IO

» Or, avec ces données (et g- = 9™, 809), il vient seulement, pour U -\-\JgH, les valeurs très insuffisantes :

U+y/gH = 4,824, 3,937, 4,999'

tandis qu'on trouve, par les formules combinées (37), (33) et (32), les valeurs théoriques, sensiblement exactes, comme on voit,

u = 6,190, 4,3ii, 5,555.

» La formule approchée (38) donnerait les résultats plus forts : w = 6,5ir, 4,327, 5,589.

» L'erreur, insignifiante sur les deux derniers, atteint un vingtième sur le premier; c'est que, dans l'expérience correspondante, le nombre d'ordinaire très petit ri avait pris la valeur énorme 0,166. Ce nombre, encore fort grand dans les deux autres expériences, s'y réduisait cependant, respectivement, à 0,059 et à 0,075.

§ XII. — Calcul de l'accélération longitudinale u' dans un écoulement

graduellement varié.

» 22. Notre première approximation donne la même célérité 10 à toutes les parties d'une intumescence quelconque. Donc le problème important de leur lente déformation requiert une approximation plus élevée; et celle-ci exige généralement l'évaluation, dans (25) (p. 17), des termes de r, et x — ri qui dépendent de la variation du mouvement. Alors l'intégration

du système (10) et, par le fait même, le calcul des accélérations u! deviennent inévitables.

» Nous poserons, pour définir le mode de distribution des vitesses aux divers points (y, s), ou (r,, '(), de la section a d'abscisse x,

(3g) TT = o H- ni, ou u — U(<p -h ct),

o étant la fonction de r,, £ et de la forme de g, qui exprimerait le rapport de u à U si le régime uniforme existait à la traversée de cette section, et tô, fonction à déterminer de r,, £, ,r et /, représentant le petit écart dû à la variation du mouvement. Si nous désignons par le symbole dc la différentielle complète de la quantité écrite à la suite, c'est-à-dire sa différentielle prise en suivant, durant l'instant dl, une même particule fluide (dans son mouvement moyen local), nous aurons successivement, vu que u = L (o -r- ct), que y, z ne figurent pas dans U, enfin que les termes non linéaires par rapport à e, w, ct et aux dérivées de u, U, o en x et / sont négligeables,

' ^(9 + ^7/T + L dl

(dU dU\ rT (do do do do\ ,, (dm dm\

rf£ i <7.r ' \r/£ ' rt.r a/ c/c/ \fl7 ' doc

» A une première approximation du calcul de u', on pourra même, ?c/, supprimer le dernier terme double, où figurent les deux dérivées de u en t etx. En effet, dans le régime graduellement varié que nous considérons actuellement, la perturbation, n, apportée parla variation de l'écoulement au mode de distribution des vitesses, est censée liée aux changements de a et de U avec x et /, au point de n'être pas d'un ordre de grandeur plus élevé que les dérivées premières de îouUenict/; ce qui réduit les dérivées analogues de ts à l'ordre de petitesse supérieur des dérivées secondes de cr ou de U. Ainsi l'on aura

// \ / dU tt dU ., Tt(do TT do do do\

§ XIII. — Formules régissant les petites composantes transversales de la vitesse.

)> 23. Le calcul de u! exigera donc l'emploi non seulement de la fonction connue <p, mais aussi des deux petites composantes transversales v, w de la vitesse; et il faut préalablement déterminer celles-ci.

» Nous avons donné, à cet effet (p. 8), la condition d'intégrabilité(i) et l'équation de continuité (2). Il faudra y joindre la relation exprimant que les particules situées à la surface-limite du fluide et supposées s'y mouvoir avec les vitesses moyen nés locales, y seront encore à l'époque t^c-dt; et ce sera même cette relation qui, étudiée la première, nous suggérera la marche à suivre pour traiter la question.

