc désigne une différentiation complète par rapport au temps, effectuée en suivant une même particule fluide dans son mouvement moyen local.
» Donc, d'une part, l'accélération longitudinale u' se calcule sans avoir
besoin de connaître v,w. D'autre part, la différence -r — -j- reste nulle toujours, dans chaque particule fluide, comme aux moments où le régime est, autour d'elle, uniforme ou très graduellement varié; et v, w sont, à l'intérieur de chaque section normale cr, les dérivées respectives en y, z d'une même fonction.
» D'ailleurs, ct étant, comme o — i, constamment voisin de zéro, même quand U et a changent entre de larges limites, le second membre de (53) continue à être négligeable, alors que v, w ne le sont plus, et les relations (54), (55) subsistent. Enfin, l'on peut, dans les expressions générales (46) de v, w, où tous les termes avaient déjà un petit facteur, réduire 9 à l'unité et supprimer les deux termes où figure /., devenu un second pelit facteur (de Tordre de k\'b0) d'après (02).
» Alors l'égalité des deux dérivées de v en z et de w en y donne immédiatement, comme équation indéfinie en 0, que complétera la condition (55) au contour,
a dr* h dV-
et celles-ci, exactement pareilles (vu 9 = 1) aux équations (62) et (6r) B. 6
en $', déterminent, comme elles, leur solution, qui est $ = o. Les formules (46) donnent donc simplement
I dz0 dz0\ / dh TTrf/(
dt dx ) \dt dx
valeurs linéaires en rt, *( ou en y, z.
» Ces expressions ( 72) de v, w, établies sans supposer les dérivées de U et o de plus en plus petites à mesure que leur ordre s'élève, nous permettront d'aborder l'étude sinon des écoulements rapidement variés, du moins de ceux qui commencent à le devenir ou qui cessent de l'être.
§ XVIII. — Distribution des vitesses à travers des sections semblables, dans les régimes graduellement variés.
» 37. Connaissant par la formule (56) l'accélération longitudinale u aux divers points ( y, z), ou mieux (r„ Ç), d'une section ?, il devient possible d'intégrer le système (io) d'équations déterminant la fonction F2, dans l'expression générale (8) du mode de distribution des vitesses. Nous savons que cette fonction F2 s'annule avec le second membre u' — D)1iï de la première (10). Celle-ci étant d'ailleurs linéaire, il est clair que F2 se composera d'autant de termes qu'en comprend u' , et respectivement proportionnels aux facteurs indépendants de tj, '( dans les termes de u! . Vu les équations (5i), (52), (48), (67), et enfin (66) combinée avec la condition T = o (sur le contour), qui régissent 9, x., y, <ï>, nous aurons donc, dans toutes les sections semblables, y compris même les sections rectangulaires d'une très grande largeur constante, un résultat de la forme
AyB0
' dU g(n,K,k\/B0) , dV
k v/B„ WL F, | " dx l+ k \lB 0 DK F , dl
;JB0DTlFJ l* dt -^ dx
i-hArv/B031LF,
» Les quatre fonctions der,, 'C appelées §, ,7,, #2> $»* dont la première et la dernière seules dépendent en outre dek\fB~ot sont déterminées par les
quatre équations indéfinies respectives
4(F|) + |(Fg = 2(F,-3r,F,K*vB„(F;-or,F;),
«fy V ~dn) ^ d\ \ "rfç/ — ~^T <^î + ~^T ^ ~~ J1L \"rfn" ~cfrt + ~dTdl, drt\ drj ; cK\ dX>)~ dK lh\ drt dl \dK dn dr, dX,)'
et, en outre, par les conditions définies communes
/ ^N ) r 7 = o (au contour),
il3) j dv
( (^,«^1,^0» #3) = o(au milieu du fond).
» Toutefois, la partie en §z de la formule (73), celle qu'introduit la fonction $ (ou la fonction T) et qui serait nulle dans les cas des deux sections circulaire (ou demi-circulaire) et rectangulaire d'une grande largeur constante, n'est donnée que pour le mouvement permanent, auquel nous nous sommes bornés dans le calcul de<ï>; et c'est pourquoi nous avons pu, le
débit Ut étant alors constant, v remplacer le facteur 7^ par U-v-jde
1 a dx r dx
manière à faire rentrer ce terme dans le type de celui d'entre les termes précédents que n'annule pas l'hypothèse de la permanence, et qui est le terme en §.
» 58. La formule (11), caractéristique du mode de distribution des vitesses, deviendra donc, si l'on y substitue à u0, dans les petits termes, le quotient de U par 1 4- i£y Bo£)ïlF,, et sauf toujours la même restriction quant au terme en $3,
5 = 1 + * fà 01LFf -h kj°- £ [U g *(,, U y^) "H (1 + h v/B^OlLFj § l (,, O]
dV
,(d, 0-+-U-t-#3(yj, Lksf^9/
dt v^'" *' ' ~ dx
» Dans les cas particuliers de sections rectangulaires d'une grande largeur constante et de sections circulaires ou demi-circulaires, l'on a §3 = o, les valeurs de J, ,7,, 32 se calculent aisément par les équations (74) et (73), où F, et y ont les valeurs indiquées plus haut (p. 4o), avec F égal
soit à i, soit à l'inverse de ï ; et l'on obtient ainsi, pour le rapport de u à u0, les expressions données aux §§ IX, X, XXVI et XL de mon Essai sur la théorie des eaux courantes (p. 90, 94, 246, 266, et 5 16 à $20) (').
§ XIX. — Équation du mouvement graduellement varié, aux degrés d'approximation supérieurs.
» 59. Le second membre de (76), divisé par sa valeur moyenne aux divers points d'une section 5, donnera le rapport cp -+- n> de // à U. On formera son excédent sur l'expression de o résultant de (5i) ; et cet excédent, réduit à sa partie linéaire par rapport aux trois petites dérivées premières de L en x et de U et g en /, sera la fonction rr dans sa partie de première approximation, ou abstraction faite d'écarts comparables aux dérivées d'ordre supérieur de U et a. On pourra donc évaluer les petits excès respectifs 2<pcr, 3cp2c7 du carré et du cube de cp -h cr sur ceux de cp; et leurs valeurs moyennes dans toute l'étendue a, savoir Dli (2977), OU (3 o2 ci), seront les petites parties variables des coefficients 1 -+- r, et se, réduites à leurs termes principaux ou affectés des dérivées premières de U et a. Ce qui s'y trouve ainsi négligé, étant d'un ordre supérieur au premier, aura ses dérivées en x ou en / d'un ordre supérieur au second et, par suite, négligeable, môme à une deuxième approximation des lois du mouvement graduellement varié.
» Il suit delà qu'il suffira, à une deuxième approximation, de substituer dans (23) et (26), aux dérivées de r, et x qui y figurent, les dérivées analogues des expressions trouvées pour OlL(acpcT) et pour 0Tt(3cp2nj). C'est ainsi que, dans le cas d'un cours d'eau à section rectangulaire d'une grande
(') On trouve, dans le cas de la section rectangulaire large,
*-=- — u-vy-'^d-Lv^ 5^lr«V $ =__!(, ?»)*= I F2
et, dans le cas de la section circulaire, où §, §u J2 ne sont évidemment fonction de 7), £ que par l'intermédiaire de v,
^ = -£(i-,3)2-^^(i4-33t3+24*G-5^), £,=-£(i-t»)« = -Jfj, 4o 9. .\o (\o 0
largeur constante, l'on arrivera le plus simplement possible à l'équation de deuxième approximation du mouvement, qui porte le n° 367 dans mon Essai sur la théorie des eaux courantes (§ XXXVI, p. 437) et dont dépend la déformation plus ou moins rapide des ondes descendantes ou ascendantes (de courbure sensible) le long d'un tel courant (').
» 40. La différentiation en x de la valeur trouvée de nj fera de même connaître, avec erreur comparable aux dérivées troisièmes seulement de U et a, le second membre de l'équation (53), dans sa partie principale, ou du deuxième ordre de petitesse ; et l'on pourra, dès lors, aborder le calcul de}., m., c, wt u', F2, gt, 1 H- y), a pour les termes de cet ordre. Dans les deux cas de la section rectangulaire d'une grande largeur constante et circulaire ou demi-circulaire, e, w continuent évidemment à être les dérivées en y, z d'une même fonction ou de "C ou de x ; et les calculs n'offrent guère d'autre difficulté que leur excessive longueur, comme on peut en juger par la partie citée ci-dessus de mon Essai sur la théorie des eaux courantes (§ XXXVI). Je les y ai effectués, dans le premier de ces cas, pour arriver à l'équation (n° 367) citée ci-dessus, avant d'avoir découvert le procédé qui la déduit de (23).
» Quand on emploie ces calculs pour former 1 -+-•/), x et l'équation du mouvement à une troisième approximation, là où ils sont généralement indispensables, il ne faut pas oublier que les équations (25) et (26) doivent être complétées, comme on l'a vu au début de cette Etude, par un terme provenant de ce que la pression moyenne p ne varie plus alors hvdrostatiquement dans l'étendue d'une même section t. A partir de l'axe hvdraulique où l'on se donne p = p0, p s'accroît, en effet, du terme
(77) — p / iy'dy -t- w dz) = — p I (av'dr, -h hw'dÇ).
