SYSTÈMES OU LES PIÈCES ÉPROUVENT DES FLEXIONS

à trouver la relation contre les X', Y', Z' et los ii', v', w', c'est-à-dire à la question posée ci-dessus comme fondamentale. Cette relation désirée peut s'obtenir de la manière suivante.

Soient u'^, v'^, iü'^ les déplacements de l'origine de coordonnées a:', //', :',

placée, comme on a dit, à une première extiémilé d'une des liges; les déplacements de ces nœuds successifs, y compris cette origine, seront, daprès les désignalions ci-dessus :

«ô' ^0' "'o' K' '\' "'1; "i^ ^1' ^î • • • • et les forces résultant des réactions élastiques seront, en ces points :

On peut donc se représenter la flexion de la tige comme produite par des forces

qui seraient appliquées à chacun des nœuds.

Ces forces ont des effets très divers. Les forces — Z', — Z', produisent simplement des allongements ou des accourcissements des parties successives de la tige. La portion de barre /j, dont les extrémités ont pour abscisses 0 et /^ est soumise seulement à la force — Z^ qui qui la comprime, et elle éprouve par conséquent, en changeant le signe, l'allongement

Au nœud n" 1, une portion de la force — Z' doit être employée

à maintenir en équilibre la partie précédente de la tige; la force nécessaire pour cela est évidemment Z', et il reste alors la force — (Z'^-î-Zj) qui comprime la seconde partie de la tige et qui produit (en changeant toujours le signe) l'allongement

ir —w = - —

En continuant à raisonner de la même manière, on obtient, de proche en proche, le système suivant d'équations ;

CHAI'. Mil.

SYSTEMES DE TIGES OU BAliltES.

Et

et enfin, puisque la dernière partie de la tige doit être maintenue en équilibre par la force — Z^ agissant à sa deuxième extrémité, on a encore

Les équations (585) et (586) suffisent pour exprimer les forces Z' en fonction des iv' .

Chacun des systèmes — X', — X', .... , — X' et — Y' , — Y' , . . . . — Y'

. J o' 1' ' » Ol' n

produit, deson côté, une flexion simple de la tige. Pour déterminer cette flexion, il suffit dans les équations (551 a) du §87, p. 847, de rempla-

cerPj,?^, d'abord par — Xj, — X^, ,puis par — Y^, — Y^,......

en faisant M = 0 (puisqu'il n'y a pas, ici , de forces réparties). Si, ensuite, on fait dans la première de ces équations, :;■ = 0 et i = l^, dans la seconde, 2 =: /^ + Z^, dans la troisième, -. = /^ -1- /^ -j- /. et ainsi de suite, et si on remplace u et X d'abord par u' et a, ensuite par v' et y„ on obtient les deux systèmes suivants qui contiennent la solution de la question actuelle et qui renferment les quatre constantes indéterminées a, ß, Y, c :

■ /6Eax^^,;= -x;/;-x; (/.-h//-x; (/' +/,+g^— — x;, (/,+/,+•••/„) ^4-ß

l6EaÀ^M;=— x;/^-x: (/,+g^- ~ x; (/,+/,+.. .+/j^+«/^H-ß ,

(387) 6Ea)>^//;=— x^/^— — X (/,+/,+ +/„)"•+« (/^-i-g+ß ,

\6EaX2M; =a (/^H-/^+/^+ +g+[i-

/GE(i.x=-Y;/;-Y;(/,-f-g^-Y^(/,+/,+g'^-...-Y;(/,-i-/,H-...+g^+5, (588).6Ea>cx=-Y,/^-... -y; (/,+/,+... 4-g^+y(/,+g+s,

\6Ea>.^i.;=y(/,+/,^+/

ß 91. — EXEMPLE d'un SYSTÈME AVEC FLEXION. 877

A ces équations doivent se joindre celles qu'on obtient en faisant z = 0 dans la première des équations (551) du inème§ 87, p. 84(3 en mettant aussi zéro dans son premier membre afin d'exprimer que le point c-= 0, ne subissant l'action d'aucun couple, n'éprouve aucune flexion :

et les deux équations

qui, avec les précédentes, expriment l'équilibre extérieur de la tige.

Les équations (587) à (590) sont maintenant tout à fait suffisantes pour exprimer les forces X', Y' en fonction des déplacements i(\v' ; car, en considérant les X', a, ß ou les Y', v, i comme inconnues, on a deux systèmes d'équations du premier degré dont la résolution donne les expressions cherchées.

Si l'on a résolu ces systèmes d'équations pour une tige quelconque, etsil'on a introduit les solutions, c'est-à-dire les valeurs des X', Y', dans les équations d'équihbre de chacun des nœuds, préalablement écrites, on peut exprimer ensuite lesu\ v',w' au moyen des u, r, w^ar les équations (585) ; et alors, ces équations d'équilibre forment un système d'équations du premier degré pour la détermination dew, y,iü. Le problème se trouve donc ramené à la résolution d'équations du premier degré, et peut être considéré comme entièrement résolu.

Comme exemple, j'appliquerai ce qui précède à un cas simple.

Soit une tige dont nous désignerons les extrémités par 0, et 2, placée

horizontalement, ses extrémités reposant sur deux points d'appui fixes. En son milieu, désigné par 1, se trouve assemblé un poinçon qui lui est peipendiculaire; et des extrémités 0, 2 partent deux arbalétriers inclinés s'assemblant surle poinçon en un point 5, où se trouve appliquée une force verticale P.

878 CIIAP. VlII. — SYSTÈMES DE TIGES OU lîARRES.

Prenons pour axe des z la ligne horizontale 1,2; pour axe des x, la verticale 1,5. La forme géométrique du système est donnée si l'on connaît les longueurs 0,1 =1,'2 = /, et 1,5 = /'. Les coordonnées primitives des divers points sont alors

pour lo point 0 .x = 0, z = — /;

et, parmi les déplacements u, i\ w, il n'y a que u. et u^ qui soient différents de zéro ; tous les autres s'annulent, soit à cause de la symétrie, soit à cause des conditions extérieures.

