TT

quement depuis le centre jusqu'au bord, où elle s'annule, l'enfoncement w décroît aussi, mais seulement dans le rapport de ök à 4 ou de 12 à 5 environ, non jusqu'à zéro. 11 n'y a donc pas même une proportionnalité

,/p approchée, aux divers points, entre la pression par unité d'aire, -y- ou p, et le

déplacement éprouvé w. Du reste, une telle proportionnalité exigerait l'annulation de »'immédiatement au dehors de la région d'application, là où w,

. , ... i + 2u rdY

exprime comme ailleurs par . ' j — , est presque aussi grand que

sur le bord même.

6. Comment ne distribue la pression exercée à la surface, lorsqu'elle est produite par le contact d'un corps dur de forme connue. — J'ai supposé, dans le numéro précédent, qu'on se donnait les pressions exercées aux divers points de la surface et qu'on cherchait la forme et la position prises par celle-ci ou, ce qui revient au même, les déplacements w qu'éprouvent tous ses points dans le sens qui lui est normal. Mais, comme il a été dit au n° 5 (p. 585), le problème de l'équilibre ne serait pas moins déterminé, si l'on se donnait, sur des parties désignées quelconques de la surface, le déplacement w au lieu de p ou p,. Supposons, par exemple, qu'on demande de faire acquérir à la région comprimée, pour ordonnées verticales w, celles qu'expriment les formules (24), (25), (w27), (29), (52), (">4j : alors les pressions exercées, ps (par unité d'aire), devront nécessairement être prises égales aux valeurs correspondantes de p,

1 2 (lif — 11^) 2R3

\ 2-HlV/Rä R2' Klr.ab\ a- b*J

P'ailleurs, so donner w sur toute la surface comprimée, c'est se donner à la fois : 1 le déplacement vertical de Tun des points, comme, par exemple, l'enfoncement u:0 éprouvé par le centre, 2U et, de plus, l'excédant w0 — v:, lequel définit la forme, ainsi que l'orientation (ou mieux les deux inclinaisons suivant les as et les //). prises par la surface.

Imaginons actuellement que l'on connaisse, d'une part, la pression totale

598 chap. m. — note du § 46. — sols élastiques :

exercée P, d'autre part, la forme et les inclinaisons que doit recevoir la surface comprimée, c'est-à-dire l'excès (positif ou négatif), «<0 — u\ de l'abaissement du centre sur celui de tout autre point, et que l'on demande le mode de distribution de la pression P ainsi que l'abaissement v0 du centre. On cherchera d'abord quelles pressions;;,, positives ou négatives, produiraient, aux divers points de la région d'application donnée, des enfoncements égaux à tu — iv0; problème déterminé, comme on vient de voir. Soit P0 la somme des pressions ainsi définies, qui donnent à la région comprimée la forme el les pentes qu'on veut qu'elle prenne, mais sans déplacer aucunement son centre. En retranchant de la pression donnée P cette somme P0, on sera évidemment ramené, vu la forme linéaire des équations, à un problème plus simple, où il s'agira de répartir ou d'employer la pression en excédant, P — P0, sur la région d'application donnée, de manière à imprimer à celle-ci des déplacements ayant leur composante verticale ?(\, constante dans toute son étendue (puisque les différences u^ — iv auront déjà acquis leurs valeurs définitives). Or ce nouveau problème est également déterminé, par le fait même qu'il l'est dans le cas inverse où l'on se donne iv0 et où l'on cherche P — P^ En effet, vu encore la forme linéaire des équations, les déplacements u, v, w en tous les points du corps, ainsi que leurs dérivées, et, par suite, les valeurs de p. p'[ p , varieront

partout dans un même rapport quelconque, si l'on fait grandir ou décroître dans ce rapport le déplacement w sur la partie de la surface où on se le donne, c'est-à-dire si l'on fait varier arbitrairement wu; et il n'y a qu'une valeur de »'„pour laquelle la pression totale correspondante égale P — P0.

