X. — X. II. — y. z. — z

et, par conséquent, les composantes de la force élastique agissant au point i sont :

Fj..(7.p..(x. — .r.) E..cr.p..(li. — ?/.) E..(r..p..(z. — z)

tj IJ Ij

Toutes les forces appliquées au point i doivent se faire équilibre. Ces forces sont, d'abord, les forces élastiques correspondant à tous les points jliésàf par des tiges; et ensuite, les forces extérieures appliquées en z, forces dont les composantes totales suivant les x, les ij, les z, peuvent être désignées par X, Y, Z.. En écrivant les équations d'équilibre, c'est-à-dire en annulant les sommes des composantes correspondantes, on n

-' ij

Dans ces équations, il n'y a d'inconnues que les grandeurs u^ u, w, entrant dans l'expression (580) des p. Si donc il y a n nœuds, il y a en tout 5n équations d'équilibre (381)quand on établit ces équations pour chacun des n nœuds.

L'on se tromperait cependant si l'on croyait pouvoir, au moyen des 3n équations (381), déterminer les 5/i inconnues îi, v, w. En effet, en ajoutant entre elles, pour tous les points f, les diverses équations X + ... =0 de la première ligne des (581), les forces intérieures

g 90. — SYSTÈMES OU LES PIÈCES In'ÉI'ROUVEINT PAS DE FLEXIONS. 869

entrant dans les ^j disparaissent comme égales et de signes opposés

j deux à deux ; et pareille disparition a lieu en ajoutant entre elles

toutes les équations de la deuxième ligne des (581) multipliées par

z. avec celles de la troisième multipliées par — ij., ce qui donne

les six combinaisons connues suivantes, où les ^ sont maintenan des sommes relatives à toutes les forces :

et où n'apparaissent plus les inconnues. Ces six équations ne sont autre chose que les conditions nécessaires pour que toutes les forces extérieures appliquées au système se fassent équilibre. Comme ces six équations ne peuvent servir en rien à la détermination des inconnues u,v, IV, il y aura toujours six de ces quantités qui resteront indéterminées.

Mais, les considérations du § 2i, établissant que a les problèmes de l'équilibre iies corps élastiques sont complètement déterminés », sont applicables ici. Nous devons, comme il y a été dit, exprimer que certains points et certaines directions, nécessaires pour fixer le système des axes coordonnés, restent invariables. Ces conditions nous donneront six nouvelles équations qui, jointes aux équations (581) suffiront pour la détermination, sans équivoque, ûqsu, y, iv.

Dans la plupart des problèmes, la question se pose un peu autrement. Ordinairement, la position de certains noeuds sera déterminée à l'avance, parce que ces nœuds sont attachés d'une manière invariable à des constructions fixes; et, alors, non seulement les équations (581) sont suffisantes pour déterminer les ii, v, w, mais même toutes n'y sont pas nécessaires. Or, il faut observer que, pour les nœuds ainsi fixés, les forces X, Y, Z ne sont pas données : elles doivent préalablement se déterminer au moyen des équations (581) correspondantes, de sorte que certaines de ces équations donneront seulement les réactions devant être exercées par les points d'appui pour produire l'immobilité des nœuds qui y sont placés.

Comme exemple simple, je traiterai le cas où une certaine force est maintenue en équilibre par plusieurs barres agissant comme arc-bou-

870 CHAP. vin. — SYSTÈMES DE TIGES OU BARRES,

tanls ou conlre-ficlies, concourant au point d'application de celte force, et ayant leurs autres extrémités absolument fixes. Je prends pour origine des coordonnées la position que le point de concours des contrefiches occupait avanirapplicalion de la force. Les coordonnées de ce point étaient zéro, et sont devenues ?/, v, w. Les autres extrémités des contre-fiches étant fixes, tous les autres ?/ , v , iv s'évanouissent, et si X, v,z sont les coordonnées de l'extrémité fixe d'une contre-fiche quelconque, l'allongement de cette lige devient, d'après (580) :

ux.-\-vy -{-iv^

' Pj = T ' '

où nous avons supprimé l'indice i, puisque cet indice ne peut s'appliquer qu'au seul point de concours (m, v,iv) de toutes les tiges. La force élastique développée dans cette contre-fiche est

E,(7. (ux. -+- vil -\- wz)

Mais les équations (381) deviennent

a.i j:ij j-,.