D'après cela, les formules du §précédent, 90, et spécialement celles (580) et (581) p, 867, 868, donnent les allongements suivants pour les pièces 0, 5 ; 1, 5; 2, 5, qui sont simplement tirées ou pressées dans le sens de leur longueur :

Divisant par les longueurs v^ /' H- /" et /' on aura \e'?, proportions de ces allongements ou contractions à multiplier par les modules E d'élasticité et les superficies a des sections pour avoir les réactions élastiques longitudinales qu'ils engendrent. On en aura les composantes

suivant les x en multipliant les deux premières par ",,", ,, ' cosinus

de l'angle formé par 0,5 ainsi que par 2, 5 avec les x. 11 en résultera les composantes suivantes (500 a) dirigées suivant l'axe des x, en supposant, pour plus de simplicité, que le module d'élasticité et la section transversale soient les mêmes pour toutes les tiges :

au ponit o , — Le

au point 1 , Es —

Maintenant, comme au point 5 agit la force extérieure P, dirigée suivant l'axe des x, on a immédiatement la condition d'équilibre ;

La lige inférieure est tlécliie. Si l'un des axes principaux de sa sec-

§ 91. — CAS DE riÈCES AON LIBRE:ME>iT MOBILES AUTOUR DE LEURS JONCTIONS. 879

tien transversale est contenu dans le plan vertical 0, 3, 2, la flexion a lieu dans ce plan môme; et, en appliquant les formules (387) dans lesquelles on fera I^ = l^ = l; u' = u\ — 0, on aura, en changeant aussi u en u puisque les axes des coordonnées coïncident avec l'axe longitudinal de la tige 0,1,2 et les axes principaux de ses sections transversales, les équations suivantes où, comme aux formules (58 4), (387), X^ et X'^sont les composantes, suivant lésa?, des forces qui agissent sur cette lige en ses points ou nœuds 1,2:

0 = — X/^ — 8X;/^-+-,3, 6EaX2/^j = — X/H-a/H-^. 0 = 2«/ + ^.

Les formules (389) donneront de même la suivante qui devra être jointe à colles qui précèdent :

et l'on obtient immédiatement la seule valeur dont on ait besoin, celle

(o9i fl) Xj = p-.

Si ensuite, on égale à zéro la somme des composantes X' agissant au point \, et qui sont données par (590 a), on a :

et, des équations (391) et (392), on tire :

lu^\ \ '~ u,,,/. . 6à2

^^'Mi+^j eJ. ^ Y-^'\'^-Fi G.

E^rl -= ^+-7^ ' Ecr

lv//> + /'^f /■'' ] ( (V/^ + /'T ^•'" ]

Il est facile, avec ces valeurs, d'écrire les expressions complètes des forces X, et des tensions correspondantes.

Dans tout ce qui précède, on a conservé l'hypothèse que chacune des barres est entièrement mobile autour des nœuds auxquels elle aboutit. Lorsque l'on supprime cette hypothèse, on doit faire intervenir des couples de forces destinés à maintenir les tiges dans certaines directions, aux points où sont les nœuds. Il peut s'y produire, alors, des torsions, quand les tiges ne sont pas toutes dans un même plan ; on peut en tenir compte en appliquant ce qui a été donné dans de précédents paragraphes et embrasser ainsi le cas le plus général. Comme les principes en ont été exposés, je n'insisterai pas sur ce problème, sensiblement plus compliqué que les précédents.

880 cHAP. VIII, — TonsioN.

§ 92. — Torsion.

Dans ce dernier §, Clebsch commençait par démontrer élémentairement la formule de Coulomb, très connue

M^ ^ G J J(.i-2 + ,f-) dxchj = Gjf^ r^h = G 7 ^ Y '

du moment de torsion d'un cylindre à section circulaire de rayon R, ou de superficie o- = tt R% t|/ étant l'angle de la rotation relative de deux bases ou sections, à la distance / l'une de l'autre. Mais, ensuite, il semblait, pour les prismes ou cylindres ayant des sections droites d'autres formes, conseiller d'employer, comme commode et approximative, la même formule

G 7 I {x^ -]- î/-) dx (hj, tout en observant que cette formule se fonde sur

l'hypothèse de conservation delà forme plane des sections, hypothèse fausse comme il l'a démontré au § 51, pour toute autre forme du contour qu'une circonference.de cercle.

Puis, revenant au cylindre à section circulaire, il déterminait, encore d'une manière purement géométrique, par une considération d'élément parallélépipède divisé en deux prismes triangulaires (dont il s'est servi au § 5), la tension qui doit avoir lieu normalement à toute facette oblique aux arêtes, afin d'en déduire la tension maximum; et il en tirait, en l'égalant à la tension-limite longitudinale l\^ de notre deuxième note du §57, une formule de résistance à la rupture revenant à une parlicularisation de celle de Rq =-' ou >> s/i', -+- i*, que nous avons dit, dans la même note, devoir être abandonnée et remplacée, pour la torsion, par la formule R,, = ou >> (1 -}- f)) y/i\ -+- 1* rationnellement fondée sur la limitation des plus grandes dilatations, dans les solides tordus, supposés isotropes.

Aussi, j'ai été autorisé, par une lettre de Clebsch, à supprimer son § 92, que je remplace par ces quelques lignes.

J'ai donné, dans la note finale du § 51, ce que le § 92 contenait d'exact, c'est-à-dire la démonstration élémentaire de la formule de torsion du cylindre circulaire ; et dans celle du § 57, j'ai donné les conditions de non-rupture de ce cylindre et des prismes ou cylindres à base d'ellipse, de rectangle, etc. Je ne peux qu'y renvoyer.