J i- - *Jù a
» Au terme — de la première équation indéfinie du mouvement ( où
u' et p entrent par l'expression 1 -j- h il vient donc s'adjoindre,
g pg ax )
quand on élimine de cette équation la dérivée de p en x divisée par pg,
(') Voir aussi les Additions à l'Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 55, au Tome suivant XXIV du Recueil des Savants étrangers.
l'expression
» On a pu la différenlier sous le signe / et même n'y différentier que le facteur déjà petit v' ou w\ car les dérivées en x des limites soit inférieures y0, z0, soit supérieures r,,'Ç, ou celles dea,7i, ne donneraient, multipliées par les petites fonctions v' ou w', que des produits négligeables.
» Par suite, dans nos équations (3), (5), (7), (10), (i3), (i4). (ID)> (17), (18), u', partout où il figure, se trouve accru du produit de (78) par g, et («a)', c'est-à-dire 2 U<p u', se trouve lui-même accru du produit de 2L9 par (78) et par g. Donc, le second membre de l'équation définitive (18) ou (^5) du mouvement devra être complété, en y ajoutant le terme
(79) - £» [(2? - i)jf* («a£* + h%^)\
où il suffira d'évaluer à une première approximation, par les formules (4^) de v, w, les très petites accélérations transversales v' ', w .
§ XX. — Passage d'un régime graduellement varié à un régime rapidement varié,
ou vice versa.
» 41. La longueur des calculs et surtout la complication des résultats seraient des plus rebutantes, si l'on ne se bornait au cas de parois assez polies, ou d'un coefficient B0 de frottement extérieur assez faible, pour réduire au premier ordre de petitesse la différence 9 — 1 et aussi, d'après (76), les inégalités relatives de vitesse des filets fluides à l'état de régime varié, où elles sont exprimées par <p -+- xs — 1. Alors, d'une part, (9 -h cr)2 et (9 -+- u>y sont très sensiblement 1 -h 2(9 4- xs — 1) et 1 -h 3(<p -+- ct — 1). Leurs valeurs moyennes ne se distinguent donc plus de 1 ; ce qui réduit le second membre de (20) à ses trois premiers termes, où, même, les coefficients 2<x — - 1 — y) et 1 -1- 2?) deviennent l'unité. D'autre part, les composantes transversales v, w de la vitesse admettent les expressions simples (72), qui donnent, sous une forme symbolique et abrégée, mais évidente, dans laquelle U se comporte comme un facteur constant et n, Z, comme des
facteurs indépendants de x et t,
d \2 [fdy0 da\ /dz,-, y dh
dx \dt " dx 1 \dx ' dxj \dx ** dx
» Le terme complémentaire (79), à joindre au second membre de (20), devient donc
d dt
fdy0 da rt-\ , / dz0 y dh Ç2
\ dx ' dx 2 / \ dx ^ ' dx 2
» Par exemple, dans les deux cas : i° d'un canal rectangulaire de largeur ia où r, varie de — 1 à 1 et, £, de zéro à 1 ; i° d'un tuyau circulaire où y0 = z0 = o, a = h = i R, et où le rapport t = i \/r,2 -+- C2 de la distance r à l'axe au rayon R varie de zéro à 1, ce terme (81) devient respectivement
dt
d dx
a dvn h dz0 a da h dh \
R dR
2 dx 2 <^j? 6 <:/.r 6 rf^c/
» S'il s'agit, en particulier, d'un canal rectangulaire de largeur constante, y0 et a sont constants, la dérivée de z0 en x est l'excédent de la petite pente actuelle I de surface sur la pente constante de l'axe des x; et le terme (82) devient aisément
d TT d V /r ' dh
dt dx J \ 3 dx
» 42. Par l'adjonction du terme (81), (82) ou (83) au second membre de l'équation (25) et la réduction de 1 -+-■/), a à l'unité dans ce second membre, on rendra l'équation (25) applicable à nn régime qui devient ou qui cesse d'être rapidement varié, ou, encore, qui se maintient, sur des longueurs notables, voisin d'un régime graduellement varié; c'est-à-dire, en un mot, à tout régime où les dérivées de g et U en x ou t sont petites, mais sans décroître de plus en plus à mesure que leur ordre s'élève. La première formule (70) et les formules (72) employées dans la démonstration ne sont basées, en effet, de même que les transformations opérées ci-dessus, que sur l'hypothèse de la quasi-égalité relative de vitesse des filets fluides et sur la petitesse commune des dérivées de U et a.
» Dans le cas particulier d'un canal rectangulaire de largeur constante pour lequel a été obtenue l'expression (83), il suffit d'observer que la pente I de surface égale la pente (constante ou variable) i de fond, moins la dérivée de h en x, pour rendre cette expression (83) identique au der-
( 48 ) nier terme d'une équation (482) donnée pour le môme cas dans mon Essai sur la théorie des eaux courantes (p. 524). On peut voir aux §§ XX à XXV de cet Essai comment l'adjonction du terme dont il s'agit à l'équation du mouvement permet d'étudier l'état permanent d'un cours d'eau, soit aux points où un régime graduellement varié se détruit ou s'établit, comme, par exemple, au pied et au sommet des ressauts brusques ou ondulés, soit aux endroits où le fond présente des ondulations longitudinales régnant sur toute la largeur, qui se répercutent plus ou moins à la superficie, etc. » Dans tous ces cas, l'équation du mouvement permanent est
h* u2 <jn f u2 d / u»\ n- <£ /u»
2 srh dx- h dx \ 2 s / 6 dx3 \ 2 a
On le voit en prenant le terme complémentaire sous sa forme (83), mais
dh
en v substituant à la petite dérivée -r- (vu la constance du débit UA de
l'unité de largeur du lit) l'expression — — -— = — ,2 -( — j. Et elle
devient
• , {': 1 2 d'[ / l " dh si (^1 \ __ — — (—
2 trh dx- h dx f/.r \ 2 ;r / 3 dxli \ 2 is
quand on en élimine, comme il vient d'être dit, la pente I de surface. La première forme convient surtout pour les courants sans courbure sensible de superficie, où l'on peut supposer nulle la dérivée seconde de I en x : c'est le cas habituel des grands cours d'eau. La seconde forme donne l'équation différentielle en x des variations de la profondeur h, dès qu'on met pour U le quotient, par h, du débit q de l'unité de largeur.
» Ces formules s'appliquent môme sans que le fond ait besoin d'être très poli ; car on n'a négligé dans leur établissement que les carrés et produits des inégalités de vitesse ou d'autres petits facteurs (').
(') Équation plus approchée d'un régime pseudo-uniforme. — La possibilité d'employer ainsi l'équation de mouvement obtenue, même sans avoir à supposer extrêmement petit le coefficient B de frottement extérieur, se démontre simplement dans un cas particulier digne de remarque. C'est celui du régime que j'ai appelé pseudouniforme, parce que la vitesse moyenne U et la profondeur h y sont constantes, les filets fluides, quoique courbes, s'y trouvant parallèles entre eux à la traversé*' de toutes les sections. Il se produit quand, sur une grande longueur, le fond, coupé de sillons transversaux régnant d'un bord à l'autre, affecte une forme sinusoïdale, d'une
§ XXI. — Du régime permanent graduellement varié qui se produit à l'entrée ou plutôt dans la première partie amont des tuyaux.
» 45. Considérons enfin le régime permanent varié, très spécial, qui a été l'occasion de l'étude actuelle, savoir, celui qui se produit dans la partie amont d'un long tuyau rectiligne, après l'épanouissement des filets fluides consécutif à la rapide contraction de l'entrée, et qui sert de transition au régime uniforme existant ensuite sur toute la longueur. Dans cette ques-
longueur complète d'ondulation égale à 2-/1— —=. (Essai sur la théorie des eaux
\J2gh courantes, p. 233).
Dans ce régime pseudo-uniforme, par le fait même qu'il est supposé voisin d'un régime graduellement varié, la distribution des vitesses à travers les sections ne diffère pas beaucoup de celle qu'exprime la formule (76), d'ailleurs réduite à celle d'un
régime uniforme par les hypothèses —jj- - =0. Le rapport yy y est donc sensible-
ment cp, et 1 -+-tj, a, ne différant nulle part beaucoup des valeurs moyennes constantes de o2, cp3, ont leurs dérivées négligeables dans l'équation (25), dont le second membre
est ainsi réduit à 6U2-> c'est-à-dire à 6— • Il ne reste donc qu'à évaluer son terme
complémentaire (79).
