CHOC LONGITUDINAL. — PREMIER ESSAI. — SÉRIE
4. Solution, par Navier, en série trigononiélrique d'un nombre infini de termes, du problème du choc longitudinal. Nécessité de recourir à un autre genre de solution. — Navier, en 18'2o, ainsi aulcnr de la première fornnulo exacte de résistance vive qui ait été donnée, a tenu analytiquement un compte complet de l'inertie de la pièce heurtée, dans sa solution du problème du choc longitudinal d'une barre, telle que sont les tiges verticales de support des ponts suspendus.
Si a, E, 0-, p, V = çgaG, Q, V, w=i/- ont les mêmes significations
qu'aux deux numéros précédents, mais u désignant ici le petit déplacement, au temps t, du point ou de la section dont l'abscisse z est comptée à partir de l'extrémité fixe, tandis que l'autre extrémité z=^a est celle que heurte le corps 0 dans un sens où il tend à la dilater, une tranche de la barre, comprise entre les deux sections a- d'abscisses s et z-\-dz, est sollicitée en
sens opposés, sur ces sections, par les tractions — Ec-— et Ec- (-r^-t-
-cT^ dzU en sorte que, comme son inertie est — ptrdz ^t^, son equilihre
O ^'' J Cl"
dynamique est exprime par Ec- -r-^ — p^r -7— = (), d ou 1 équation
indéfinie ou applicable à tous les points de la barre et à tous les temps; tandis que les équations définies ou particulières, vu que l'équilibre dynamique du corps heurtant pressé par la réaction élastique de la barre
Q^-w ^ eu ^ , P ,
exige -^-4-E7-7-=0 pour 2= a, et, vu 0-= . seront :
g ot- cz ^ pga
,,, , , „ f^ù-^u , P 3u\ ,-. /^ii\ { V au point .r = a,
(h) {u)^^^ = Q,^Q—-.--j^j^^=Q, [ji)^^=\ 0 en tout autre point;
équation et coyiditions qui sont toutes satisfaites par la solution de Navier :
V v^ 2 cos m . mz . »iwf (*)
U=:a - > ; : SIH SIU — ;
<à ^^ Hi(m+ sinm cosm) a a
le 2 s'étendant à toutes les valeurs de ;» racmes réelles et positives
p de l'équation transcendante m sin m = "r cosm-
n'a jugée acceptable. J'ai montré dans une note du Compte rendu, 18 juillet 1870, p. 15ü. qu'on pourrait l'appliquer au>si pour la propagation des ondes lumineuses transversales de l'étlier, et même pour celle des ondes ou intumescences liquides dans un canal; et qu'elle s'applique encore lorsque, pour une colonne d'air surtout, l'on donne à E une valeur supérieure à la valeur statique, de manière à obtenir, en tenant compte de la chaleur dégagée comme a fait Laplace, la vitesse réelle du son, au lieu de la vitesse moindre ditenevvtonienne. C) C'est bien, en effet, l'expression (11) du n" 226, page loi, du lUippurt et Mnnoire sur
Comme ces racines sont en nombre infini, le mouvement résulte de la superposition d'une infaiilé d'oscillations pendulaires ou isochrones de
diverses périodes ir .
Navier ne développe sa formule et n'en tire une règle pratique que pour le p cas extrême où le rapport- est extrêmement petit. Alors, l'équation transcendante donne m=\/ - pour sa racine la plus petite, fournissant un terme
de la série devant lequel les autres sont ordinairement négligeables ; et l'expression ainsi obtenue du déplacement u, ainsi que de la dilatation
2^=:- la même alors à chaque instant d'un bout à l'autre de la barre, n'est
autre chose que celle (a) qui a été établie élémentairement ci-dessus en néfflisreant son inertie.
11 aurait pu écrire la même équation transcendante m^- M — -+- .... j
— L f[ —'^'.-f- ....J, d'où m- = -- i\ :)--^9-?-Hv-)» donnant, si î«*
est petit devant »t-, pour la valeur approchée de la plus petite racine :
qui, substituée dans le premier et le plus influent terme de la série I particularisée pour 3= a, sin — ^=1, donne, pour le déplacement maximum u du point heurté, précisément cette deuxième approximation {c') que nous avons obtenue autrement et élémentairement au n" 2, p. 4S0c.
Nous avons étendu cette étude analytique à des cas variés de conditions limiles [Comptes rendus, o juillet 1865, p. 00) et aussi (M mai 1868, p. 877) à des barres composées de troncs de cône ou de pyramide. Mais, surtout, nous nous sommes efforcé de tirer de la formule trigonométri(iue (i) de Navier ses conséquences exactes pour les valeurs supposées les plus usuelles du rapport des poids de la barre heurtée et du corps heurtant,
/es ponts suapenilux, édition de 1825, lorsqu'on y remplace | — l', E, h, p, m, par m, E<r, a,
? m . „ ,. , E Efifia - . —, et w- étant = - = —f— a a p P
Poiicelol l'a complétée (Introduction à la mécanique industrielle, 1S50, n" 522) en prenant en coiisidération [comme il l'a fait aussi par la formule [e] ci-dessus] la descente du poids Q pendant que s'opère celle de l'extrémité heurtée, ainsi que les dilatations initiales dues au poids de la barre verticale et à l'action statique du poids Q supposé lui être suspendu avant de la heurter.