Page -iOo a ; au bas de celte page, mettre :

D'où il suit que si l'ou imagine, dans le corps élastique terminé en haut par une surface plane, diverses sphères qui lui soient tangentes au point où est appliquée la force riP, la pression qui se trouvera supportée par l'unité d'aire des couches intérieures parallèles à cette même surface sera, en tous les points de leur intersection avec l'une quelconque des sphères dont nous appelons D le diamètre, mesurée simplement par

. En effet, r étant la distance d'un quelconque de ces points au point de tangence où agit la pression extérieure d[\ sa coordoimée z est la projection de la corde r sur le diamètre D issu de ce même point de tangence; et on a

7'2^=;.D, d ou — = — ; en sorte que la pression -^ r a bien 1 expression

r' V' In r* '^

que nous venons d'écrire.

Page 407 a. Mettre ceci à la suite :

Complément à la Note finale du § 4(5, de M. Boussinesq.

Cette note du § 46 (p. o74 à 407), qui concerne surtout l'équilibre d'un solide limité par le plan des xyet s'étendant indéfiniment de z = 0 àz=oc, est le développement d'un article du 20 mai 1878 inséré aux Comptes rendus de l'Académie (p. 1260), où j'ai appliqué pour la première fois les potentiels à cette question. Mais je m'y suis presque exclusivement borné au cas où les pressions p,c, pij, pz exercées sur la surface se réduisent à leur composante normale 7Jj, et j'en ai donné la solution, qu'on a vue au n" 4 (p. 586 à 589). Depuis, M. le professeur Valentino Cerruti a abordé ce problème (*) par une méthode d'intégration due à M. Betti, et il a non seulement retrouvé ma solution de 1878, mais traité aussi le cas d'actions tangentielles/j^;, ;;,, et celui où l'on se donnerait, à la surface, les déplacements u, v, w au lieu des pressions px, py, p^,. On me saura peut-être gré de montrer ici que les principes posés dans mon article de 1878 conduisent, avec une extrême simplicité, aux nouveaux résultats de M. Cerruti. ,

L'idée mère de cet article était dans la remarque suivante :

4> désignant une fonction quelconque dont le paramétre \ soit nul, on a

i') rdcerche ùitorno ail cquilibvio decorpi elastici isolropi. Acead. dei Lincei ; Roma, 188'J.

~, h -^ J — 2'I>)^0, n^latioii (iiii, (lifférentiéc en x, y, z, en donne trois

autres immédiatement identifiables aux trois équations indéfinies de l'équilibre d'élasticité, -- + X2{ii,v,w) = 0, pourvu qu'on ])renne

A -f- II. c/'I» , . , , . , ,

0 = 2 — , et u, V, w égaux aux trois dérivées en .r, y, z de — z'i' aug-

ij. dz

menlées de fonctions a, p, y dont le A, soit nul. Et comme, en outre, 0 doit

, , , (Jn (iv (Iw , ^. „ . , ,.

egaler la somme -r--|- T- + -r-» on se trouve satislaire aux équations m- '^ ilx dij dz

détinies de l'équilibre en posant :

^ ' ^ ^ A H- StJt f/* f/a d(;i rfy

A + \j. dz dr dij ' dz

Effectuons, dans les trois premières de ces équations, les différenliations indiquées de z^ et remplaçons y — 4> par y. Les formules (1) prendront la forme, un peu différente :

^"'^ > X + 'ö\x d'i> rfa f/ß f/y

"A H- u. dz dx dij dz

On peut, par exemple, y mettre pour a,ß,y les dérivées premières en z de trois fonctions U,V,\Y ayant leurs A.^ nuls, cas où la dernière (2] conduit à

A + !x /d\J dN d^\ .....

prendre <!> = — -i- + T--+-"r ' **•- '' '^'i''"' '■

'- AH-ûp. \a.r dij dz J

, </(U,V,W) À + p. \dx'^dij'^dz ,,,, v^v^ n

Les trois tyj)es d'intégrales que j'ai donnés dans l'article cité (formules 14, lAbis et iifer de la page 585 ci-dessus), se déduisent de (1) en prenant respectivement : 1" a = 0, ß = 0, <h = la dérivée en z d'une fonction 4^ dont

le A, soit nul et y = 2 ~ ; 2" * = 0, et a,ß,y égaux aux dérivées de 1/

À -\~\j. dz

O.nxjLz: o'> 'I> = (), y = 0, et a= p-, ß =-ü, où?, désigne une autre fonc

'^' dy dx

tion ayant également son Aj nul. De i)lus, j'ai montré (p. 580) que, si l'on superpose, d'une part, le premier ty|)e el le deuxième, respeclivemeut multipliés

par -r- et ; d'antre part, le piemier, le deuxième et le troisième,

* %>. 2(ÀH-p) ' '

rcspcctivt-ment niiilliiiliés i)ar --, — -— '—, -, et si, pour éviler toute

^ ' Z\J. 2ij.(aH-ix) \j.

(:iia.N(;emems eï AitmiioNs.

confusion, l'on ronii)l;i('e, dans le second cas, 'l par ç, on obtient deux nouveaux types, qu'expriment les formules suivantes, auxquelles j'ai joint les

,, ,. /dii' du^

valeurs corrélatives, — 'A-TZ~^'izn

fdw dv

dw

, dos

dx ' dz)"* ' \dy dz)^ ' d

pressions jj.,iP//'i^î exercées sur les éléments plans normaux aux z :

'iij. d{x.y)\ dz à-i-ia'/' 'i\j.\dz- a + ix di

"" dz^ dz'- '

fi

iP^ûhj) ■

d[x,y)dz-

'Mi-

dx^T^'

' d / dç

dx\ dz- dzj djjdz

^''■'-7üi\Cd^^^dl.)~d^z'

" dx

d'où

dp.c dx

^ 'lu '