A cet effet, rappelons que les filets fluides sont supposés, dans tout plan vertical
w longitudinal, parallèles, de la surface au fond : le rapport— reçoit donc partout sa
valeur relative au fond, savoir i — c, où i, c sont les deux angles que le profil longitudinal du lit et l'axe des x positifs font respectivement avec le plan de l'horizon, audessous de celui-ci. On a ainsi
. TT dw di
t dw .. .
et, par suite, vu la suppression permise du terme w-r- non linéaire en w,
dw d£ 2 dw^ __ d2i
dx dx ' ' dx dx2 '
Le terme complémentaire (79) devient donc (v' étant nul)
AU2 dU S dx
L'hypothèse simplificatrice de l'égalité de vitesse de tous les filets fluides, faite dans B. 7
tion, le changement des vitesses u avec l'abscisse x des sections <j n'est plus amené par des variations de a ou de la vitesse moyenne U, puisque c et U sont constants; et tous les termes qui prédominaient jusqu'ici dans nos équations, parmi ceux qu'introduit la non- uniformité du régime, s'effacent, pour laisser le premier rôle à d'autres beaucoup plus complexes. Nos démonstrations et nos formules subsistent, il est vrai, sans modification, jusqu'à (^5) et (26) inclusivement; mais les seconds membres de celles-ci perdent leurs termes affectés des dérivées de U et de g, c'est-à-dire justement ceux que la simple connaissance des lois du régime uniforme permettait d'évaluer; et, par exemple, l'équation (25), formule générale
le calcul du terme complémentaire (83), a donc eu simplement pour effet de donner à ce terme le coefficient numérique l, au lieu du coefficient plus compliqué
qu'il aurait eu sans cela et qui se réduit bien à 4 quand on prend <p ■= 1 . Or on a, d'après (36),
? = H--V^(l-Ç«), /\2^=r+iV^(ç r3)4^(5r IO,3+9r:i))
2 JQ 6 Ibo
et, par suite, tous calculs faits,
j(<.»-0(j[T*J«=3(.H-^--sdT>
.Mais on voit, par les formules (36) et (3~), que ce qui, en doublant d'ailleurs, pour plus de simplicité, le résultat obtenu, donne enfin Le coefficient i attribué au terme complémentaire devrait donc être accru de la
fraction -7^(1 — ^y5in)de sa valeur. Or, cette fraction se trouve comprise entre
|t( et f{*j; car, vu la valeur de \Jb donnée par la première formule (3y) (p. 33) de mon Etude de l'année dernière sur le régime uniforme, on aura toujours k\/b<i 3 et, par suite, y5ï) < 1, 1 — -j^y/Sr, > -fa. La fraction dont il s'agit, toujours positive, sera donc moindre que f t\ en valeur relative, c'est-à-dire seulement de l'ordre de 0,01 et insignifiante, sauf peut-être dans quelques cours d'eau à lit extrêmement rugueux.
( 5. ) du mouvement, devient (vu d'ailleurs la permanence admise)
\ ■ / rr tr
g dx
m 44. Toutefois, celle-ci n'est pas entièrement suffisante aux faibles distances de l'entrée du tuyau ; car, à partir de la formule (i5), nous avons supposé petites non seulement, comme la définition même de la graduelle variation du régime nous avait déjà autorisé à le faire, l'accélération longitudinale u' , les vitesses transversales ç, w et surtout les accélérations correspondantes /, w', mais aussi la différence entre le mode effectif de distribution des vitesses que définit, par exemple, le rapport o -h cj de u à U, dans la section considérée, et le mode de distribution propre au régime uniforme, exprimé de même par <p. Or la petitesse de u' entraîne bien, d'après le système (10), celle de F2, mais non, dans la formule (1 1), celle du terme en 1%, à cause du petit dénominateur y/B0 et du numérateur assez grand k figurant dans le coefficient de ce terme. Il est donc possible, en général, que, malgré la graduelle variation de l'écoulement, le rapport de // à uQ donné par (r 1) et, par suite, celui, <p -h u, de u à U, s'écartent très notablement de ce qu'ils sont dans le régime uniforme, savoir, de <p pour le
dernier rapport et de — pour le premier, <p0 désignant la valeur de o au mi-
lieu du fond, là où u = u0. Ainsi, ne regardons plus comme petite la fonction cj, ni, par suite, sa valeur ct0 au milieu du fond, valeur qui est
(vu l'égalité \^ou\0XLf= bJJ2 dans le régime uniforme); et nous aurons, en multipliant (85) par Uy \50D\l/,
(8G) sjB0ulDTtf - sfbU2 = v'B0orc/Ucj0.
» La différence des deux premiers termes de (16) sera donc comparable à chacun d'eux, et l'on ne pourra plus, dans (i5), négliger devant f unité le carré du second terme entre crochets; mais on pourra substituer partout à F,, dans ce terme, d'après la signification même, que définit (8), de F,, le rapport de cp — o0 à o0k y!30 , ou mieux de \ DTLf(y — <p0) à k \fb .
» La formule (i5), multipliée par u0 y b , sera identiquement
/o \ Il tto rn — ' 7 1 <* 0Tl(ou' — u')
( 52) » Celle-ci, comparée à (86), montre que le dernier terme de (87) égale, au signe prés, s/B0DTLfUv50.
» Alors, la relation (87), élevée au carré, donnera, pour tenir lieu de (16),
(88) B.«:ai/= 6U» -h 2 '- M(*u'-»') (bodil/)IP<
» Au second membre, 9 peut d'ailleurs, identiquement, être remplacé par le rapport de u — Uw à U et non plus simplement, comme on avait fait dans (16), par celui de u à U; ce qui ajoute à 3îl(2Mm'), qui était la valeur approchée de 2U3ÎL(<pw'), la correction 2U3ïl(— au'). A la fin de la formule (17), il faudra donc ajouter l'expression
(89) - - 011 (- uiï) - (B0DÏL/)U2<
» Par suite, cette expression se retrouvera en plus, divisée par le rayon moyen, dans les formules (18), (13) de la pente motrice I.
; XXII. — Hauteur motrice qu'y dépense l'établissement du régime uniforme.
» 45. L'équation (84) du mouvement, ainsi complétée, devient
dx
(90) 1 = bv » + !£ d{* .' ^ + 1 ai(- *«*) - (n,,*/) $ uv;.
» La hauteur motrice totale / I dx dépensée entre deux sections, abaissement, entre elles, tant de l'axe hydraulique que de la pression sur cet axe (mesurée en hauteur du fluide), comprend donc quatre parties : i° celle qui provient du terme en b ou qu'absorbe le frottement ordinaire de régime uniforme; 20 une autre, positive comme la précédente et également notable,
— / d(ot — 1 — r,) ou sensiblement 2 — j a\ (vu a =■ 1 -f- 3r, à peu près),
employée à accroître les inégalités de vitesse des fdets fluides et simplement proportionnelle à l'augmentation du coefficient a. — 1 — r, entre les deux sections considérées; 3° et 4°> enfin, deux petites parties,
(91) - / 3îl(— T3u')dx, —(B0D\L/)^U2JTsldx,
du second ordre de petitesse comme les produits — zzu', cj^, sauf sur une faible longueur près de l'entrée, où la fonction zs est comparable à 9 — 1,
( 53 ) l'inégalité des vitesses n'y étant encore qu'ébauchée. La dernière (91) est évidemment négative, comme — gt*. Quanta la précédente, elle est positive. En effet, d'une part, les filets périphériques, d'abord trop rapides, ou pour lesquels o est positif, se ralentissent et ont leur accélération iï négative, tandis que, d'autre part, les filets voisins de l'axe et pour lesquels cr est négatif, s'accélèrent : le produit — vsu! est donc positif dans presque toute la section et a sa valeur moyenne positive.
» Si, pour prendre le cas le plus simple, on suppose l'entrée du tuyau assez bien évasée pour que les filets fluides soient sensiblement parallèles dès l'origine de sa partie prismatique ou cylindrique, la formule deD. Bernoulli leur atltribuera à cet endroit, comme on sait, la vitesse commune, U, due à la hauteur motrice dès lors dépensée à partir des points du réservoir d'admission où le fluide est en repos. On y aura donc a — 1 — yi = o. Et, par suite, la hauteur motrice totale dépensée , depuis le réservoir jusqu'aux points où régnera le régime uniforme, pour établir ce régime, ou en sus de ce qu'y absorbera le frottement ordinaire de régime uniforme, sera
(92) ~ ^-K»-1 — *>)-*-uï/ 3it(— vsu')dx- gV>0(d}if)~j f vs\dx
» Les coefficients 1 + 7), a y désignent les valeurs moyennes de <p2 et o3; autrement dit, ils se rapportent à la limite supérieure des intégrations, ou aux sections g dans lesquelles le régime uniforme existe. L'abscisse x de celles-ci, comptée à partir de l'origine du tuyau prismatique ou cylindrique, peut d'ailleurs être supposée infinie, les fonctions sous les signes J de (92) y tendant asymptotiquement et assez rapidement vers zéro.
§ XXIII. — Équations qui y régissent le mode de distribution des vitesses.
» 46. Abstraction faite des éléments les plus voisins de la limites? = o, d'une somme probablement insignifiante, les deux intégrales que contient l'expression (92) s'évalueront, avec une assez faible erreur relative, en supposant la fonction gj de l'ordre des petites quantités dont nous négligeons habituellement les produits. C'est donc dans cette hypothèse simplificatrice qu'il nous reste à déterminer a, ou, ce qui revient au môme, F2.