» Cette partie du problème, savoir, la recherche de v et w, étant très distincte de la précédente, nous ne nous y astreindrons pas à considérer des sections 1 dépendant d'un seul paramètre fonction de x et t, dans le genre du rayon moven. Nous y admettrons deux tels paramètres distincts a, h; ou, autrement dit, nous prendrons, comme équation de la surface limite du fluide, une relation de la forme

(42) t(^,Ç) = o, avec * = ^-°> " = ^^>

a, h étant deux fonctions lentement variables, mais quelconques, dexelt, et v0, z0 les coordonnées, par rapport aux axes fixes desy et z, du point où l'axe hydraulique perce la section a d'abscisse x, coordonnées que nous ne pourrons pas toujours supposer nulles et qui seront, en général, comme a et h, des fonctions lentement variables de x et t. Ainsi, les coordonnées transversales relatives r,, '( seront les quotients de y — y0, z — z0 par deux longueurs distinctes, a, h, réductibles, il est vrai, au rayon moyen dans le cas de sections toutes semblables. Néanmoins, quand il s'agira, même dans ce cas, de sections rectangulaires très larges, nous appellerons a la demilargeur qui, alors, deviendra non pas égale, mais seulement proportionnelle au rayon moyen h,

» Enfin, nous admettrons que la fonction <p donnée, exprimant le mode de distribution des vitesses dans le régime uniforme, soit de la forme simple o (r,, '(); ce que nous savons être vrai tout au moins dans le cas de sections semblables, avec coefficient de frottement extérieur B pareil aux points homologues, et aussi dans le cas de sections rectangulaires très larges, où o dépend seulement de *£.

» 24. Exprimons, conformément à la condition énoncée, que <\> ne cesse pas de s'annuler quand, à partir de valeurs actuelles de /, x, y, z donnant •li = o, on fait croître t de dt et x, y, z deudt, vdt, wdl, ou, très sensiblement, de Uydt, vdl, wdt. Il viendra

//o\ db TT <id/ d'I d<\>

» Or, les formules (42) donnent immédiatement

, . ,\ d'I d^\r\ da i dy0 d<\i

' **' d(t,x) ~~ ~~ dV, L« rf(^,.r) + â dJT~xT) J ~ dZ

et la relation (4^) peut s'écrire

1 ûty

(^£+U<p^-^^ + Uo^]

/ / r \ I u ui, ^ \ fl?£ ' tfta* / \dt ' cfo y

'43' J i d'iV fdz0 ,TT ^-0\ ,,/ctà TT rf/A~|

» Cette condition au contour de g prendra sa forme la plus simple, si l'on adopte comme fonctions à déterminer, au lieu de v et w, les deux expressions entre crochets. Ou mieux encore, nous extrairons de ces deux

parenthèses une partie y avant respectivement la forme (a, h) t. ' ,

avec deux fonctions, l'une, /., de x et t seuls, l'autre, y, de -t] et ( seuls, à déterminer en vue des plus grandes réductions ultérieures possibles. En un mot, introduisant deux nouvelles inconnues auxiliaires Val, Uhpix la place de v, \v, nous poserons

/ dvo TT dy0 ( da TT da\ c/y tt

j dz0 TT dz0 y ( dh T- dh\ 7 d-; rT ,

« La relation définie (4->) deviendra // \ (dît d{ db d-(\ TT/rf«K ^ \

» 2o. Choisissons, comme condition au contour destinée à déterminer la fonction jusqu'ici disponible y, celle qui s'obtient en annulant le coefficient de /. dans (47). A cet effet, considérant y dans la section type (a = 1, k = 1), où 7), s seraient les vraies coordonnées absolues y — y{>, z — z0, supposons qu'on mène sur chaque élément du contour y', à partir d'un point intérieur infiniment voisin, une normale dv. Celle qui aboutira

( 3i ) ainsi au point (r,,Ç) du contour aura ses deux projections dr,, d'C, sur les axes proportionnelles aux deux dérivées de 6 en r,, Ç figurant dans (47); en sorte que l'annulation du coefficient de x revient à poser

(48) -f- = o (le long du contour).

Donc, la condition (4?) sera, en ). et {/.,

(49) -r- ^ -+- -jt [J- = o (le long du contour).

» 26. Transportons actuellement les valeurs (46) de v, w dans l'équation de continuité (2), où le second membre aura, vu l'expression U9 -+- Ugj

de u, une première partie, j— '- , que nous transposerons au premier

membre. Si nous observons que la dérivée de o en x a sa formule pareille à (44)» et> de plus, que l'aire a des sections est proportionnelle au produit ah, d'une part, les dérivées de o s'élimineront du premier membre, ainsi que a, h, et, d'autre part, les termes en 9 s'y réduiront immédiatement,

en vertu de (21) [p. 16], à — 5 -r- En appelant enfin A2y la somme des

deux dérivées secondes directes de y en r, et en '(, il viendra

, r \ » l d~ / \ tt ( d\ d\x\ d.XJm .