^d,fj\dz

dp.t d;/

dx

\dX'

df) dz

d^r, dW

„^ ,, , ,, ,, d-'li

Cela posé, si l'on admet nue les fonctions -p» -r> -i-i dans (5), -7—,

dz dz dz dz-

dans (i), et -~j dans (5), aient, à la limite z=0, leurs dérivées premières

en z finies, ou du moins les produits de ces dérivées par z égaux à zéro, les

valeurs (5) de u,v.il\ (4) de prJhi-lh, (5) de -f^-f--r^ et -~ 7-^ se rédui-

^ ' ' l- l J l \ I (l^ fly fly (Ij.

dlj d\ d\\

Font respectivement, pour ;; = 0, à //=:-—, v^:—-, '^ dz dz

dz

dH

py = 0, p,=—j^^, et à

(6) (pour..=.0)^ + t'-(^ + ^)T=-1^'t^-t^ = -^dx dy \il.c' dy-Jdz dz' dy dx dz'

Supposé donc que, dans ces cas respectifs, les Valeurs de u,v,ii\ ou de pz-, ou de p,r et p,/. à la limite ;; = 0, soient données, on aura à choisir pour U,V,W, ou pour 'l*, ou pour ç et o^, des fonctions qui aient, à la fois, leurs A, nuls, leurs dérivées premières, secondes ou troisièmes en -î égales, pour 2=;0, à des fonctions arhiti'aires connues de x et de y, et leurs dérivées de

l'ordre suivant, multiplii'es par z. nulles à la même limite, du moins en ce qui concerne ü.V,W et à. Or il suffit, pour cela, de choisir des potentiels

de !a forme / f(z,r)dm, relatifs à des masses fictives I dut étalées sur la

surface; savoir, soit des potentiels ordinaires ou inverses 1 — ;-, soit ce que

j'ai appelé un potentiel logarithmique à trois variables, '^.-^ 1 \og{z^r)(lm. dont la dérivée en z est un potentiel ordinaire, soit enfin les potentiels que définit la formule (o8 bis) de la page 401, ^l'= j — /H- -log (::-(-/■) \dm,

dont la dérivée en ;; est le potentiel logarithmique l- ; ces trois sortes de fonctions ont, notamment, leur dérivée première, seconde ou troisième en z égale, pour z nul, au produit de — 2r, par la densité p{x,y) de la couche.

Donc on prendra, dans le cas des équations (5), Ü,V,W égaux aux potentiels inverses de couches ayant pour densités respectives les quotients, par — 'ir., des valeurs correspondantes données de u,v,w à la surface: ce qui conduira précisément aux formules (41), page 25, du Mémoire de M. Cerruti.

Dans le cas des équations (4), qui est celui de pressions normales données pz appliquées à la surface, on fera, comme je l'ai montré dés 1878, <]t égal au potentiel logarithmique d'une couche qui aurait pour densité le quotient de ces pressions pz par 2-.

Enfin, dans le troisième cas, on choisira de même, pour ? et c^, des potentiels de la troisième espèce, que je représenterai par ^r et ^i\. relatifs à des couches ayant comme densités respectives les quotients par 2- des premiers membres de (6). Et, comme il est évident qu'un potentiel d'une matière 1 dm étalée sur le plan des xy se différentie en x ou y par la simple

différentiation en r, ou j/i, sous le signe /, de la densité p(^i,v/i) de la couche

(vu que faire croître .r de dx revient à remplacer, dans l'intégrale, chaque élément dm par celui dont la coordonnée x^ dépasse la sienne de dx), ces valeurs de ç et ?! équivaudront à

^'^ ^~ dx "^ dy' '^'^ dy dx'

si 'r.j.,^1',/ désignent les potentiels analogues formés en prenant pour densités les quotients, par 'ir., des valeurs données de p.t et p,/. Effectivement, les expressions (7) de 9 et ?,, portées dans les formules (5) de Pr-Pn^P-^ ^^^ réduisent aisément à

\df'- dy-J dz ^ dxdz- <h^ ^ dxdz-\ dx dy

d''\), d' (dn-,. dTA (r'/d'V,,:d'l)i

h\r dTA dx~^ dy)'

^'"--~' dz' '^ ^^dydi\dx~^ dy )' ^'' — ^d:^\dx ' dy

CHANGEMEMS ET ADDITIONS.

c'osl-à-diro. pour ;: = 0, à j^, j~, 0, ot los rendent, par suite,

idcntiiiucs aux valeurs directement données. Or les expressions (5) de nj\w, si l'on y substitue les valeurs (7) de 9,9,, et qu'on les superpose aux valeurs (4) de u,v,iv, donnent dos formules revenant exactement à celles (58) et (63), pages 52 et 5.". du Mémoire de M. Cerruti (*).

En résumé, suivant que l'on connaît, à la surface 3 = 0, ou les déplacements produits, ou les pressions normales exercées, ou des actions tangentielles la sollicitant, l'intégration se fait, soit au moyen de potentiels ordinaires, soit au moyen d'un potentiel logarilhmique , soit au moyen des potentiels 'i.r,^l(/, plus compliqués, mais dont les dérivées en x et y, qui seules paraissent dans les expressions (7) de = et de =1, ne contiennent, sous

le signe 1, aucune fonction transcendante, et sont du degré zéro en .r — jtj,

y — yi,z, r, ou ont leurs dérivées en x,y,z du degré — 1 par rapport aux mêmes quantités. 11 en résulte que les valeurs (4) et (5) de u,v,w sont aussi du degré — d, et que par suite, quand les pressions données ne s'exercent que sur des parties restreintes du plan des .ry, les déplacements n,v,w

deviennent de l'ordre de — aux grandes distnnces ^ de l'origine, conformément aux conditions (12) de la page 582 ci-dessus. Dans le cas où, au contraire, ce seraient les n,v,w à la surface qu'on donnerait, et où ces valeurs de u,v,w seraient nulles en dehors de régions limitées, les u,v,w

exprimés par (5) deviendraient comparables à —, pour -c très grand; circonstance d'où l'on déduirait, par des considérations comme celles du second alinéa du n" 3 (p. 581 et 582), que les pressions exercées alors sur toute la surface se font équilibre à elles seules. On voit que, dans tous les cas, les conditions spéciales à x infini, et y exprimant l'évanouissement asymptotique des phénomènes, se trouvent bien vérifiées.