» Nous aurons pour cela le système (10) d'équations, dans lequel u' sera donné par la formule (4°)» évidemment réduite à /on / tt/ do do\ TT„ dm r,a/ v do w do dm\
(93) u=v{vjy +«'aï) + u,?E = D (ïoaï + ïU3? + «,s/
» D'ailleurs, d'après (46), où y0, z0, a, h seront constants et la valeur
(02) de /, nulle, les vitesses transversales^, sauront simplement "X et [j. pour
quotients par aU et h\j, avec X, u. régis par l'équation indéfinie (53) et la
condition au contour (49)» sans compter la condition d'intégrabilité (1).
» 47. Bornons-nous aux deux cas de la section rectangulaire très large, de hauteur ih, et de la section circulaire de rayon R, où nous savons que, par raison de symétrie, v, w ou X, y., fonctions impaires de y, z, sont les deux dérivées en y, z ou en r,, £> d'une môme fonctionnaire, soit de '(, soit de r\ et £ par l'intermédiaire du rapport, x, au rayon R = ia = ih, de la distance r = \y2-\-z- à l'axe : ce qui rend identique la vérification de la condition (1) d'intégrabilité.
» Nous introduirons comme inconnue auxiliaire une fonction co de '( ou x, et de x, dont la dérivée en x soit justement cetle fonction qui a X et y. pour dérivées respectives en n et '(. Autrement dit, nous poserons
dx dr. { ' dx dl
co comprendra ainsi une fonction arbitraire de r, et £. Nous en disposerons de manière que, sur une première section c, celle qui aura, par exemple, l'abscisse x = o, et où la valeur de a, évidemment paire en r,, '(, sera directement donnée, l'on ait
/ t \ a d-w d2u dw , , N
( od) Aoco-hcr = o ou — ;-- 4- -^ = — nr, avec -, = o ( sur le contour). v *' 7 " dr, - tf;2 r/v v J
» Alors, vu les expressions (94) de X et ;;., l'équation indéfinie (53) et la condition (/jo,) deviendront respectivement -7- (A2 a>-t-Gj)=o, — ( -^) =0.
Cl Ju Cl tic \Clyt t
Donc, les équations (93) seront vérifiées pour toutes les valeurs dex, c'està-dire sur toutes les sections a. On voit que, si l'on connaissait sur l'une d'elles quelconque la fonction paire ci de r, et de C, ces équations (95) v détermineraient, à une constante arbitraire prèsf(x), la fonction co, également paire en r,, 'C. La partie/"^) de co, évidemment étrangère aux relations (94)» (95) de co avec nos vraies inconnues X, >x, u, reste indéterminée.
» Enfin, l'expression (g3) de u', en en éliminant, par (o,5) et (94), o et les rapports X, ;x de v, w à a\J,h\J, puis observant que o ne dépend pas
de x, et substituant enfin à 9 sa valeur tirée de (5 i), deviendra
, TTO d (do du> do du .
dx \drt drt dZ, dZ, '
AVBJJ' rf 1 H- Ary/BoOl^F, ^
/.__!__ 1 p \ A ^F, <^w <^F, dia~\
A*^ / " ~^~ dr< ' ~~dT~dZ. I
» 48. Telle est la valeur de u' qu'il faudra porter dans l'équation indéfinie en F2, qui est la première (10) ou mieux la différentielle totale en y), £ de la première (10). En effet, avec l'adjonction de la condition au contour correspondante, la première équation (10) équivaut exactement à sa différentielle totale en yj, Ç, que nous pourrons écrire, avec un terme de moins,
(97) 4l(Ff)+l(Ft)-"'H'
l'indicée indiquant que la différentiation dont il s'agit se fait sans sortir d'une même section g. Car l'équation (97) revient évidemment à la première (10), avec addition, au second membre, d'une constante arbitraire C. Or, si l'on prend la moyenne des valeurs, dans l'aire n, de tous les termes de la première (10) ainsi complétée, on trouve zéro pour valeur moyenne du premier membre; car celui-ci, multiplié par dr, d^, et intégré, se change évidemment en une intégrale de contour où figure sous le signe f le produit de F par la dérivée en v de F2, nul d'après la seconde relation (10). Et il vient bien ainsi, forcément, C = o.
» 49. Cela posé, tirons de (1 1), pour la substituer dans (97), la valeur de F2 en fonction de Ft et de gj ou w. A cet effet, observons, d'une part, que dans l'expression de F2 fournie immédiatement par (1 1), le facteur li1 peut être remplacé à très peu près par U2<pj); d'autre part, que le quotient de a parw0 est identiquement celui de 9 -hw par <p0 -+-gj0 et excède sa valeur
de régime uniforme i-h k\/B0¥t, ou — . de
Il viendra
~(oa^ — o„<p) = ~ - ^(i + tyfW,¥,).
Fs = ^U2 U' [* - n„ ( . + *VB"„ F, )]
" K yw'ir?r'p^ [*,<■> + «.d + *V'B;F,)].
Les termes en F, de celle-ci s'élimineront de la relation (97), à raison de ce que la première équation (9) y réduira leur somme à la différentielle da d'une constante, et, en même temps, la substitution à iï , dans (97), de la dernière expression (96), donnera l'équation indéfinie en u>,
/ 1 „ \ é/a,w d fd¥x du> dFi d<
\k \fïT0 1 / dx dx \ drt dr{ <r/Ç d
» La quantité entre accolades ne dépendant, comme on verra, que de x et de £ ou t, la différentielle da équivaudra à une simple dérivation en '( ou x, et l'équation (99) sera une équation aux dérivées partielles, du cinquième ordre en '( ou en t.
)> Il faudra y joindre la condition (10) au contour, exprimant que s'y annule le produit de F par la dérivée en v de F2, c'est-à-dire de la dernière expression (98). Si l'on tient compte de la seconde relation (9) et de ce que G70 sera justement la valeur de cr ou de — A2to au contour, il viendra, en rappelant d'ailleurs une autre condition au contour déjà établie plus haut pour co (formules 93),
(100) (au contour des sections) — = j h A2co = o,
d\=, co , du.
» D'ailleurs, la dernière relation (10) est satisfaite identiquement par la valeur (98) de F2. Et la condition fvsdn = o, provenant de ce que s'annule dans chaque section la valeur moyenne de gt, différence de celles de o -+- ct et de o, égales toutes les deux à l'unité, n'est pas moins vérifiée ; car l'égalité — tô = Aoto, multipliée par dr.dX., puis intégrée dans toute l'aire a, conduit à une intégrale de contour où la fonction sous le signe f est la dérivée de co en v, nulle en vertu de la seconde relation définie (100).
» Si l'on veut ne considérer, dans chaque section, que la variable indépendante Ç2 ou t, croissante de o à 1, il y aura lieu d'observer qu'au centre Çf = o ou t = o), les deux fonctions paires (en r, et £) co et — gt = A2co, maxima ou minima en ce point, ont leur différentielle da nulle par raison de symétrie et de continuité. On aura donc encore
(101) (au centre des sections) dGi» = o, daA.2u = o.
§ XXIV. — Décomposition de ce mode, dans sa partie amortissable ou de non-uniformité, en modes simples, plus ou moins lents à s'évanouir aux distances croissantes de l'entrée.
» 50. On vérifiera les équations (99), (100), (101), en prenant pour cd une somme de solutions simples, dont chacune sera le produit d'une constante arbitraire c par une exponentielle décroissante en x, où figurera un coefficient positif d'extinction m constant, et par une fonction 12 tic '( ou de x seuls. Bref, on posera
(102) on = 2dCe
» Chaque terme de la somme 1 devant séparément satisfaire à (99). (100) et (toi), il vient en £2 l'équation différentielle linéaire, du cinquième ordre et sans second membre,
(io3) <IG
d f dl2il dr\ \ dr.
dz[l^r
A,<> dF, d"
— t^ i 1 -il*" / 1
saVb0 «*1 «1
r/F, dil ~dl dC
Et l'on devra, d'une part, adopter sa solution particulière, déterminée (dans sa partie variable) à un facteur constant près, qui vérifiera, d'après (101) et (100), les trois conditions spéciales
dQ
(io/f) (au centre) da£l = o et r/cA,12 = o, (au contour) -7- = o;
d'autre part, choisir pour m les racines, tenues d'être toutes positives, de l'équation transcendante fournie par la première condition (100),
d\,il
(sur le contour) — = ~
J /.\15«/ ch
» Comme c'est la partie u = — A2w, variable avec x, du mode de distribution des vitesses que l'on désire connaître, la formule (102) donnera
ce
» SI. Il restera à calculer les coefficients c de manière que, sur une première section a, celle qui a, par exemple, l'abscisse x = o, gj reçoive certaines valeurs initiales zsh fonction de *(2 ou de?, données dans toute l'aire <s. La formule (10G) devra donc y devenir ci, = — 2cA2£2. Mais, ne pouvant B. 8
effectivement prendre, dans la somme 1 ordonnée suivant les racines m croissantes, qu'un nombre fini n de termes, on devra tolérer des erreurs rr, -t- ïc±.2<2; et l'on rendra seulement minima la moyenne de leurs carrés dans toute l'aire c ou, ce qui revient au même, l'intégrale
( 1 06 bis) f(vti + Zc\.2 P.)2 ch.