Ainsi, quand on connaît la forme et la disposition que doit prendre la surface comprimée, ainsi que la grandeur de la pression totale exercée, le problème n'admet encore qu'une solution; et il se dédouble en deux plus simples, dans lesquels on se donnerait l'abaissement w éprouvé par chaque point de la région d'application.

Or ce problème est justement celui qui se présente quand on demande comment doit se distribuer, entre les divers points de sa base d'appui, le poids d'un corps dur et poli, posé sur un sol élastique horizontal, ou comment un tel corps, modérément poussé par une force normale contre un solide élastique de dimensions beaucoup plus grandes que les siennes, presse ce'dernier aux divers endroits de la surface de contact. En effet, dans l'un et l'autre cas, la base du corps dur conserve sens.iblement sa forme (donnée) et la région directement comprimée du sol ou du corps élastique, bien plus ilexible par hypothèse, se moule sur cette base. De plus, à cause du poli supposé, ou de l'absence de frottements, les pressions supportées par le sol ou corps élastique lui sont normales, c'est-à-dire se réduisent à la composante p.; et l'on connaît, en somme, la pression totale exercée, tant en grandeur qu'en position, ainsi que la forme prisé par la surface de contact, Nmis admettons, pour plus dé simplicité, dans la figure que forment la surface de contact et le point d'application de la pression P, une symétrie suffisante pour qu'il n'y "il à s'occuper d'aucune rotation, c'est-à-dire pour que le

RÉPARTITION ü'u.N TOIDS A LEUR SURFACE. 599

mode d'inclinaison ou de disposition de la surface de contact soit parfaitement connu (*).

Donc, en traitant la question abordée ici, on se trouvera avoir résolu, pour les cas les plus simples et par conséquent les plus intéressants, le célèbre problème de philosophie naturelle relatif aux pressions qu'exercent l'un sur l'autre deux corps en contact, ou relatif, notamment, à la manière dont le poids d'un corps, supporté par un sol horizontal, se distribue entre les divers éléments de sa base d'appui, problème posé depuis un siècle par d'Alembert et Euler, mais qui, à ma connaissance, avait résisté jusqu'à ce jour aux efforts des géomètres.

Si. en particulier, la pression totale P vaut un (ou est choisie pour unité) et que la formule donnée de iv — w0, définissant la forme que prend sa surface d'application primitivement plane, se trouve être une de celles qui ont été calculées au n° précédent et auxquelles correspondent les expressions (2-4), (25), (27), (29), (52), (54) de w, ou des combinaisons linéaires de celles-là, les modes cherchés de répartition de la pression seront forcément ceux qu'expriment les valeurs de p prises alors pour point de départ et reproduites dans la formule (56), ou des combinaisons linéaires de ces valeurs : la pression s'y trouvera donc distribuée, suivant les cas, uniformément, parabôliquement, etc.

Par exemple, quand un disque circulaire solide, posé sur un sol horizontal élastique, reçoit des poids dont la résultante (y compris le sien propre) passe par son centre, la base de ce disque exerce sur le sol des pressions réparties d'après la formule (51) : la charge s'y distribue de telle manière que, si, d'un point situé à une distance infinie au-dessus du disque, on la regarde se projeter, en perspective, sur une calotte demi-sphérique ayant pour base la base même du disque, elle sera uniformément répartie à la surface de la calotte. La pression par unité d'aire croit donc quand on passe du centre du cercle de contact à sa circonférence, où elle deviendrait même infinie si le disque n'y fléchissait pas et que les limites d'élasticité du sol n'y fussent pas dépassées. Il ne saurait en être autrement dans l'hypothèse d'une parfaite horizontalité conservée par le sol jusqu'au bord même du disque; car, d'après ce qui a été dit un peu après la formule (50 bis) p. 595, il suffit, pour toute forme convexe du contour de la région d'application, que la pression p~ ou p (par unité d'aire) reste finie sur ce contour pour que l'enfoncement w diminue à mesure qu'on en