Parmi les conséquences qu'on peut tirer des formules (ü) de 2/,?n»', je me contenterai de signaler la suivante. Supposons qu'on n'ait appliqué à la surface qu'une action tangentielle élémentaire dJ, s'exerçant suivant l'axe des X sur un élément (h situé à l'origine, cas où l'on a :

r/Tr ■^-2ïï[-

.^log(3-f r) ; ^I"// = 0,

et proposons-nous d'étudier la forme prise par la surface du corps, alors

(') 51. Cerruti utilise, à la fin de ce Mémoire, un lliéorème remarquable de M. Eug. Ikltrami qui, dans le cas de symétrie tout autour d'un point, permet, étant données les valeurs du potentiel ordinaire d'une couche plane en tous les points de cette couche, d'en déduire assez simplement l'expression de la densité de la couche, ou, par conséquent, d'évaluer les pressions normales /k capables, en s'exerçant sur une région circulaire déterminée de la

886 (.IIANCEMENTS ET ADDITIONS.

qu'elle a acquis de peliles ordonuéos w. L'expression (5) de ii\ spécifiéf^ pour z:=0, sera

1 d:^ (IT X ( , , ^\ '/T -^

\-rf\ ' t) .k(M-!^)r

Aiiisi la surface libre déformée aura sensiblement pour équation :

■ 4ix{). H- 11) r- ^■^{^ H- n) .r- + y-

On remarquera : 1° que cliaque cii'conférence, de rayon r, décrite sur la surface autour du point d'application de la force d'ï conmie centre, l'este tout entièi'e, après les déformations, dans un même plan, (jui a seulement tourné, autour du diamètre perpendiculaire à la force f/T, d'mi petit angle

— = •7-- : — inversement proportionnel au carré du ravon r; 2" que les

lignes de niveau, :s=^const., de la surface déformée, ont pour équation

^^=:const., et qu'elles sont, en projection sur leur plan primitif, des

cercles menés par l'oiigine et ayant li'urs centres sur la ligne d'application de la force; 5" que, par suite, les lignes de plus grande pente de cette même surface sont, toujours en projection sur son plan primitif, les cercles

analogues ^ = const., mais dont les centres se trouvent sur l'axe des

y perpendiculaire à la force. La ligne même d'application de la foi-ce joue, du côté des x positifs, le rôle de la ligne de thalweg, et, du côté des x négatifs, celui de ligne de faite; car toutes celles déplus grande pente, parties du sommet ,r:=un infiniment petit négatif — £,v/ = 0, se détachent asymptotiquement, en descendant, du plan des zx, du côté des x négatifs, pour tourner ensuite de 560" et venir se 'raccorder asymptotiquement au plan des zx du côté des x positifs, en se terminant dans le foml x= £,?/ = 0,

Occupons-nous enfin des pressions px^Pu^Pz. s'exerçant sur les éléments plans parallèles à la surface, dans le cas de forces quelconques appliquées à celle-ci. La superposition des formules (4) et (8) de p.npi/,Pi donne de suite, à cet effet, la triple formule générale

m {]h^^P,nP:} --,i^x,7j,z^ [dxdz-^^d^^^T^^) dl[~dJ' d,^ ' d:J-

surface d'un corps, de faire prendre à cette région une forme donnée de révolution, et d'abaisser son centre d'une quantité donnée. On trouvera cliez M. Gaulhier-Villars, dans le Mémoire annoncé en note, p. 7t{)Q, qui s'imprime actuellement, intitulé A/>j>/ic(ilioii des ])(ilriilir/n II l'rliiilr ilr rriiiiililirr cl ilii iiiDiirrincnl ilr.s- xo/ii/r.i i''/ti.\li(/iii:\\ etc., une démonslialiou^jde ce Iliéorénic, ainsi que la détcrminatiou de la petite surlace de contact d'un sol élastique et d'un solide pesant, d'une l'orme convexe quelcün(pu' domiée, déposé sur ce sol, avec le calcul des pressions qui s'y exercent, et des reclicrclies sur un ^raud nombre de (|uebtious intéressâmes de mécanique et de physique malliématique.

(:iia.N(;f.mi:ms et adiutions. (S,S7

Si, en paiticuliiii", la force extérieure se réduit à uik; pression élémentaire, ayant dos composantes données <l\,<l^,(lCj, et appliquée à un élément de la surface situé ù l'origine des coordonnées, on aura

~üF~2^'' -7^ = 2^-' ,7, = .T^'avecr=v/.^•^^-.VH-^■^ Il viendra donc, en effectuant une diftérentiation de plus,

et, finalement,'

ôz /x , y m , ^ inY-^^y^^^

^K—:( -r/AH--f/B +-f/G — •

Comme '' sont les trois cosinus directeurs du ravon r émané de r

l'origine, on voit que la pression exercée en (.c,ij,z) sur un élément plan

parallèle à la surface, pression doiil p,,p y, p~ désignent les trois composantes

suivant les axes, est dirigée précisément dans le sens de ce rayon, et qu'elle

a pour valeur ;^-^{ -^/A H--f/BH--'/C ] , où le trinôme entre parenthèses 2-r \/- r r J

exprime évidemment la projection, sur ce même rayon ?% de la force donnée,

définie par ses trois composantes d\,(lH,(lC. On peut donc énoncer la loi

suivante :

Toute action extérieure exercée en un point Je la surface iVun solide se transmet à Vintérieur, sur les couches matérielles parallèles à la surface, sous la forme de pressions dirigées exactement à Vopposé de ce poiiit, et qui sont, d'une part, proportionnelles à la composante, suivant leur propre sens, de la force extérieure donnée, d'autre part, en raison inverse du carré de la distance r au même point d'application, et en raison directe du rapport de la profondeur z de la couche à celte distance r.