» J'ai montré sur un exemple, dans une Note relative au même problème de l'établissement du régime uniforme, mais à l'entrée des tubes fins, comment cette condition détermine les coefficients ( ' ).
» 52. On voit que, l'abscisse agrandissant, la formule (10G) fait évanouir successivement tous les termes de la somme 1, à commencer par les plus éloignés. Aux distances de l'entrée excédant un nombre médiocre de fois le rayon moyen, il ne subsistera donc que le premier ternie, affecté de la plus petite racine positive m de l'équation (ro.5); et u, d'ailleurs indépendant, d'après (106), de la vitesse moyenne U et des dimensions absolues de la masse fluide, variera désormais, sur chaque section, proportionnellement à l'expression correspondante de A2!£.
(') Comptes rendus des G et 1 3 juillet 1 8g 1 , t. < XIII, p. 9 et 4(J- La condition dont il s'agit, qui revient à rendre minima la somme des carrés des erreurs commises sur la valeur de rn,- dans les divers éléments (équivalents) de Taire 7, entraîne évidemment l'annulation de la dérivée partielle première de l'intégrale (10G bis) par rapport à chacun des coefficients c à déterminer. Si donc \.,Llj désigne successivement chacune des n expressions obtenues pour A2£2, c'est-à-dire celles qui correspondent aux n premières racines m de l'équation transcendante (io5), il vient, pour calculer les n coefficients c, le système complet du premier degré
(106 ter) scf\,ii^,iijch—f{—vyi)iio.jd^.
Contrairement à ce qui arrive dans les problèmes les plus usuels de la Physique mathématique, les inconnues c ne seront pas séparées clans ce système, car le produit de deux expressions différentes de A2<> n'aura pas sa valeur moyenne nulle. Autrement dit, les équations (106 ter) ne se réduiront pas à
Cjf(L%ùj)*d<i=f{-wi)ltQjd*,
et les valeurs des constantes c varieront, dans une certaine mesure, avec le nombre de celles que l'on voudra utiliser pour le calcul effectif de rs.
§ XXV. — Cas d'un tuyau à section rectangulaire large : intégration en série.
» o5. Abordons d'abord le plus simple des deux cas en vue desquels a été établie spécialement la théorie précédente et où l'on af= i, B0 = B, savoir, celui d'un tuyau à section rectangulaire très large, de hauteur ih. Alors F = i, F, = ^(i — YJ) et 1>, fonction paire comme F,, ne dépend également que de Ç : il suffira de la considérer depuis l'axe jusqu'au fond, c'est-à-dire de ^ = oà(=i.
» L'équation indéfinie (io3) ne contient il que par sa dérivée première £', car A2Î2 est maintenant la dérivée, £2", de celle-ci. Il y a donc lieu d'adopter pour inconnue la fonction impaire Q', que nous appellerons dès lors W, et dont A, £2 sera la dérivée W. D'ailleurs, le signe drj équivalant à une différentiation en 'C, l'équation différentielle (io3) sera du quatrième ordre en 1I*. Dans son terme en W", évaluons et mettons à part la valeur moyenne du coefficient, valeur qui égalera l'inverse de k\jb, d'après la première formule (37) de mon Étude de l'année dernière ('). Cette équation en T, divisée par m, sera dès lors
(107) -TIV +
et les conditions définies (ro/J), (io5), où l'on aura a\ = <7'C à la limite Ç = 1 , deviendront
(108) *F(u) = o, W(ï) = o, T"(o) = o, W"(i) + ks!Ïm"(\) = o.
» Les trois premières (108), jointes à ([07), suffisent évidemment pour définir la fonction W, à un facteur constant près, que l'on peut choisir à volonté puisque le résultat cherché (106) contient déjà les coefficients arbitraires c. Nous disposerons, en général, de ce facteur constant, de manière à avoir ^"'(o) = 1 ; ce qui achèvera de déterminer xl\
» 5i. Si nous adoptons pour cette fonction impaire une série procédant suivant les puissances entières et positives de £, nous aurons donc une for-
(') Comptes rendus, t. CXXI1I, p. 12 (6 juillet 1896), ou p. 33 du Mémoire précédent.
mule comme
(109) W(K) = K + A? - C'C5 -h T>V -Et,9 ■+■...,
et les première et troisième des conditions (108) seront satisfaites. Quant à l'équation (107), que le développement (109) devra identiquement vérifier, on reconnaît qu'elle laisse disponible le coefficient A, mais qu'elle détermine chacun des suivants C, D, E, ..., en fonction linéaire très simple des âeux qui le précèdent, 1, A, ..., multipliés par m. Puis A se détermine parla seconde relation (108); et la dernière (108) donne enfin l'équation en m (' ).
(') Sur rétablissement du régime uniforme le long d'un tube fin à section rectangulaire relativement large. — La loi de récurrence qui, à partir de C, relie chaque coefficient de la série (10g) aux deux précédents, se simplifie un peu quand on suppose B très grand et, par suite, k\Jb égal à 3. La quatrième condition (108), résolue par rapport à lr'(i), se réduit en même temps à W (1) = o. Alors, d'après les équations (8) ou (12), la vitesse u0 a la paroi devient négligeable à cùlé de la vitesse moyenne U, et le tuyau, supposé ainsi infiniment rugueux, immobilise par son frottement la couche fluide qui le touche, tout comme le ferait par adhérence la paroi polie d'un tube fin, dans un écoulement bien continu. D'ailleurs, celte vitesse «0 étant sensiblement indépendante de x aux endroits considérés où ttt est très petit, le coefficient
de frottement intérieur e = -— \/Bhu0 s'y trouve à fort peu près constant, comme il
l'est dans les mouvements bien continus. Donc, tout se passe, quant aux équations
déterminant m et W, comme s'il s'agissait de l'écoulement effectué, le long d'un tube
fin, par un fluide où le coefficient de frottement intérieur aurait justement la valeur
P g 1 — numérique de l'expression *-y- y 13 h //0 dans notre liquide.
Ainsi, la formule (106) de m, spécifiée pour un tuyau infiniment rugueux, sera celle qui représentera l'établissement du régime uniforme à la partie amont d'un tube
fin, si, remplaçant - par T et A2<2 par W, l'on exprime d'ailleurs, dans les exponen-
tielles, k* en fonction de z, h et U. L'on aura, pour cela, l'équation (3i) de mon premier Mémoire (p. 27), équation qui, vu la valeur \ de Ole F, et la grandeur supposée
de \l\i, donnera k\/]iu0 = 3U, dans l'expression —■ kyBu0h de e. De celle-ci, devenue
dès lors z ■= — ^7-; — > on tirera — = - — ■ Donc, la formule représentant la partie
variable avec x du mode de distribution des vitesses, dans le problème de l'établissement du régime uniforme Je long d'un tube fin à section rectangulaire large et de hauteur 2 h, sera
§ XXVI. — Solutions simples en termes finis, quand les parois sont lisses.
» oo. Les résultats deviennent très simples quand on suppose la paroi assez lisse, ou plutôt b assez petit, pour que, dans (107), le coefficient de W", alors très grand, puisse être remplacé par l'inverse de k\Jb, sa valeur movenne, dont il ne s'écarte qu'entre les limites fixes | et — | comptées respectivement au delà et en deçà. Le troisième terme, W, de (107) se trouve dès lors encore plus négligeable que la petite partie supprimée du terme en W"; car W, s'annulant aux deux limites £ = o, £ = 1, est, en moyenne, dans l'intervalle, au plus de l'ordre de grandeur de sa dérivée première W, qui, tenue elle-même de s'y annuler une fois, y esta peine comparable à sa dérivée W". Donc, à plus forte raison, W disparaîl, dans (107), devant la partie principale du terme en W". Et l'équation (107), dès lors binôme, donne, à un facteur constant près, vu l'avant-dernière condition (108), W" = — xsinaÇ, si x2 (avec x pris positif) désigne le quotient de m par k\[b. Or, de cette valeur de W", multipliée deux fois par d'Ç et inlégrée chaque fois, il résulte, en tenant compte des deux premières conditions (108),
ou
\ ks/l
» Enfin, la dernière condition (108) devient l'équation en m ou en x, tang x = — — — • Supposons le quotient positif de k\Jii par x assez
petit pour qu'on puisse négliger son carré; en sorte que ce quotient soit lui-même voisin de zéro et x voisin d'un multiple positify- de-. Le petit
. , , • , , . , . , , A-y/B ks/B.
excédent x — j- aura donc pom tangente, a très peu près, — - — ou — ? — ,
où m et ir' se calculeront comme s'il s'agissait d'un tuyau de même forme à paroi infiniment rugueuse. Quant à la partie, tp, de régime uniforme ou indépendante de.r, elle sera, en faisant y/B0 infini dans (5i),
3ILF,
Malgré les simplifications indiquées des formules {107) et (108), la série qui exprime W et l'équation en m restent encore d'un calcul fort laborieux.
et il viendra successivement
(ni)
*>lfî = (j>**+2il/B)tjb,
W = cosx'C
= cosj-'Ç
/.yB /cos/'
(sinyV£
m Les valeurs de m sont bien, comme il le fallait, toutes réelles et positives; celles de1!", qu'on substituera à A.2Q, s'écartent peu de cos jrX, dont elles diffèrent d'une même quantité aux deux limites "£2 = o, Ç2 = i.
