Théorie de l'élasticité des corps solides

Théorie de l'impulsion longitudinale d'une barre élastique par un corps massif qui vient heurter une de ses deux extrémités ; et de la résistance de la matière de la barre à un pareil choc.

1 . Problème général des résistances vives ou dynamiques, — Les pièces solides qui entrent dans les constructions et les machines y éprouvent non seulement des actions statiques ou constantes, mais, encore, des actions ou impulsions variables qui tendent, comme les autres, à chan<,aM' les distances mutuelles de leurs molécules, à altérer leur contexture et à les rompre, soit immédiatement, soit après les avoir graduellement énervées. Longtemps le problème de la comparaison des effets des chocs et des pressions a été une pure énigme ; son mot ne pouvait pas être trouvé en envisageant abstractivement, ainsi qu'on faisait, les solides comme incompressibles et inextensibles. Mais, aujourd'hui, la considération et la mise en compte de leur élasticité permet d'aborder cette question, ou de traiter analyliquemenl ce que Thomas Young a appelé la résilicnce, et, Poncelet, la résistance vive ou dynamique des pièces. L'étude que nous allons l'aire de leur impulsion longitudinale a une importance pratique réelle, puisque (comme on verra au § 90) la plupart des constructions sont aujourd'hui disposées de manière que leurs pièces ne suppoitent que des actions dans le sens de leur longueur.

Nous ne pourrons nous y servir de l'intégrale qui vient d'être donnée par Clebsch,§60, de l'équation du mouvement vibratoire longitudinal. Il y est en effet supposé que la barre vibre seule; il nous faudra une autre analyse pour notre problème actuel, où le mouvement est supposé produit par l'impulsion d'un corps étranger qui, tout d'abord, se meut en union avec la barre ; ce qui change essentiellement les conditions à remplir pour obtenir la solution.

2. Sa solution présentée élémentairement quand on néglige l'inertie des pièces heurtées. — Deu.v théorèmes de Young. — Deu.rième approximation pour une partie de cette solution. — Le problème des mouvemenis et déformations d'une barre ou même d'ini système quelconque de barres élastiques, déterminés par le choc d'une masse étrangère sur un de ses points, tandis que certains autres points sont fixes, se résout aussi facilement que le problème de l'état d'équilibre qui est pris sous une action statique, lorsqu'on néglige l'inertie du système. En effet, ce qui retarde la transmission, à ses différentes parties, du mouvement imprimé à l'une d'elles, ou ce qui exige pour sa propagation un certain temps Uni, c'est l'inertie, entrant successivement en jeu, des divers éléments de la masse. Si on la néglige, ce qui est possible comme approximation quand la masse du système est fort petite par rapport à celle du corps heurtant, le système peut être considéré, pour chaque instant, comme déformé de la même manière qu'il serait, au repos, par des forces d'intensité graduellement variable, convenablement appliquées à l'endroit heurté. La loi de leurs intensités successives est connue, car eiles sont constamment égales et contraires aux réactions élastiques du système; et ces réactions restent dans un rapport constant avec le déplacem.ent, supposé rester très petit, du point qui a supporté le heur«.

50 bis.

480 & CnAP. IV. — TIGES MINCES. — NOTE DU § 60.

On peut tirer (le là presque immédiatement (comme nous ferons aussi à la Note du î^ suivant, 61, relative aux chocs transversaux qui produisent des flexions) une équation simplement différentielle fournissant la loi pendulaire des vibrations des pièces avec le corps qui les a heurtées. Mais nous pouvons obtenir même élémentairement, sans équation ni intégration, les résultats essentiels de l'hypothèse ainsi faite. Soit en effet, pour fixer les idées, une barre prismatique ayant une longueur «, une section transversale <t, un poids P et un coefficient E d'élasticité longitudinale, fixée à un bout et heurtée à l'autre bout par un corps rigide d'un poids Q animé d'une vitesse Y. Ce choc diminuera ou augmentera la longueur a d'une petite quantité u selon que le corps Q, d'une forme quelconque, viendra heurter la barre, ou selon que, d'une forme de manchon ou de collier embrassant librement celle-ci, il viendra exercer son impulsion sur un bourrelet ou arrêt saillant dont la barre est munie tout autour à son extrémité libre. La réaction élastique de la barre contre le corps Q a pour intensité, alors,

Eo- - ; et comme celte intensité, nulle au premier instant du contact, a crû a

lu uniformément, elle a eu ^^ Eo- - pour moyenne. Multipliant cette réaction,

égale et opposée à l'effort qu'a exercé le corps Q,par l'espace u qu'a parcouru

égalé, puisqu'on néglige le travail de l'inertie de la barre, à la demi-force vive primitive du corps Q si la barre est horizontale ; et, si elle est verticale, à cette même demi-force vive possédée au premier instant du contact, plus le travail Ou de la descente du poids Q depuis cet instant. 11 en résulte

le point d'application de cet effort, on a un travail total Es- — . Il doit être

u"^ 0 V- Barre horizontale £<>—- = -—» d'où

Q si u^.=:pr- a désigne l'allongement ou raccourcissement purement statique :

équation dont nous aurons à nous servir au n° lo sous celte forme:

Ib) u=a - V/ TT' oi"i "==V/ ~' si P= — désigne la densité de la matière de la barre. * ' <D Y F Vf (jaa °

C'est de raisonnements de ce genre, appliqués spécialement i)ar lui aux effets de l'impulsion transversale, que le docteur Thomas Young. en 1807 (*), a déduit diverses (conséquences, crues approchées, entre autres que :

1" L'extension (ou contraction) de mise en charge, produite quand le poids Q

(•) A course of Lrclurcs on natural Pkilosoplnj and Ihc mcchanical arts in iii'o vohiiuen. pariiculièremeiu vol. I", pp. 135 à 144.