(*) S'il n'en était pas ainsi, l'expression de tv0 — w comprendrait, outre une partie connue, dépendant de la forme du corps dur en contact avec le solide élastique, un binôme tel que/>(/ — qx, correspondant à deux des trois petites rotations inconnues qu'éprouverait ce corps autour des trois axes, savoir, aux deux rotations p, q, effectuées autour des axes des x et des y parallèles à la suriace. Et ces deux inconnues p, q, qui fixent les inclinaisons de la "base, se détermineraient par les conditions que le point d'application de la résultante P eut ses deux coordonnées .r, y égales à deux quantités connues.

En résumé, l'expression de w contient une partie, w„ -j- qx — py, que ne définit pas la forme du corps dur, et qui, variant avec la force P, dépend bien des trois constantes arbitraires qu'il faut pour qu'on puisse se donner à volonté cette force en grandeur et en position.

400 CHAP. III. — NOTE DU g 46. — CORPS massifs :

approche, lorsqu'on est sur le point de l'atteindre en venant de l'intérieur. Donc, la forme plane exigerait, pour être maintenue jusqu'au bord même, une pression (exercée par l'arête vive) supérieure à toutes celles que peuvent comporter les degrés de résistance du sol élastique et du disque placé au-dessus. En réalité, celui-ci y fléchit sensiblement, sur une largeur d'autant plus petite que le corps est plus dur en comparaison du sol, et, par le fait même, les pressions, rapportées à l'unité d'aire, y sont bien moindres que ne l'indique la formule (51). Il y a donc, sur le contour, une zone étroite, ne supportant de toutes manières [même avec le mode de distribution (51)] qu'une fraction insignifiante du poids total et, par suite, sans influence appréciable en dehors d'elle, où les pressions sont réparties autrement que d'après cette formule simple (51). Bien loin d'y grandir jusqu'à l'infini, la pression par unité d'aire y tend au contraire vers zéro à mesure qu'on s'approche du bord, puisqu'elle est nulle dès qu'on sort de la surface de contact.

Une telle zone, siège de perturbation* locales ou d'un état spécial plus complexe que celui de l'ensemble, s'observe aux limites de la région d'application, toutes les fois que la pression pz se trouverait y passer brusquement, sans ces perturbations, d'une valeur plus ou moins considérable à la valeur nulle qu'elle a hors du contour. L'ingénieur et le physicien en observent, du reste, d'analogues dans une infinité de cas, par exemple aux extrémités des tiges et sur le bord des plaques, là où l'état physique varie aussi rapidement dans le sens des grandes dimensions que dans le sens des petites (contrairement à ce que suppose, au fond, la théorie classique de ces corps).

7. Équilibre d'élasticité d'un solide indéfini, sollicité dans une certaine étendue par <lcs forces extérieures données. — Revenons maintenant aux deux types d'intégrales (14) et (li bis), auxquels nous devons tous les résultats précédents, et rattachons-les à un type unique, plus général, qui

nous conduise à la solution d'autres problèmes. Si nous observons que ;- ^

f dm , , ..x„ .., „„„ (' f ,..,... t „„„„; „„ __, |»„„,

ou

Ç — n'est autre chose que-^ / rdni, et aussi, comme nous l'avons

vu dans la première partie du n" 2, que -~j- ou / — =-A2 1 rdm, les équations (14) pourront s'écrire

0s j rdm 9* j rdm £* j rdm

et elles seront de la forme

(58) u— — %-§-, v = — ts-t^, w = — ^ + — T Aa<p,

v ' VXdZ , IJ, l i] z- k + [J.

où y désignera le potentiel direct / rdm. Quant au second type, (14 bis), il

EITETS D'UNE FORCE APPLIQUÉE à I.KI'li INTÉRIEUR. 401

est aussi compris dans la même forme (58), mais en y posant

[3| bis) ?= fy—hog{z + r)]dh,

d'où

■ ■'■ J r + z t y J r- : 0z j nX '

et en observant que le paramètre différentiel du second ordre a,o est alors nul, Par suite, toute combinaison linéaire des deux types (44) et (14 bi*\, par exemple, le type (17), rentre encore dans la même formé (58).