» 56. Bornons-nous au terme de u fondamental ou affecté de l'exponentielle la plus lente à s'évanouir, celle qui correspond à/ = i. Admettons de plus une entrée du tuyau parfaitement bien évasée, qui y donnerait
u = U ou crJ-= I — ip=-i^K2-J) d'après les formules (37), précédemment citées, de mon Etude de l'année dernière. Le coefficient c, devant rendre minimum le carré moyen, / (ccos-Ç -+- vs^dZ, environ, de l'éeart entre cW et — uif se déterminera par la condition approchée
/ (ccosr'C 4- gj,-) COS-'(r/'C = o.
Il sera sensiblement le quotient, par la valeur moyenne - de cos2t:'C, de l'intégrale / ( — ct/)cosx£</£, que donnera presque immédiatement l'inté-
gration par parties effectuée avec sin-'C ou cos-'C comme facteur intégré. Et il viendra finalement, vu (106),
ik\fb -
tj = — :— e
COStcC H zr~ (f — "C sin-Q
» Les vitesses u sont inférieures à celles de régime uniforme dans la partie centrale des sections qui s'étend jusqu'à l'ordonnée relative, '(,
dont la valeur absolue, -— ( j, annule W; elles leur sont, au
contraire, supérieures dans tout le reste, qui comprend un peu plus que la moitié des sections. Aussi, l'écart — cr est-il plus fort au centre Ç = o qu'à la paroi £ = 1, comme il était naturel de le penser, l'action régulatrice du frottement devant le plus vite se faire sentir au voisinage des parois.
§ XXVII. — Longueur nécessaire pour l'établissement approché du régime uniforme dans un tel tuyau.
» 57. Pour la paroi en ciment fin sur laquelle M. Bazin a fait ses récentes observations (dans un tuyau circulaire, il est vrai, et non rectangulaire large), on avait b = 0,000166, \[b — 0,0129, et, par suite (avec la valeur 48,6 de k), y/B =0,0175, k VB =o,85i (') ; d'où résulte, dans la section rectangulaire large, encore d'après les mêmes formules (32) de l'Étude citée, & = 0,000186, \7> = o,oi36 et k\fb = o,663. L'inverse de k\fb y est donc, non pas très grand, mais seulement égal à i,5o8. Toutefois, chacune des deux catégories de valeurs que prend le coefficient de W dans (107), les unes (pour £2 <î) en excédent, les autres ( pour 'Ç2 >|) en déficit sur cette moyenne i,5o8, s'en écarte relativement assez peu, surtout en movenne, pour qu'on puisse, dans une première étude, lui substituer la valeur constante î,jo8; et l'expression (110) de "F, où a. est de l'ordre dey-, réduit encore le terme W, dans (107), à une fraction presque négligeable du précédent i.SoSW, au yr environ. Enfin, dans l'expression (1 1 1) de m, le terme ik\ l>, de deuxième approximation, n'est guère, même poury = 1, que le £ du terme principal/2-2 : preuve que les formules obtenues continuent à être applicables avec quelque approximation.
(') Ces valeurs se déduisent de la première formule (60) de mon travail Je l'année dernière (voir le Mémoire précédent, p. 46), où k = 48,60 d'après Tune des formules (07) du même travail, et où il suffit d'introduire en outre le résultat & = 0,000166, fourni directement par l'observation des débits du tuyau circulaire expérimenté.
Si, dans l'étude du régime uniforme à l'intérieur des tuyaux circulaires, l'on se bornait, comme je le fais ici dans l'étude des régimes variés, à cette première approximation où le coefficient de frottement intérieure est supposé valoir celui du cas de la section rectangulaire large pour même rayon moyen et même vitesse à la paroi, multiplié par l'inverse de la distance relative t à l'axe, la valeur de À la plus propre à réduire autant que possible les écarts entre la théorie et les récentes observations de M. Bazin serait encore, d'après les pages \!\ et 45 du Mémoire précédent, A = 48,60. Et les premières formules (43), (37) du même Mémoire donneraient, l'une (en y faisant b = 0,000166) y^B = 0,0172, l'autre, ensuite, \lb — o,oi35 pour la section rectangulaire large. Ce seraient donc, à fort peu près, les valeurs de y'B, sjb adoptées dans le texte; et l'on aurait aussi, par suite, sensiblement les mêmes valeurs que ci-dessus pour k\/B et k\^b.
» L'expression (i 12) de — u donnera donc une idée encore assez juste du phénomène étudié. Le coefficient c figurant devant l'exponentielle y est environ o,i34, vu la valeur o,6G3 de k\Jb. Mais, pour un tuyau non muni de la bouche parfaitement évasée que nous avons admise, et où se produira toujours, après la brusque contraction des filets fluides, un épanouissement rapide, avec frottements notables qui ébaucheront déjà l'inégalité des vitesses dans le tuyau, l'écart initial rzh sur la section où le régime commencera à varier graduellement, aura des valeurs absolues moindres que leur expression supposée 1 — 9, et, par suite, le coefficient c ne devra guère, ou pas, excéder 0,1. Il suffira donc que l'exponentielle se réduise elle-même à 0,1, ou que son exposant égale au moins, en valeur absolue, 2,3026, ou enfin que a? atteigne la valeur 72, 3h environ, pour que l'écart cj soit partout inférieur à -^ et insensible. Ainsi, le régime uniforme sera établi après un parcours x d'environ 72 rayons moyens, ou 3G fois la hauteur 2 h de la section, à partir de V endroit où les filets fluides commencent à être sensiblement rectilignes et parallèles.
§ XXVIII. — Cas d'un tuyau circulaire : intégration en série.
» 58. Abordons enfin le cas, plus pratique, mais beaucoup moins simple, d'un tuyau à section circulaire. Alors la fonction F peut être réduite à l'inverse de t avec une approximation suffisante : F, est, par suite, |(i — t3), et, Q ne dépendant, comme F et F,, que de la variable ■< = Vr'2 +
1 d.til
&.,Q a l'expression 7 '-r— D'ailleurs, dans l'équation indéfinie (io3), les
deux derniers termes du quadrinome entre parenthèses ont évidemment pour somme — }F', Œ', ou ^x2Q'; de sorte que cette équation indéfinie ne contient £2 que par le produit tS2'. Celui-ci, ou plutôt son quart \iQ! ', sera donc notre inconnue auxiliaire. Nous l'appellerons encore W, en posant ainsi
/ q\ a ^ ' dxv w'
(ii3) A2 Q = -- = ,
x y x dx x
» Enfin, le signe </0 équivalant à une dérivation ent, cette équation (io3), divisée parm, deviendra presque immédiatement, en y mettant en évidence, comme dans (107), la valeur moyenne, sur toute l'étendue de la section, d'un coefficient variable, valeur qui s'exprime simplement au moyen du
(65 ) coefficient b propre à la section circulaire (' ),
<»4) ^\^)+[wb+ï{î-*)]-^+>*=°-
» Les conditions définies (io/i) et (io5) deviennent en même temps, vu que (h (ou d ^t\2 ■+- X? suivant la normale au contour) est idt à la limite
V(o) = o, V(i) = o, j£^j=o(pourï- = o),
I cl /1"\ W , v
H = o (pourt = i).
dx
» o9. La fonction W (t) se développera en une série procédant suivant les puissances entières de t. Cette série, d'après la première condition ( 1 1 5), n'aura pas de terme indépendant de t. D'ailleurs, la valeur (i i3) de A2Œ devant rester finie au centre, W contiendra le facteur t ; et le terme du premier degré manquera dans W. Ceux des troisième et quatrième degrés manqueront également; car un terme en t,3 ne vérifierait pas la troisième condition (n5), et un terme en t4, porté dans (u4)> )r en donnerait un ent"2, incapable de se réduire avec aucun autre. Les deux premiers termes seront donc, l'un, ent2, l'autre, ent5. Après quoi, viendront t8, t11, t,14, . . . ; car toute expression de la forme Mta, substituée dans (n4)> y donne trois termes, respectivement affectés de ta G, t*-3, ta, essentiellement différents de zéro tous les trois pour a > 5 et dont les deux premiers ne pourront se réduire qu'avec d'autres issus de même des deux termes de W où a était moindre soit de 3, soit de 6 unités. Ainsi la différence des divers exposants a est toujours un multiple de 3; et si, W n'étant déterminé qu'à un facteur constant près, l'on prend — i pour second coefficient, il viendra
(i 16) W(i) = At2 - t'° 4- Ct8 - Dr* ' -h Et' 4 - . . ..