IMPULSION LONGITUDINALE. PRISE EN CONSIDÉllATION DE l'deRTIE. 4S0 C

est posé sans vitesse à l'extrémité libre de la barre, est double de l'extension statique ; en effet, la formule (c), quand on fait Y^O, donne u=îîu,. 2" La résilience de la barre heurtée, en nommant ainsi la demi-force

QV- , Y-

vive-^du corps Q capable, en tombant sur elle d'une hauteur—, de la

rompre ou d'altérer sa contexture, est proportionnelle à son volume, quels que soient les rapports mutuels de ses dimensions. En effet, si nous appelons,

comme au n" 7 (page 26 i) de la Note ci-dessus du § 37, -^ la plus grande

des dilatations longitudinales non dangereuses que la barre puisse éprouver

sans désagrégation, nous obtenons, en mettant — pour - dans l'équation (a) :

Q Y^ Eca ßo\- Rf, ac .

montrant que la résilience -—- est égale à la moitié du volume a<T de la barre,

multipliée par une constante -~ ne dépendant que de la nature de sa matière,

et que Tredgold a appelée son module de résilience, de même que E et R^ désignent son module d'élasticité et son module de résistance statique permanente. On verra à la note du §61, n" 54, page 560, que la même loi s'ap- ])liquc aux impulsions transversales avec d'autres diviseurs numériques que 2 du volume des barres lorsqu'elles sont fléchies au lieu d'être simplement étendues ou comprimées dans le sens de la longueur.

On peut même, quand on ne veut avoir que l'allongement ou accourcissement maximum total u de la barre, l'obtenir, encore élémentairement, par une deuxième approximation, généralement grande (voyez n" 4 et surtout n" 11 ci-aprés), en prenant, au lieu de (a),

U:') u=^4 /— r- OÙ l'on a /i=: I (-):; ^ - •

W f/ j^/.P Jo \aj a o'

expression établie (comme on l'expliquera aux n°* 4i, 47 et 50, pages 581, 585, 594, de la Note du ^ 61 relative au choc transversal) en attribuant à la barre, au moment où le choc commence à la compriiner ou à l'étendre, une inertie résultant d'un certain partage, opéré avec elle, de la quantité de mouvement initiale du corps heurtant.

3. Nécessité d'un calcul exact des effets de l' inertie de la barre heurtée. — Autre théorème de Young pour l'effet de premier instant. — Sa démonstration et celle de la formule de la célérité de la propagation des ébranlements ou du son. — Mais, comme l'observe Young lui-même, l'inertie, cette cause que l'impulsion se transmet le long de la barre dans un temps toujours fini, a besoin d'être prise en considération d'une manière rationnelle, notamment pour l'établissement des conditions de résistance. Par exemple,

480 f/ CHAIMV. — TIGES MINCES. KOTE DU §60.

connue w= i /-, o étant la densité de la matière, et w la célérité ou vitesse

dit-il, au premier instant du choc, si la vitesse reelle V, imprimée à la

tranche môme qui le reçoit, est assez grande pour que son rapport - à ce que

nous appelons (pour éviter la confusion) la célérité w de la propagation de son effet, surpasse la proportion D de l'extension ou de la compression que la matière peut supporter sans se désagréger, la désagrégation se produira; et, comme Young l'exprime, la résllience de la matière sera vaincue: c'està-dire que le corps heurlant, quelque petite qu'en soit la masse, brisera la pièce, ou bien y fera quelque impression permanente, altérant sa contexture au moins à l'endroit soumis nu choc.

11 n'est pas difficile de justifier celte condition ou relation nécessaire V= ou >wö fournie à Young plutôt par nne intuition que par un calcul, et de démontrer, du même coup, d'une manière élémentaire, la formule

apparente de propagation des ébranlements ou du son dans la barre. En effet : 1° Si, <) étant une très petite fraction quelconque, deux forces d'intensité Eo-D agissent en sens contraire aux deux extrémités d'une barre de section a, elles lui feront prendre, d'un bout à l'autre, dans l'état de repos, quand l'élasticité s'est conservée, une dilatation (ou contraction) dont la proportion est ?. Si l'une de ces deux forces seulement a été appliquée sur une des deux extrémités, l'autre étant éloignée, la même dilatation d sera prise de ce premier côté sur une longueur d'abord infiniment petite, après quoi la tranche ainsi étendue ou comprimée exercera sur la tranche suivante la même action qu'elle aura reçue, et ainsi de suite ; en sorte que la barre éprouvera cette dilatation positive ou négative 3 sur des longueurs uniformément croissantes. Et si l'on appelle od la longueur primitive de la partie de la ]jarre qui l'aura subie au bout du temps t, l'extrémité sollicitée aura cheminé de mI. <), et aura pris, en conséquence, avec toute la partie étendue ou comprimée, une vitesse wî), ce qui donne bien, si l'on appelle Y cette vitesse imprimée :

2" Gomme la masse qui aura reçu cette vitesse est po-w/, la quantité de mouvement acquise par elle est pc-wf. wî). En l'égalant au produit, par le temps l, de la force Eo-D qui l'aura engendrée, on tire bien pw^^^E, d'où

if)

formule qui représenterait également la célérité de propagation d'une dilatation, due à la soustraction brusque de la force comprimante, et par conséquent aussi celle de la transmission du son ou de petits ébranlements sa composant de compressions suivies de dilatations ou réciproquement (*).

(•) Cette démonstration simple de la formule de la vilesse du son peut être attribuée à Itabinet, qui m'a dit l'avoir professée vers IS'2'J. Elle est, certes, bien préférable à celle de Newton, que sa puissante intuition seule a comprise et que ni Lagrauge, ni aucun pliysicicn