Il est aisé de vérifier que la pression extérieure donnée se transmet intégralement d'une couche à la suivante, ou autrement dit, que les trois composantes totales, f{px>PuiPi)da, de l'aclion supportée par toute la surface n d'une couche quelconque, ont respectivement les valeurs dA.,dB,dC. Substituons, en effet, dans ces intégrales, à Px,Pij,P: leurs valeurs (M), et observons que les termes contenant x ou y au premier degré donnent des éléments de signes contraires qui s'entre-détruii^enf. 11 vient, pour les trois composantes, les produits respectifs de d\,dïj,dC par les trois intégrales

7)Z rxhh OZ fy-da ùz fz-(h ., , , ., » • -j ^

— I — —, -r- I ^^-^-, H- I ^^" Or les deux premières sont évidemment '■2rJ r" ' 'zrj r- 2-J v \

égales entre elles, et moitié de leur somme

8 8 (S CHANGEMENTS ET ADFlITIONS.

en sorte qu'il suffit de vérifier si les deux intégrales — / (— — ;;-— i et

•^ I — ont pour valeur 1 unité. L est ce qu on fait, sans difficulté, en prenant pour élément de la surface a une couronne élémentaire 2-RJR =2-rf//-, où le rayon intérieur K=z\/r^ — 2% puis en intégrant do /• = :; à r=oo ; ce qui revient bien à faire varier R de zéro à l'infini.

Page 490. Sous-note : Supprimer les quatre dernières lignes et mcllre à la place : Voyez, pages i80 a, h, c, d..., la Xole du ^ GO. où le pi'oijlèiiie du choc longitudinal est complètement résolu.

Page Wl. Supprimer ce qui y est en sous-notc.

Page 551, entre les lignes 4 et .j en remontant, mettre : équation qui, en mettant pour t- sa valeur [b,J se réduit à

n-Ho'=z-2Elf'Ç^.'

Page 557, au lieu des lignes 9, 8, 7 en remontant, lire :

Ces courbes, pour des points proches des appuis, s'élèvent même au-dessus de l'axe u=:0 des abscisses, c'est-à-dire que, par une sorte de réaction ou de rebond qui suit de prés un affaissement imperceptible, les u sont négatifs.

Page 560, remplacer la ligne 7 par :

Pour P = 0, la plus grande courbure a lieu à l'instant t ^= I,20t ou à peu près en même temps que la plus grande lléche. Pour P;= 20, elle a lieu aux instants f =r 0.75t et

Piemplacer les lignes 10 et 1 1 par

PourP=iQ, Q, 20;

moi'.

Même page 500. remplacer la troisième ligne en remontant, par : son volume 2 aa, vu que 1 = gj--^. On retrouve ainsi, pour a = \ß, un théorème connu, de Young.

Page 501. A la suite de la ligne 4, mettre : (Voyez, ci-après, les additions aux pages 626, 027).

Page 599, au bout de la ligne Id, c'est-à-dire du second membre de la deuxième équation (ig), ajouter :

et mettre au bas de la page, en la découpant, cette sous-note de onze lignes :

C) En effet, puisque (îf). \i=^ U^ on a bien

(It

C'était à l'imitation de ce qui sera donné aun° 55, page 610, pour le problème de la mise en compte du train remorque par la locomotive, que nous avons remplacé ici, par un tri-

nôme différentiel affecté de V-, le terme t^ — — -r.r Mais nous apercevons que ce

al' cil- '

double changement de -r- en — + V .- n'a, ici, aucun avantage (et il eût même été irapossible, vu la discontinuité au point i = a; = V/, pour une dérivée d'ordre supérieur au deuxième). On obtient, en effet, plus simplement le second membre ■ [ia- — I2ax +

+ G.v-) — ,,.,(2g.r — X-) de l'équation (/«), p. fiOG, en opérant sur — - ^— ^ . ;/' désignant

ce que devient (^u) !/' pour ;• = .'■, d'où— :p!^ ^== — ^-^ —- pour le troisième des seconds membres écrits à la cinquième ligne de la page CDO.

Même page 599, remplacer l'alinéa : « Mais on peut », lignes 10 à 'JO,

par ceci :

Mais on peut, en abstrayant d'abord la condition initale de nullité des vitesses, satisfaire à toutes les équations et conditions énoncées (z^), (f/g), (b^) par des expressions algébriqnes entières en z et x:=yt, en négligeant, par approximations successives , telles puissances qu'on veut d'une certaine quantité qui est petite dans toutes les applications utiles; sauf, ultérieurement, et ainsi qu'on le veiM-a aux n'"* 5i bis, ter, quater, à ajouter des parties vibratoires au moyen desquelles les conditions initiales se trouveiont très approximativement satislaites.

Page 602, ligne 17, supprimer les mots « en apparence ».

Page 602, remplacer les quatre dernières lignes par :

Mais une pareille série devient toujours divergente à paitii- d'im certain

terme ; et, même, en bornant la parentlièse aux trois premiers termes

1 2,0 1 H- 7;H~"j7r5 où la divergence ne se fait jamais sentir, l'on n'aura pas une

approximation sensiblement plus grande qu'en se bornant aux deux premiers; car, dans les applications réellement uliles de cette analyse, savoir,

aux poutres d'une certaine portée, - est très petit, et le terme ^^ ne serait

à conserver que si on voulait l'appliquer à un rail, etc., ou à des expériences sur de courtes lames, comme ont été celles de M. Willis.

Page 605, supprimer tout le premier alinéa, c'est-à-dire les neuf premières lignes.

Page 607, au lieu des lignes 4, 5, 0, mettre :

Nous donnerons au n° o4 ter, p. 615 g, ces expressions algébriques de deuxième approximation de u et u^. Bornons nous ici à calculer, vu qu'on peut le faire fort simplement, ce qu'il est le plus essentiel de connaître (comme l'observe M. Phillips), à savoir : la plus grande valeur du moment tléchissant dynamicjue.