Z = a,^n H- (IV + r/,,?/' ;

oùX,Y, Z désignent les composantes de la force appliquée au point de réunion des contre-fiches, et où les coefficients a représentent les sommes suivantes étendues à toutes les contre-fiches :

E T.ry/

Si l'on désigne par A l'expression suivante (dite détennin;nit symétrique)

^ = (lr| r/, ->r'i(i (I (I (, a' — <i ti' — a a" ,

•'■'//.'/ -' .'/-■ -■'■ •'■.'/ •'•■'• !/;• yy •"'" --■ ■'•.'/

et par A , etc..,, les suivantes (dites ses déterminants mineurs):

§ 90. — DÉCOMl'ÛS. d'lNE force smv. UN NOMBRE QUELC. HE DIRECTIONS. 871

A =fl a — a*- ,

XX ijy :.; T-

A =fl a — a- ,

ii XX tJIJ l'J

iij xy xz -cj: yz

xz yz yx y y zx

y yx zx zy :z xy

la résolution des équations (582), ot, par suite, la solution du problème tout entier, est donnée parles équations :

■' '■ ■>!/ xz

(") En faisant la somme algébrique des projections, sur chaque tige ou contre-fiche, de ces déplacements de leur point de concours, on a raccourcissement de chacune; et en multipliant par sa section 7 ainsi que par E le quotient de cet accourcissement par la longueur de la tige, on a l'eflort loniritudinal qu'elle supporte.

C'est la solution par la mécanique pfujsiquc, ou en envisageant les corps solides tels qu'ils sont, du fameux problème de la décom.position d'une force suivant plus de deux directions dans un plan, ou plus de trois dans l'espace, problème insoluble par la mécanique abstraite, où l'on supposait les solides tous rigides, les liens incompressibles et inextensibles, etc. Navier a donné le premier exemple de cette solution en 1826 (Résumé des Leçons sur l'application de la Mécanique, n" 632, p. 296, ou 2= édition, -1803, n" 553, p. 545). Je crois avoir donné le principe général de cette méthode de détermination des intensités et des moments des réactions ou actions mutuelles inconnues, dans mon Cours, lithographie en 1858, de l'école des Ponts et Ci)aus^ées, et au § iv, n° 18, p. 955-954 de mon mémoire inséré au Compte rendu du 30 octobre 1845, où j'ai exprimé que, dans ces sortes de questions, il y a toujours autant d'équations que d'inconnues, même quand les pièces d'un système sont en même temps fléchies, étendues ou comprimées, et tordues, ainsi que Clebsch les considère au -^ 91 qui suit.

Il convient de parler ici de la septième des Leçons sur l'Élasticilé, 1852, de Lamé, intitulée Travail rlc-s- forces él astiquas. — The'orème de M. Clapeijron, où l'on remarque un § 50, p. .86, Application aux constructions, exprimant que le théorème ainsi invoqué fournira, dans l'établissement de toute construction, une relation dont on pourra faire usage pour trouver les proportions les plus convenables de ses parties.

Ce théorème du travail d'élasticité, dont Clapeyron a entretenu Lamé après y être arrivé vers 1840 à l'occasion de reciierches dynamiques sur la puissance amortissante des ressorts des v\-agons (mais théorème dont on peut faire remonter la découverte au Mémoire de Navier de 1821 sur l'équilibre des solides élastiques), n'est autre chose que celui qu'on obtient en égalant le travail des forces extérieures ayant agi sur un système jusqu'à l'état d'équilibre où ses points ont acquis des petits déplacements u, i\ w dans leà sens

rectangulaires.r, y. z, au travail qu'ont produit jusque là les tensions intérieures l^j^,

t-P,,. Cela donne, en effet, lorsqu'on néglige la pesanteur du système et qu'on appelle X»^?, \d7, Idi les composantes suivant r, ;/, = des forces d'intensités d'abord nulles qui agissent à ce même instant d'équilibre sur l'élément ds de la surface totale 7 du svstème,

en multipliant par 2 toutes les intensités moyennes — ,... ... —^ qu ont eues les forces, d'intensité initiale nulle, ayant travaillé dans cette production des déplacements de finale u, v, w, l'équation

r r r r r du dv /du r/y\n

j^i\u^^v-Vlu)d.=j j jdxdydz\^t,,-^-^ + i,jy-^^^ +'x,/(^^ + rfjJ,

872 CHAT. VIII. — SYSTÈMES DE TIGES OU BARllES.

g 91. — Système de barres avec flexions.