(00) xa2Ï--;s(9-i) + U^ + ^=--^-=-U

dm dx

» Achevons de déterminer les fonctions x et y en annulant la somme des deux premiers termes. Il nous faut, pour cela, rappeler l'expression de o — 1, résultant des formules (29) et (3o) de mon Étude de l'année dernière ('),

expression qui convient tout au moins pour les sections semblables et pour celles qui sont rectangulaires très larges. Nous devrons donc poser

(52) x = AV-Bo" - % A,y = F, (il, C) - .111F,.

» On sait que cette dernière équation indéfinie, jointe à la condition au

( ') Comptes rendus, t. CXXIII, p. 8, ou p. 26 du Mémoire précédent.

( 32) contour (48), déterminera complètement en n et £ la fonction auxiliaire y, à une constante près qui disparaît des dérivées de y en r,, 'C et, par suite, des expressions (46) de t>, w.

» Enfin, l'équation (5o) de continuité sera, en 1 et a,

(5:v ^ + rff = — dx'

» 27. A une première approximation, la dérivée de vs en x est ici négligeable, comme se trouvant de l'ordre des dérivées secondes de U et c, tandis que v, w et, par suite, les parties de "X, y. à évaluer actuellement, sont comparables aux dérivées premières des mômes quantités. L'équation (53) reviendra donc à poser, en introduisant une nouvelle fonction auxiliaire $ de t, x, r, et 'C,

» Alors la condition spéciale (4<))> ou 'es deux dérivées partielles de 6 en r,, '( sont entre elles comme les deux projections respectives d'Ç, —'di\ d'un élément du contour dans la section type (a == r, h = i), deviendra d$ = o (le long de cet élément) et, par suite, = une constante C sur tout le contour d'une môme section, si du moins l'on admet, comme nous le ferons, que ce contour soit tout d'une pièce, ou que la section a n'ait pas à son intérieur de lacune non occupée par le fluide. Or l'on peut ajouter — C à <1» sans modifier les dérivées en r„ C de cette fonction, ni, par suite, X, y.. Nous pourrons donc astreindre , dans chaque section en particulier, à vérifier la relation

(55) <!> — o (sur le contour de la section cr).

)) D'ailleurs, cette petite fonction $ (de l'ordre de grandeur de 1, a), définie dans chaque section et existant par suite dans toutes, aura sa valeur variable avec x et /, mais assujettie à s'annuler, comme on voit, sur toute la surface limite du cours d'eau.

» 28. Avant de développer la condition d'intégrabilité (i), qui nous reste comme équation indéfinie pour achever de déterminer <]>, observons que cette fonction <î> sera identiquement nulle dans les deux cas simples : i° d'un courant à section rectangulaire d'une très grande largeur constante i a et de rayon moyen h, cas où r0 est une constante et où à, F, dépendent uniquement de '(; 2° d'un courant rectiligne à section circulaire

(33) variable (de rayon R), cas où y0 = z0 = o, a = h = ~R el où r,, 'C n'entrent

dans F,, -y que par le rappoi t, i = lyV-h £*, de la distance r à l'axe au ravon R.

)> Alors, en effet, le mouvement se faisant dans les plans ou normaux aux y, ou menés suivant l'axe des x, et de la même manière dans tous, v, w sont les produits respectifs d'une même fonction soit de C soit det, par zéro et i , ou par r, et "C; et ce sont par conséquent, dans les deux cas, les dérivées en r\ et en '( d'une même fonction, dépendant soit de 'C, soit de i. En outre, les équations (02) et (7j8) ne font aussi, par raison de symétrie, dépendre y que de 'C ou de x. Dès lors, X, ;a, tirés de (4^>), apparaissent également comme étant deux telles dérivées, en r\ et '(, d'une même fonction soit de 'C, soit tlet. Dans le cas de la section rectangulaire large, a étant ainsi nul, la première équation (54), combinée avec la condition (jd) au contour, donne (I> = o. Dans le second cas, l'égalité des deux dérivées respectives de a en "C et de ;x en n entraine, vu (54), l'équation A2$=o, revenant bien à = o par suite de la condition au contour (5 3).