CHANGEME.NTS ET ADDITIONS. 895

Même page G07, effacer les trois dernières lignes, et, page G08, les quatre premières; et mettre à la place :

Une approximation nouvelle s'obtiendrait sans difficulté de la même manière en calculant d'abord, comme on vient de dire, par deux intégrations des (i'g), les U, U^; d'où, par {p^}, les u, ii^ auxquels on ajouterait de nou-

velles parties dynamiques, qu'analogiquement on appellerait - Uo, -r U3, et

qui seraient dèterminables comme on a dit pour U, Ui, etc. On verrait certainement ainsi, en en tirant le maximum de M^, reparaître additivemenl,

2,5 dans la parenthèse de la première partie de (îg), le terme •— de l'expression (l I de /jp et il pourrait être curieux'de connaître ce qui se trouverait ajouté de même à la parentbèse de la seconde partie de (^g). Nous nous abstenons de donner ce calcul compliqué, parce qu'il ne ferait qu'ajouter des

termes en —, négligeables, comme nous avons dit, dans le cas des applications.

Page 601), remplacer la ligne ô par :

complète en tant que purement algébrique (voir le changement des lignes 16 à 20delapage599, et lesn"" oi^/s% feretr//<ater ci-après, pp. 612à615 y).

Même page 609, ligne 6 : Mêms solution complète, lisez : Même soIkHou algébrique.

Page 6-25. Effacer toute la sous-nole en mettant à la place :

Pour la résistance aux impulsions longitudinales, voir la Note finale du § 60, où ce sujet se trouve traité (sur un carton à y insérer p. 480 a, b,c,...).

Page 626, ligne 9, en remontant, à gauche mettre, (r'^ reproduit), puis, après l.oO— 7,

mettre un astérisque (*), et, au bas de la page, mettre cette sous-note:

(*) Ce sont les expressions données aux lignes 10 et 11 de la page 5C0. comme résiillant de calculs delà sokilion, en série transcendante, du problème du choc transversal fait au point milieu d'une barre de longueur 2a, appuyée à ses deux exirémitcs. Comme on a

en appelant a la section transversale de la barre et / son rayon de gyralion, enfin E^pou-, p étant la densité de la matière de la barre et w la cclc'iitc avec laquelle le son s'y propage longitudinalement, on trouve facilement, vu que P =pg.'îaa,

Yr V

CIIAKGE.MEM'S ET AnDITIOnS. SQj

Page C27, ligne 7, mettre un astérisque (*), et, au bas de la page, mettre cette soiis-nolc:

C) En attendant, et mémo à l'exclusion de l'expression empirique du haut de cette pnfre. ainsi que des trois dernières formules du bas de la précédente ()26. ou peut, comme nous venons de le reconnaître, se contenter, pour l'évaluation de la plus grande courbure produite par le choc du corps Q au milieu de la barre de longueur 2a posée sur deux a]ipuis, de prendre la première expression (/,o)

qai pèche par dr'faut. en y mettant simplement pour /y, par l'effet d'une fortuite et heureuse compensation, la valeur de première approximation, qui pcchc. par e.rcrs, de cette flèche

. /7s dynamique /"p, c'est-à-dire en y faisant (/;) /j, = V \/ — » où (page :£G] fg est la llèclie sla-

lique sous la charge Q. flèche qui est ici (l'c) /"g = —, ', ce qui donne, en substituant,

En effet, cette expression diffère de moins d'un seizième (proportion presque toujours négligeable dans la pratique) des trois expressions calculées (,«(j) de la page 5G0, qui, au lieu de ^ô =1.7320, sont affectées de trois nombres peu différents.

On peut remarquer à ce sujet que si. au lieu de l'expression [!■;) de f^ de première approximation, on prenait celle de deuxième (presque exacte comme on a vu), c'est-à-dire si

on multipliait (/.) par — =r^= = 0.897. 0,810, 0,712 pour les cas P= ^ Q, 0, 2Q, le

facteur numérique \ 5 = 1.752 du troisième membre de (ß) se trouverait remplacé par 1.5Ö56. 1.4209, 1.2557 respectivement. Or ces nombres s'éloignent bien plus que v5=^l,752 de ceux 1,859, 1.75, 1.858 affectant les formules (.Vg) tirées du calcul et des épures ayant donné les expressions exactes des plus grandes courbures. Il convient donc de s'en tenir à l'expression (ß).

Mais la presque concordance qu'elle offre par hasard avec trois résultats d'un calcul exact ne doit pas faire conclure que la mise en compte de l'inertie de la barre soit inutile. Cette formule (ß), tirée de celles de (/jn) et (cg^, dont les inexactitudes de sens opposés se sont compensées, doit être regardée elle-même comme ncidemenl empirique, bornée aux limites des calculs faits, et ne dispensant pas de calculs ultérieurs et exacts pour d'autres rapports des poids heurtant et heurté P et Q.

La même chose devra être dite de ce qu'on pourra tirer des 7,^) pour les quatre autres

cas de pose ou d'encastrement qu'elles comprennent, en y faisant de même /"j, =; V W - » et respectivement (n° 49, 2", 5". 4\ 5"),

^''' 'S""24EI' 5EI' 5(6-J-6i)Er 5Eio'

ce qui donne, comme on le trouvera, la même formule (ß) à l'exception que pour les deux

derniers, car il y aura W — - — ^ El et V/«E y au lieu de \Jaï.\-

Et, en multipliant par la demi-epaisseur - de la barre, ces quatre expressions de la plus

grande courbure, on aura les dilafatioiis danrjereuscs à égaler, comme au n" 54, à leur limite appelée y , pour assurer la condition de non-rupture ou de stabilité indéfinie de la cohésion; d'où, comme à la fin de ce n'ôi, la demi-force vive impulsive -^ — égale au module de

rctuiicHcc — mulliplic par un coefficient numérique et par le volume de la liarre.