Le problème devient beaucoup plus compliqué, quoique nullement plus difficile en principe, lorsque les nœuds, c'est-à-dire les points de liaison des liges, ne sont plus seulement à leurs extrémités, mais se trouvent en des poinls quelconques de leur longueur. Le principe

où l'on recoiiiiait, dans son second membre, le sexlinôme trouvé plusieurs fois ci-dessus (pp. Ü2, 182, ...), qui exprime le double du potentiel ou travail d'élasticité de

l'unité de volume de l'élément clxdych; sextinôme où les six déformations -r-, .. ..

/(lu

■ --— +-p I peu vent êlre j^emplacées, à volonté, par leurs valeurs en t,.^., *j-i/ ^u

moyen des formules ou équations du premier degré qui les lient à ces tensions.

Lamé n'en fait l'application qu'à un système de tip:es prismatiques disposées de manière à n'éprouver que des pressions ou tensions longitudinales; syslème qu'il suppose, par exemple, desUné à supporter dans son état d'équilibre un poids n sur un de ses nœuds d'arliculalion, eu sorte que le premier membre, ou le double du travail extérieur, se réduit à l'us lu étant l'aflaissemcnt vertical du nœud où se trouve appliqué le poids FI.

11 suppose que le système est aussi, quant au nombre et aux combinaisons des tiges, de ceux pour lesquels toutes les tensions ou pressions longitudinales peuvent être déduites de II par les rè(jlcs de la slatiqxte élc'meiuaire; en sorte que si en conséquence, on règle, les superficies des sections transversales des tiges de manière que toutes supportent les mênjes tensions ou pressions limites P.^ ou Rq' par unité de ces sections (note du § 57, n" 11), l'on aura, en divisant par II, l'affaissement w égal à une fonction de constantes connues et des angles d'inclinaison dos tiges les unes sur les autres. D'où il suivra qu'en égalant la dillérentielle totale de w à zéro, l'on aura des équations propres à déierininer ces angles de manière que i« soit un minimum, ou que le système ait ce que Lamé appelle le maximum de stabilité rckiûycmnxi à son objet qui est de supporter le poids II. Et il en fait l'application à un systèuic triangulaire isocèle dont l'angle au sommet est l'inconnue, qu'il détermine de manière à satistaire à cette condition do %v minimum.

Kous avons dû mentionner et analyser ce passage remarqué de rilluslre auteur des Leçons de 18.j2. Mais, bien que les considérations de travail et de potentiel soient fécondes et qu'on puisse espérer, de leur emploi, d'autres exemples utiles que ceux qui ont été indiqués ci-dessus (>otcs des t^,'^ 28,41), .. . ) nous pensons que, dans la question qui lait le sujet du présent g 90, l'emploi pur et direct, tanlôt, quand cela sera possible, de ce que Lamé appelle les règles ordinaires de la statique (que divers auteurs récents de l'étranger ou do France ont réduit à dos opérations graphiques), tantôt, quand il le faudra, du procédé bien plus général qr.e Cb'bscb vient d'exposer, donnera jjIus simplement et plus direclement que ces cor.sidoralions là, les expressions des déplacements », r, k de points (pielconques ; expressions que l'on pourra ensuite soumettre à des conditions de mininunn ou toutes autres pour déterminer en conséquence les longueurs ou inclinaisons mutuelles à donner aux pièces.

L'utilité de l'emploi du potentiel, conseillé ainsi par Lame, ne pourrait être réelle connue sinqililication dans les problèuies sur les systèmes articulés, dont il s'agit, que si l'on pouvait admettre, ainsi qu'il paraît le faire, les mômes limites pour les pressions que pour les tensions longitudinales des pièces, c'est-à-dire R'^ = Rq, car alors le travail serait, dans un syslème d'égale résistance, proportionnel au volume total, loi simple snsceplilile peut-être de donner quelque facilité jjour traiter certaines questions. Mais on a vu à la Note du ?î 28 que l'admission de l'égalité approchée de R'q à R^ ne pourra être, et seulement pour certains bois, qu'exceptionnelle; en sorte que le procédé direct dont nous venons de parler devra toujours êti'c préléré.