» Dans les deux cas si importants dont il s'agit, les petites composantes transversales e, w de la vitesse seront donc complètement représentées, à une première approximation, par les formules (46), prises avec X, pt, nuls, et où /., y auront les valeurs définies par (48) et (02).

.§ XIV. — Leur emploi dans la formation de l'équation du mouvement.

» 29. Même dans les autres cas, les parties de e, w dépendant de ne donneront, dans la formule de l'accélération longitudinale u! ', que des termes nuls en moyenne sur l'étendue de la section g, et v restant tels après avoir été multipliés par une puissance quelconque o'""1 de la fonction <p: particularité qui les élimine des équations définitives (17), (18) du mouvement et réduit bien leur importance.

» Formons, en effet, l'expression approchée (41) de u , en substituant à v, w, )., a leurs valeurs respectives (46). (54) et aux dérivées de o(rn £) les leurs, résultant, par des formules comme (44). des définitions (42) de 7), 'Ç. Il viendra immédiatement

» Or, si l'on multiplie le dernier terme, dépendant de la fonction <P, B.

par o'"-{ c/g, et qu'on intègre dans toule l'aire c ou plutôt dans l'étendue de la seclion type ayant r,, *( comme coordonnées y — - y0, z — z0, l'intégrale* obtenue e^t(à un facteur constant près), môme pour une section autre que la section type,

ff&r % - *£S**-//K(t-$) - *(•-£)]**

» Transformons, à la manière ordinaire, cette intégrale de surface, à parties inlégrables une fois, en une intégrale prise le long du contour -/'.

I /élément de celle-ci aura évidemment le facteur f-^rcosp — -r-sin (3) <Y/',

identiqueà la différentielle r/ prise le long du contour y' et nulle en vertu de (55).

» Ainsi, la partie de w' qui dépend de la fonction <E> a bien son produit par ç'""1 nul en moyenne.

» 50. Quant à la partie précédente, où figure y, la valeur moyenne de son produit par o'"-1 s'obtient aisément, en observant que celte valeur

moyenne est celle de — — A2y. En effet, le produit considéré, ajouté à

l KCS '" l /

— — A2v» donne, au facteur près — -,

» Or, on voit que cette dernière quantité, multipliée par dridÇ et intégrée dans toute l'étendue de la section type, se convertit en une intégrale de contour, à élément nul en vertu de (48). Elle a donc bien zéro pour valeur moyenne; et, comme il résulte, d'autre part, de (5i) et (5a), ou de l'annulation de l'ensemble des deux premiers termes de (5o), que

la valeur moyenne considérée devient celle de (57) JL*/ >*m »\

» Par suite, l'expression (56) de u' donne immédiatement, en désignant encore par le symbole OR la valeur moyenne, sur toute l'étendue c, de la

( 35 ) quantité écrite à la suite,

(58) ai(?-«iO = f^ll.f + U^a.f- - iL ^(Oll.o— - 3iL.?«).

» Dans les deux cas où m =i et où t?2 = 2, les valeurs moyennes de om et o'"+t sont respectivement celles de o, 9- et <ps, c'est-à-dire, pour la première, l'unité, et, pour les deux dernières, les quantités que nous avons appelées i+r„ a, mais réduites tout de suite à leurs valeurs de régime uniforme. Et alors les équations (17), (18) régissant le mouvement graduellement varié, dans lesquelles (ir )' n'est autre que 11m ou, sauf erreur négligeable, i\Jou\ prennent les formes (23), (26) simplifiées, auxquelles nous étions parvenus autrement.

§ XV. — Mouvement transversal tournant, dans un écoulement permanent

graduellement varié.

» 31. L'importance de se trouvant ainsi très diminuée par le double fait que cette fonction s'annule dans les deux formes les plus intéressantes de section et s'élimine (à une première approximation) des équations définitives du mouvement en 1, 7, U, u0, nous nous contenterons de former l'équation indéfinie en fI> dans l'hypothèse d'un régime permanent, avec axe hydraulique rectiligne, c'est-à-dire avec y0 = o et r() = o. Alors les accélérations latérales p', \v' se réduisent aux produits des petites dérivées de c, w en x par u ou, très sensiblement, par Uo. Or les expressions ( 46) de v, w sont elles-mêmes, vu (54) et la première (52),