Mais ces formules, fondées sur la supposition que l'ébranlement a eu le temps de fc propager jusqu'aux appuis et de s'y réfléchir plusieurs fois jusqu'au moment de la plus grande llexion, cessent d'être celles qu'il faut appliquer lorsque la barre est très longue et que le corps 0, d'un poids relativemenfpetit, vient la heurter brusquement avec une vitesse extrêmement grande. En effet, préalablement à toute propagation, une llexion brusquement produite à l'endroit du choc peut engendrer des dilatations dangereuses, dépendant de la seule vitesse V et nullement du poids heurtant Q.

Si nous appelons p la densité de la malièrc de la barre, w= \/- la ccldrilc du son qui

s'y propage longitudinalement, cr sa section, et ''■ = \J- le rayon de gyration de celle-ci, on trouve, vu r = y ^ et P = i^Aja,,

Vr V

ce qui donne, c étant, comme au bas de la page 560, la hauteur verticale de la section, et ^m ^^ P'us gi'ande dilatation due au choc (d'après les expressions {r^ de la 11'' ligne de la même page):

\ Pour P = -Q, Q, 20,

Or M. Boussinesq, dans la noie du 10 avril 1X82 [Compte rendu, p. 1044) qui n'est qu'un extrait d'un Mémoire sur une méthode d'intégration d'une certaine classe d'équations au moyen d'intégrales définies où, sous le signey, se trouve le produit de deux fonctions arbitraires, a trouvé que la dilatation produite à ce premier moment du choc, avait pour valeur, dans le tronçon de la barre qui en reçoit le coup, quels que soient les poids P el 0,

Zy. w

OÙ -p = ^5 si la section est rectangulaire, et =: 2 si elle est circulaire ou elliptique.

Soit donc ;iQ la valeur de P pour laquelle un calcul plus prolongé que celui que nous avons

fait et cité au n" 54 aurait donné comme limite à (r'J de la page 500, | — '-^., 1 = -^ •

\ '^^' / max ^' on pourra bien, jusqu'à P = hQ, pour poser l'équation de résistance au choc, égaler à la

limite —^ des dilatations non dangereuses l'expression (ß) URiltipliéc par -: mais, quand

lu z

- excédera ii, l'on devra, quelle que soit du rosie la valeur de ce rapport, prendre invana-

bloment (::), cest-a-dire — = '— -.

On peut voir, au reste, dans une dernière Note de M. Boussinesq [Compte rendu, 17 Juillet 1882, p, 12.3), qu'il a trouvé pour l'effet de premier instant produit par le choc d'une plaque mince, une formule analogue à celle (:) du choc des tiges, et (pii expli(iue 1rs rujjlurcs se produisant instantanément et uetlomcrit. à l'endroit heui'lé, quand la vitesse du heurt d'une plaque de métal ou de verre dépasse une certaine limite.

CIIA.NGE.MEMTS ET ADDITIONS. <S97

Page 701 , entre les cinquième et quatrième lignes en remontant, ou à la fin du n" G, iijouter :

à la condition de faire passer sous les signes de différentiation, ù côté des l', le facteur s.''.

Page 714, lignes 10, 9, 8 en remontant, à la place de :

« ne produisent que ces torsions que ceux de couples »,

mettre :

« produiront très sensiblement, abstraction faite de ces torsions locales dont

nous ne nous occupons pas ici, les mêmes effets que des couples. »

Même page 714, deux dernières lignes, à la place de : « effets sur cet endroit de la plaque », mettre :

« effets généraux ou non locaux sur la plaque. »

Page 746. Substituer à la ligne 7, en remontant, ceci : L'égalité, trouvée avec signe contraii'e, pour le cas d'une charge symétriqnement répartie de la somme des efforts sur les

Page 751 , mettre au bas de la page un astérisque (*), puis cette sousnote :

Les séries doubles (///.;) et (;/l) sont celles que Xavier a données à la fin de son Mémoire autograpliié de lX'i2 et dont l'extrait, imprimé en 1.S23 au BulIcLin dr In Sor. phil., donne (au n" 10, page 101) les premiers termes, conformes à nos [n^]. La première de ces deux séries, {ni~], ne prête à aucune difliculté, vu que l'alternance des signes, indiquée par les puissances de — 1 que nous y avons introduites comme facteurs, assure la convergence des sommes partielles de ses termes vers une somme totale finie, qui ne doit pas différer beaucoup du seul premier terme ou du 1" de nos mêmes (n^).

Mais il n'en est point de même de la seconde (^/ig). Tous ses termes sont positifs; et la série

double, aisément réduite après une réunion de ces termes deux à deux, à ^Q ,

peut l'être même, si on suppose par exemple a = h et si on divise par a-, à

'■-\-n"- ^ \m''- -\- \ m'--\-^d m''--\-^lh

Or, il n'est pas difficile de reconnaître, si l'on remplace les nombres impairs m' par 1k-\-\,

Sil/ 111 \

.77 = r7( 1 + n + = + 7+ .... ) dont la 0« 0 \ loi j

valeur est, comme on sait, infinie.

Ce résultat n'a rien d'absurde ni de paradoxal si l'on fait attention que lorsqu'un poids de grandeur finie n se trouve uniformément réparti, comme on l'a supposé, sur une portion rectangle de dimensions extrêmement petites, d'une plaque, les coupes verticales de son feuillet moyen tléclii doivent, à l'endroit où elles traversent le contour de celte portion, i'ire angu/eiiA-ex et, par conséquent, avoir f/cv courbure-'^ infinies.

Les formules ci-dessus, bonnes pour donner approximativement la flcclie de courbure, ne peuvent donc pas servir à donner la courbure elle-même; et la formule (wj), soit prise entière, soit réduite à («3) ou à son premier terme, ne peut pas y servir sûrement; et il faudrait sans doute, [lour résoudre le problème de la courbure due à une charge concentrée dans un petit espace central, l'y répartir avec une intensité décroissante du centre aux bords, où son intensité s'évanouirait. C'est une recherche dont nous ne nous occuperons pas ici.