§ 9i . — SYSTÈMES OU LES PIÈCES ÉPROLVEIST DES FLEXIONS 875

général à suivre dans ce cas consistera à traiter d'abord comme connus les déplacements des nœuds, puis à déterminer, d'après ces déplacements, les forces élastiques produites dans les tiges, forces qui sont la mesure des réactions qui s'exercent aux nœuds; et enfin, à écrire, pour chaque nœud, les équations d'équilibre entre les forces extérieures qui y sont appliquées et ces forces qui sont dues à l'élasticité de la matière. Ces équations d'équilibre suffiront exactement à déterminer les déplacements, alors considérés comme des inconnues.

Tout le problème se ramène, de cette manière, à la solution préalable de la question fondamentale suivante :

Déterminer les forces qui doivent êlre appliquées en des points donnés d'une barre , pour qu'elle soit fléchie de manière que ces poinls subissent des déplacements donnes.

Cette question est en quelque sorte l'inverse du problème qui fait l'objet du § 87, et elle se résout facilement à l'aide des formules données dans»ce §.

Pour y ramener tout, prenons pour origine d'un nouveau système de coordonnées x', y', z\ une des extrémités de la barre particulièrement considérée; pour axe des z\ l'axe môme de la barre, et pour axes des x' et des tj' les doux axes principaux d'inertie de sa section transversale. Supposons, eu égard à la position de la tige, que ce nouveau système d'axes soit rattaché au système d'axes fixes x, y, z, par les équations :

où ç, •/], C sont les coordonnées de l'extrémité de la tige qui a été prise pour origine des coordonnées x\ y' , z' \ et a, ß, sont les cosinus des angles formés par les axes a,-', ?/',:;•' avec les axes x,y,z, (voir p. 417). Pour exprimer ce qui a lieu après lu flexion, il faut simplement remplacer .r, ^', etc par x -\- u , x' -\- u' ; el si

l'on retranche les équations précédentes de celles qui sont ainsi obtenues, il reste :

ou bien encore, en nmltipliantces équations respectivement, une première fois par a^, [î^, 7^ ensuite par a^.ßjiy,, puis par a, ß, 7, et additionnant chaque fois en tenant compte des 1 dations générales et con-

^:!=«ä+^'^Vh^z;,

Y.-=?.^; + ßj;-f-ßZ^

Y^=[?^x;+/3j;+ßz;,

z> = TÄ+Tj;-+-yz;,

z,=T^x;+yj; + Tz;,

874 ClIAP. VIII. SYSTÈMES DE TIGES OU BARRES.

nues (181), (182) du § i9, p. 419, entre les neuf cosinus, l'on obtient réciproquement :

(585) ?//=^a,// + ß,r + yj?(;, y' ^ oi,u -{-{i^v +y^iv , w' =: cM-+-p> +yw.

Dans la tige considérée, les nœuds 1, 2 n, dont le dernier

est une deuxième extrémité de la tige, sont placés aux distances

^1' h ~^ ^2' ^1 + ^2 + 4- / , de l'autre extrémité qui a été

choisie pour origine. En ces points se développent des forces élastiques dont les composantes suivant les axes x', y\ ;' seront appelées

111 2 2 2' nun

Les forces décomposées suivant les axes fixes x, y/, z donnent les composantes :

et ainsi de suite.

On voit immédiatement comment ces forces intérieures, ou de réaction élastique, doivent entrer dans les équations d'équilibre. Représentons par Aj, Bj, C^; A,, B^, C^; les composantes des forces

extérieures appliquées aux divers nœuds l,2,...?i. Comme ces forces doivent faire équilibre, sur chacun d'eux, aux forces élastiques qui y agissent, il faudra, pour chaque nœud, égaler à zéro la somme de chacune des composantes A, B, Cdes forces extérieures et des composantes correspondantes X, Y, Z des forces élastiques des tiges passant parce nœud. On aura de cette manière, pour notre question actuelle, les équations générales de l'équilibre, analogues à celles (381) p. 868 du problème du g 90, qui précède celui-ci.

Arrêtons-nous sur la marche et l'ensemble de la solution de notre présente question. Dans les équations générales d'équilibre, établies comme il vient d'être dit, les déplacements ?/, v, wsont bien les inconnues ; mais ces équations, avec les forces données A, B, C, ne contiennent encore, en fait d'inconnues, que les forces X, Y, Z; celles-ci sont exprimables d'ahord, au moyen des (584) par les X', Y', Z'; puis les X', Y', Z' peuvent l'être par les 7//, v\ iv' ; entin au moyen des (r)85), les ?/', i', î// sont à exprimer parles véritables et définitives inconnues u, 4', IV du problème du présont §. On voit que tout est ramené