(39) «■ = i< (asfi + «aj j. <* = u (35 ?c - * 7/-

» Sans les termes en <P, le rapport — égalerait -, — ou T -, , c est-a-dire

simplement le rapport même - des coordonnées correspondantes dans le

cas, que l'on a particulièrement en vue, de sections toutes semblables où a et h varient avec x proportionnellement à leurs valeurs. La vitesse transversale résultant fie c, kv produirait donc un mouvement centrifuge ou centripète par rapport à l'axe hydraulique (y = o, z = o), mais nullement rolaloire autour de celui-ci. Donc la fonction $ exprime ce qu'on peut appeler le mouvement transversal tournant du fluide. Et, en effet, les

parties de v, w qui dépendent de <P, elant entre elles comme —r-> — -y- (a

la traversée de sections semblables), représentent des vitesses dirigées suivant les courbes <ï> = const., qui entourent bien l'axe hydraulique, puisque la plus extérieure d'entre elles, celle qui a l'équation <P = o, se confond avec le contour mouillé de la section.

» La différentiation de v, w par rapport à x s'effectuera en ne regardant comme variable, dans chaque terme des expressions (5q), que son petit facteur; car tout autre facteur que l'on y ferait varier introduirait à sa place une dérivée très petite, dont le produit par le facteur déjà petit du terme serait de Tordre des quantités que l'on néglige. Si, pour abréger, nous désignons au moven d'accents les dérivées en x de a, h et , il viendra, après multiplication par L'o,

/r \ > ri2/ „ 2 (hv'\ > TTo/i,/ OY I «?*'

( bo) v = \j- (a çr r, -h a o -p- I ' w = U - ( h <p- Ç — ny -j-

» L'équation à former, exprimant l'égalité des deux dérivées de v' e:i r et de w' en y, sera après suppression du facteur U2,

h d f d<P'\ a d ( d<t>'\ /ik" vdo la" d

(61) a dr, [y dr, J ' h dX, VY dl ) " 1 \ a * di\ h "d

Ce sera l'équation cherchée en *!>', si Ton v substitue à <p son expression résultant de(5ï). Il faudra d'ailleurs y joindre la condition définie, déduite de (55),

(62) $'= o (le long du contour).

En effet, s'annulant sur toute la surface enveloppe du fluide, l'on a rtVp = o, le long du chemin que suit toute particule de la couche superficielle, c'est-à-dire quand, à partir d'un point de la surface, ce, y, z croissent deudt, vdt,wdt. Mais les produits par e, w des dérivées en y, z de la petite quantité <ï> sont de l'ordre des termes non linéaires que Ton supprime; et l'équation d<1> = o rend ainsi négligeable la dérivée (I>' de en x à la surface limite.

» 52. Les équations (Gi), (62) déterminent complètement <ï>' quand a, h et, par suite, le second membre de (61) sont censés donnés pour toutes les valeurs de x. Car, si l'on remplace <p' par $' -h $', , il vient, pour déterminer <D'4, la condition <!>', = o au contour, avec une équation indéfinie ayant son premier membre pareil à celui de (61), mais zéro comme second

membre. Or celle-ci, multipliée par $', dt\ dX, puis intégrée dans toute la section après qu'on a remplacé

., d ( cW.\ . , d ( d&.\ d (,, rf*'.\ (d^\\-

donne deux termes, intégrantes une fois, que réduit à zéro l'annulation de $'. sur le contour, avec deux autres termes, à somme dès lors nulle,

o dr, dX, — o.

Comme on a évidemment o>o partout, celle-ci, (63), oblige d'annuler les deux dérivées en r, et 'Ç de la fonction <!>,, dès lors nulle elle-même à l'intérieur non moins que sur le contour.

» Quand l'intégration du système (61), (62) aura fait connaître $', il viendra $ = f$' dx, valeur déterminée, à une fonction arbitraire près de-/;, (. Or, celle-ci se déterminera elle-même par la condition que s'annule aux endroits où a, A, et, par suite, g, U deviennent constants : car le régime qu'on étudie est supposé devenir uniforme dès que a, U ne varient plus; et v, w, <ï> môme, d'après (39) et (55), se réduisent alors à zéro.