(l) Voir la première des formules (43) de mon Étude de l'année dernière (p. 34, ou Comptes rendus, t. CXXIII, p. 77). Cette formule donne
k VB 3 k sjb
Dans le cas limite où y/B =00, qui sera considéré ci-après en note, k\Jb atteindra sa plus forte valeur f .
» Une loi de récurrence assez simple, fournie par la vérification identique de r équation indéfinie (i i4), permettra d'évaluer chaque coefficient, à partir de C, en fonction linéaire des deux coefficients précédents multipliés par m. Puis la deuxième condition (ii5) déterminera A, et la quatrième (ii 5) deviendra enfin l'équation en m (').
(') Sur l'établissement du régime uniforme dans un tube fin à section circulaire, et sur la convergence des séries rencontrées dans la partie actuelle de ce travail. — Pareillement à ce qui arrivait pour un tuyau à section rectangulaire large et à paroi très rugueuse, la loi de récurrence et la dernière relation (n5), équation en m, se simplifient quand B croît indéfiniment, cas où k \/b tend vers f. Mais, alors, malgré l'immobilisation relative, par le frottement extérieur, de la couche fluide contiguë à la paroi, la fonction W obtenue ne s'applique pas au problème de l'établissement du régime uniforme le long d'un tube fin à section circulaire, parce que le coef-
og ,— R ficient s de frottement intérieur, de la forme ^-vB— u0F(t), ne pourrait être rendu
constant qu'en prenant F = const. ; ce qu'on n'a pas fait.
Pour trouver l'expression de ra qui convient au cas d'un tel tube fin, il faut donc
poser, par exemple, F = i. Dans celte hypothèse, le système (9) donne Fj = i — t2,
0)L F, = |; et il résulte de la formule (5i), prise avec y/B0 infini, cp — 2(1 — t2). L'on
a aussi, d'après la formule (3i) du premier Mémoire (p. 27), A:\/Bm0=2U : d'où
z — r— UR; et la valeur de — à porter dans les exponentielles de (106) est " -•
De plus, dans l'équation (io3), où les deux derniers termes du quadrinome entre parenthèses donnent toujours pour somme — |FjO', soit, actuellement, \tQ', la dérivée
en t de celte somme est
d.t il'
, c^est-à-dire, identiquement, 2iA2i2. Dès lors, ii ne
figurant dans (107) que par son paramètre A2> c'est celui-ci qu'il y a lieu de prendre pour fonction de t à déterminer. Appelons-le n, ou, autrement dit, réduisons la formule (106) à
et l'équation indéfinie (io3) devient
d V 1 d f dW\ di, L 4 * dt\ dt J
2 dt [ 2 1 dv \
2 m t II — o ,
dt
du
Prenons-y pour fonction inconnue la quantité t— = *, et pour variable indépendante le carré t2 = s, aire relative, comparativement à la section entière j = -R2, de la courbe aitt d'égale vitesse constituant le lieu des points considérés. Alors cette
§ XXIX. — Simplification des intégrales quand la paroi est polie.
» 60. Mais bornons-nous, comme nous l'avons fait pour la section rectangulaire larçe, au cas d'une paroi assez polie, ou plutôt d'une valeur de Passez petite, pour que, dans (i il\), le coefficient du second terme soit réductible à sa valeur moyenne inverse de y/6, alors grande comparativement à son écart (variable entre — et — - j d'avec cette moyenne. Le
équation différentielle, s'abaissant au second ordre, acquiert, multiplié part, sa forme la plus réduite,
Il s'y adjoint, en vertu de la seconde relation (104), la condition * = o pour s z= o, c'est-à-dire <ï>(o) — o, et celle-ci détermine, à un facteur constant près dont on peut disposer de manière que *'(o) = 1, l'intégrale particulière * à choisir. Il vient d'ailleurs, en tenant compte de (100) où yB0 a crû indéfiniment,
f\dt 1 /*' ^ ds
J x, IIS
et, puis, vu la formule 11 = — — l t — — | définissant n, vu aussi la première condi- 1 i\-c dt\ di J *
tion (104),
do. rx rs
t.-j-=4 Utdt = 2 Hds.
Alors enfin la dernière relation définie (io4) devient l'équation en m :
Uds = o.
Mais toutes ces formules ont eu beau se simplifier ainsi à un degré inespéré, le développement de <£, savoir
n'en appartient pas moins au type complexe des séries qui s'étaient déjà présentées dans nos trois autres problèmes sur l'établissement du régime uniforme à l'entrée de tuyaux ou de tubes, soit rectangulaires larges, soit circulaires (p. 60 et 66) : la loi de récurrence résultant de l'équation (a) y rattache chacun des coefficients (pris en valeur absolue) A2, A3, A4, . . . aux deux coefficients précédents o, 1, A2, A3, . . ., et
troisième terme, iW, pourra encore être supprimé, comme étant, pour les mêmes raisons que dans la section rectangulaire large, tout au plus comparable à la partie ainsi négligée du second terme; et si l'on introduit, pour abréger, une fonction u et une constante K définies par les relations
d fW'\ ^m
dt\x,J k\Jb
l'équation indéBnie (n4)> s'abaissant au second ordre, deviendra
non à un seul comme dans les séries les plus usuelles. En effet, l'on trouve ici m . m
Ak=^j (A, + A,), A3 = ™ (A* + A3),
La convergence de ces sortes de séries peut se démontrer comme il suit :
Prenons pour exemple (P). Soit {M le plus grand de deux coefficients consécutifs
Ap!, Ap, supposés assez éloignés dans la série pour que le rapport — et, a plus
forte raison, les rapports suivants — — r> -, r-, çt» • • •> n excédent
pas une fraction donnée £X, inférieure à {. On aura, d'après la loi de récurrence, d'abord
Ap+i< -(Ap-h Ap,) <*^ (d'où, a fortiori, Ap+.,< -Mj,
AP+2< -(Ap+, + Ap)< A — ,
et, ensuite,
Ap+s < - ( Ap+2 + Ap+, )< X2 — (d'où Ap+3 < X — j
Ap+4 < - ( Ap+, -1- Ap+2 )< X2 — ,
Ainsi, les coefficients, groupés deux par deux à partir de Ap,, admettront, dans les
groupes successits, les limites supérieures — ■> X — > kL — > h* — ■> •••• uonc, dans la
série ( p), où s varie de o à i , la somme absolue des termes croîtra, à partir du p — ilème, plus lentement que ne fait celle d'un nombre de termes moitié moindre, dans la progression géométrique précédente doublée, savoir M f- MX -h MX2 + MX3 -+- . . . , comptée à partir du premier M; et, à plus forte raison, la série ((3), composée de termes moindres à signes alternant, sera-t-elle convergente.
(69) » Portons-y l'expression de \j. résultant de (i 17) et (116), savoir
(119) |t= -3.5t2 + 6.8Ct5-...:
l'équation (118) déterminera immédiatement chacun des coefficients C, D, E, . . . en fonction du coefficient précédent j, C, D, ... ; et la formule (1 16) sera
Kt8 KH" K3tu K4t17
)> Portons-y la valeur de A résultant alors de la seconde condition (1 15), savoir
(iai; A — 1 6.8 + 6.8.9. u " 6. 8. 9. 11. 12. 14 + 6. 8. 9. 11. 12.14. i5. 17
et la dernière condition (1 id), multipliée par — ik\[h, puis divisée par 3.5, deviendra l'équation en K (ou en ni) :
| f.WË/I^h^ «K»
» Conformément à ce qu'on avait prévu, elle n'a pas de racine négative; car tous les termes de son premier membre sont essentiellement positifs pour les valeurs négatives de K.
§ XXX. — Longueur alors nécessaire pour l'établissement du régime uniforme et autres particularités intéressantes.
w 61. Si le coefficient \k\fË> était assez petit pour qu'on pût négliger dans (122) la série où il figure, quelques tâtonnements donneraient, comme valeur de la plus petite racine, K = 25,64- Mais, cette valeur rendant la série dont il s'agit positive (égale à 0,272), il faudra prendre K un peu plus grand. Pour la valeur k\B =o,85i, qui convient à une paroi en ciment lissé, quelques essais donnent assez exactement K = 3o; et il vient ensuite, d'après (121), A = o,5342. On aura donc pour le paramètre m, vu (1 17), 7,5£ y/6, et, dans l'exponentielle correspondante de la formule (106)
de zs, l'exposant sera, en valeur absolue, — ~— 0 ou, très sensiblement,
o,o3q — (vu que \/b = °>OI29)- Comme les valeurs initiales ct, de l'écart cj,
dans le mode de distribution des vitesses, ne dépasseront guère encore un dixième, ou tout au plus un dixième et demi, ces écarts ts se réduiront à des quantités de l'ordre de 0,01, et seront insensibles, quand l'exponentielle n'excéder.i paso,i, ou quand l'exposant atteindra 2, 3026 en valeur absolue; ce qui aura lieu pour x= 5qR, à très peu près. Un parcours d'environ 3o diamètres, après V épanouissement des filets fluides consécutif à la contraction de V entrée, suffira donc pour établir le régime uniforme.