» 55. Les sections où $' s'annulera dans l'état permanent, les seules où, par suite, $ puisse s'annuler, seront, d'après (61), celles où l'on aura

rrr\ 1 d'i l d'î

(04) ■ n 7 7TT7 ZJ? — O.

x J aa y, dt\ lilrt dC

» L'intégration, immédiate, de cette équation aux dérivées partielles en rt, C» montre que o est alors, dans chaque section en particulier, fonction de r,, '( par l'intermédiaire de la variable unique aa'r,2 -+- kh"'C,2. Supposons d'abord que celte fonction ne se réduise pas à une constante, c'est-à-dire, d'après (5i), que le coefficient de frottement extérieur B0 ne soit pas infiniment petit. Alors les courbes o = const., d'égale vitesse dans le régime uniforme, devront donc être des coniques semblables et semblablement placées, à centre commun situé sur l'axe hydraulique (7) = o, £ = o) du courant, ellipses ou hyperboles suivant que les deux dérivées secondes de a et h en x auront ou n'auront pas même signe.

» On ne connaît, pour les écoulements tourbillonnants étudiés ici, que les deux cas de sections circulaires (ou demi-circulaires) et de sections rectangulaires larges, où les courbes d'égale vitesse dans le régime uniforme soient ainsi des coniques; et même, dans le second cas où o ne dépend

effectivement que de £ ou de Ç2, la variable de <p exigée par (64)» qu'on

aa" peut supposer être 'Ç2 -h 7777 v? ne se réduit à Ç2 que si le produit aa" égale

une fraction négligeable de M", c'est-à-dire seulement dans l'hypothèse d'une largeur 2« constante (en écartant celle d'une largeur uniformément croissante ou décroissante, qui excluerait partout la possibilité d'un régime uniforme). Ainsi, dans un canal à largeur très grande, mais variable, les expressions (5r>) de v, w ne se réduisent pas, en général, à leurs premiers termes, simples, comme on aurait pu l'espérer (').

» Mais il reste le cas extrême de parois assez polies pour qu'on puisse écrire approximativement o = i, c'est-à-dire supposer tous les filets fluides à peu près également rapides; cas où l'équation (61), ayant son second membre négligeable, admet pour solution '' = o et, par suite, $ = o. Donc, alors, pour toute forme de section, c, w dépendent linéairement, d'après (5g), des coordonnées transversales rt, C. C'est ce que nous verrons bientôt plus complètement (2).

» oi. Bornons-nous maintenant à la supposition de sections 5 toutes semblables, pour laquelle seule, sauf le cas particulier ci-dessus de rectangles larges, a été établie la formule (5i) de <p — 1 . Alors, afin d'embrasser aussi ce cas particulier dans lequel a représente la demi-largeur, évitons de poser a = h, et admettons seulement que a soit le produit du rayon moyen h par une constante. Le second membre de (61) deviendra plus symétrique en y faisant, comme on le peut évidemment,

ia" __ i a a (<£ __ h"\ a <xh" __ fa" __ //"\ h

(') Toutefois, si les courbures des filets fluides, ou les accélérations latérales v', w' , devenaient assez petites pour que leur influence s'abaissât à l'ordre de petitesse des termes non linéaires négligés dans notre analyse, tous les résultats basés sur nos équations (1) et surtout (61) seraient évidemment illusoires, la vraie équation en * devenant beaucoup plus compliquée.

(2) Dans le cas opposé de parois assez rugueuses (ou d'une valeur de B0 assez grande) pour annuler u et tp à la paroi comme dans les mouvements bien continus, léquation (61), développée en effectuant les diflérentiations indiquées à son premier membre, ne laisse subsister aux parois que les deux termes où figurent les dérivées premières de ç en tq, Ç, multipliées par celles de <!>'. L'annulation d'une de ces dernières entraîne donc celle de l'autre ; et la condition <!''— o, d& — o, le long du contour, y donne en tous sens £/*!>' = o, puis <ï> = o, au sein de la couche mouillant la paroi. Autrement dit, et vu les formules (5g), les deux conditions distinctes v = o, w = o se trouvent d'elles-mêmes vérifiées dans cette couche, comme il le fallait bien physiquement.

( 39) » Portons en même temps dans (61) l'expression de ç fournie par(5i) et posons enfin

,,.., v II Cl

(bO) --r-

i + A'v'Bo^F.

» L'équation indéfinie (61) deviendra, en T,