» 62. En comptant 4 ou 5 diamètres en plus depuis l'entrée jusqu'à la section où l'épanouissement est ainsi effectué et où le régime commence à varier graduellement, on voit que l'établissement du régime uniforme dans un tuyau de conduite à parois polies demandera, au maximum, une longueur de 35 à 4° f°is 1° diamètre du tuyau. Conformément aux observations récentes de M. Bazin, ce régime devait donc, dans ses expériences, exister après un parcours de 5o diamètres, mais non après un parcours de 23 diamètres, où, seulement, l'expression (106) de l'écart u était évidemment réduite à son terme principal. Or, celui-ci est, vu les formules ( 1 1 3 ) , (120) de A2 Œ et de ^'(t-), et les valeurs, 3o, o,5342, de R et de A,
\ cr = — ce (I23) x (r,o685-5i3-f-5t6 -2,o833ï9 + o,4735t'2
' — o,o6y6t15 + 0,0066V8 — o,ooo5t21 -h . . .).
» La fonction de t entre parenthèses, à laquelle l'écart cj est proportionnel dans chaque section, décroît de i,o685à — 0,6028, quand x grandit de zéro à r, c'est-à-dire quand on va du centre au contour; elle est donc, en valeur absolue, plus grande sur l'axe qu'auprès de la paroi, dans Je rapport de 1,773 à 1. Et elle s'annule pour t = 0,659; ce T11* est aussi d'accord qu'on pouvait l'espérer avec l'expression particulière de cr, observée par M. Bazin pour l'abscisse x = 5oR et constituée par les différences respectives des deux séries dénombres rapportées au commencement de cette Étude. On y voit, en effet, que la valeur de %,, pour laquelle se produit l'égalité des nombres des deux séries, est voisine de f = 0,625, légèrement moindre, toutefois, et, par conséquent, un peu inférieure à o,65q. PRr SIHte» **i nL,l en moyenne, ayant ainsi le champ de ses valeurs négatives, qui constitue la région centrale des sections, sensiblement réduit, celui de ses valeurs positives, constitué par la région périphérique,
(7' ) se trouve accru d'autant; et les valeurs absolues de zj constatées vers le contour sont encore plus faibles que les valeurs calculées.
» La raison de ces écarts est évidemment dans l'insuffisante petitesse du paramètre k\b, qui ne justifiait pas tout à fait les simplifications auxquelles nous avons soumis l'équation différentielle (n4).
» 63. Observons à ce propos que la valeur de t pour laquelle gj s'annule et, par conséquent, l'étendue de la région centrale où u> est négatif, grandissent lorsque y^B, \[b tendent vers zéro. Car, si l'on suppose \/B, \b infiniment petits, il vient, comme on a vu, R= 23, 64 (d'où m = 6,4 1 k \[b, A = o,585o); et la formule (i23) est remplacée, d'après (106), (i i3), (121) et (120), par celle-ci :
\ cy = — ce A R
( — o,o36r t15 -h o,oo3ot18 — o,ooo2t'-1 ■+- . ..).
» Pour t croissant de o à 1 , la fonction de t entre parenthèses décroit de 1,1701 à — 0,8161; de sorte qu'en valeur absolue elle est seulement, sur l'axe, ifols,434 (et non plus ifois,773) sa valeur à la paroi. Aussi, par compensation, la racine t qui l'annule est-elle 0,6^36, c'est-à-dire un peu supérieure à 0,039 : ce qui rend la région centrale, où gj est négatif, égale à la fraction o,6~362, ou aux 4^4 millièmes, de la section totale g, au lieu de la fraction o,65o/, ou des 434 millièmes ('). »
(*) La plus grande partie de ce Mémoire a paru en mai, juin et juillet 1897 dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (t. CXX1V, p. 1196, 1261, 1327, i4' 1, 1^92, et t. CXXV, p. 6, 69, 1/42 et 2o3).
ADDITIOxN A LA NOTE DES PAGES 66 A 68.
Sur la manière d'embrasser dans une même analyse les deux cas de l'écoulement le long des tubes fins et de V écoulement tourbillonnant.
En dehors du cas d'un régime uniforme ou, tout au plus, d'un régime quasi uniforme considéré seulement, comme aux notes des pages 6o et 66, dans ses circonstances à peu
près indépendantes des légères variations de u0 et de - qui peuvent s'y produire, les
deux hypothèses F = i, B0=oc deviennent insuffisantes pour rattacher, comme cas limite, les écoulements bien continus entre parois mouillées, aux écoulements tourbillonnants; car la proportionnalité admise du coefficient e de frottement intérieur à
«0 et à - fait varier -. avec x et t. Pour embrasser dans une même analyse les deux
modes d'écoulement, il convient alors d'introduire, dans les expressions de £ et du
frottement extérieur vei un même nouveau facteur, de la forme ( — I m", où m, n sont deux exposants constants. Autrement dit, l'on posera
ce qui, d'une part, ne change pas l'expression du rapport — et, d'autre part, entraîne
les deux conditions £ = const., u0~ o (caractéristiques des mouvements bien continus entre parois mouillées) quand on prend non plus m = O, n = o, mais bien m — — i, n — — i , en même temps que F = i, ^B0 — oo, k = ce.
J'avais, du reste, observé déjà, dans le Mémoire de 1878 cité plus haut, p. 20, et publié au Journal de Mathématiques pures et appliquées (3e série, t. IV, p. 344); après y avoir donné directement la théorie des écoulements bien continus et graduellement variés les plus simples, que cette généralisation, très naturelle pour certains modes d'écoulement intermédiaires observés dans de petites sections (p. 32 du Mémoire précédent, de 1896), ne compliquait pas notablement les formules.
Et, en effet, dans les relations (1) à (i5) ci-dessus, elle n'introduit pas d'autre chan-
gement que de substituer aux deux facteurs -.■> u\, partout où ils figurent, ( - 1
et u\~n . Rien n'est donc changé, en particulier, aux systèmes (9), (10) déterminant F, et F2, ni, par suite, à la formule de 9, donnée par (5i), ni à l'expression (i4) de DÏLF2,
non plus qu'à celle, 4 / — — — — j de — dans le régime uniforme. Mais l'équation (5)
du mouvement devient
(5 bis)
i b.cv=(;)'-(.-^),
«n\2+" DILtt'
Or la formule (i5) modifiée, élevée à la puissance — (2 -f- n) et traitée comme dans
le texte, fournit une expression approchée de ( — ) , et donne pour cette équation du mouvement, au lieu de (18),
18 bis) \ — b
,B0"JÏT7
— IT- -(i + #i)DH«'
relation où les valeurs de Oïlu', DTl(u-)' résultent ensuite de (24.). Puis, <p n'ayant pas changé, rien n'est modifié (p. 27 à ^2) à la théorie du petit mouvement transversal, non plus qu'aux expressions de l'accélération longitudinale u'.
Dans l'hypothèse n ■=. — 1 , qu'on devra faire s'il s'agit de mouvements bien continus, le dernier terme de (18 bis), en DR. u' , disparaît.
En même temps, cette équation (18 bis) devient applicable sans que l'écart m du mode de distribution des vitesses soit petit devant tp, à la seule condition d'ajouter au
second membre le terme •• Car l'équation (i5) modifiée, multipliée par u0,
devient linéaire en u0, comme l'est alors déjà (5 bis), et il suffit de substituer <p — cp0 à A t / Ft (comme au bas de la page 5i), pour qu'elle donne
h=uVî57
gB0DKf\X
dK(yu'— u')
DK,(u*)' 2L1
Uïlu'-h3ÏL(— mu')
valeur de u0 à porter simplement dans (5 bis).
Par suite, la hauteur motrice totale à dépenser pour établir le régime uniforme, dans un tuyau ou tube évasé, sera, au lieu de (92),
(92 bis)
- — - 4- ~ f 3ïi(— wu')dx\ j— / 0TL( — Tjsa')dx
Le nombre a égale 2 quand le tube est circulaire; en soi te que, si l'on néglige dans un premier calcul le petit produit ( — m)u', cette hauteur de charge dépensée prend
alors la valeur approximative simple Les principes exposés dans la note des
S pages 66 à 68 permettent d'ailleurs d'évaluer — m et a' en série : après quoi, une quadrature numérique, effectuée, par exemple, au moyen de la formule de Thomas Simpson, donne le dernier terme entre crochets de (92 bis). C'est ainsi qu'ont été obtenus les résultats résumés à la note de la page 20.
Enfin, quel que soit l'exposant /i, les théories des §§ XXlil et suivants, relatives à la distribution des vitesses dans la première partie amont des tuyaux ou des tubes, subsisteront, sauf le remplacement, dans les équations (99), (102) et (106), du facteur
g y ?<Un // Y"'" ... gU"
- par n ' " — 1-1 , qui revient a
/•* * ' ** W Pii + ks/BoÛÏLFj'V