Voyons donc, eu appelant o une fonction quelconque de x, y, «, ce que deviennent les équations indéfinies les plus générales de l'équilibre d'un solide isotrope et homogène,

(59) e>.+ u.)l -- + m.A.,m + X = 0. (>. + »)l- -(/.Ä2i' + Y = 0? (X+|j.)i-î + aAsW+Z=0, t .V ' \\ ( z

où X, Y. Z désignent les composantes de l'action extérieure s'cxerçant sui[ l'unité de vclunie, quand on y porte les valeurs (3£) de u, v, w. Ces valeurs donnent d'abord

(40) M„?x^ijT, et elles transforment ensuite, immédiatement, les équations (59) en cell

(il) X=rO , Y=0 , Z = — u.''. + "'"' AA? .

Donc, les expressions (58) de u, i\ w satisfont axàc équations indéfinies de l'équilibre, pourvu qu'il .<?' ère ree sur la masse du èùrps\ nar unité de mlume, des forées extérieures parallèles à l'axe des z et égales en chaque point à \+%

— '/■ i ■ ' AäVf-

Si l'on prend pour -j, comme dans le premier lype (57), le potentiel direct f rdui, relatif à une matière, fictive fdm, mais en supposant celle-ci disséminée dans un espace fini à trois dimensions, avec une densité p (x, y, z) au point quelconque [x, y, s), et non plus étalée en couche mince sur le plan des xy, l'expression AäA,o vaudra — 8-xpix, y, z), d'après ce qu'on a vu dans la première partie du n° 2, et l'on aura

Z = S-m. — : l.r, ii, s) ;

en sorte que cette force Z pourra être une fonction arbitraire de x, y, z, pourvu qu'on prenne pour la densité p (.r, y, :•) de la masse fictive l'expres-

sion „' ' 5 — Par suite, la partie, dm] de cette masse, qui remplit un vo-

À -f- 2ft Sttu. ' 'Il

1 + %. #âs<B a % \.,-j.

dz

>. -h a a Z, >. -j- a dz

402 CHAP. m. NOTE DU l 46. — CORPS MASSIFS

lume élémentaire quelconque dti de l'espace, égalera le produit du facteur

constant '" par la force extérieure Zrfcj = rfF effectivement appliquée

à la partie du corps occupant le même élément de volume.

En résumé, quand un corps élastique est sollicité, dans une certaine partie desamasse, par une action extérieure, F, composée de forces élémentaires dV parallèles à Vaxe des z, si Von appelle

r = \/ (X-Xlf + (y -Vl? + (z-zrf

les distances d'un point quelconque (x, y, z) de l'espace aux divers point* d'application donnés (x{, ylt z±) de ces forces dF, on aura des expressions des petits déplacements u, v, w qui satisferont aux équations indéfinies de l'équi-

/f dm

-lX+[tg»/rdF __ — 1 x+>g>gJ>dF =-1 x + y- ê*Jrd¥ 1 fd¥ (42)M— 8ÏJ7.X + V dxdz tV~ 8^X + 2j* dydi ,W — $™.l + ïy. ë)zs \-?.J r '

Or, ces expressions vérifient également les conditions, aux limites, qu'on a dans le cas d'un solide indéfini dont les points infiniment éloignés seraient maintenus fixes. En effet, on verrait, en raisonnant comme il a été fait au commencement du n° 5, que ces conditions reviennent à prendre u, v, w de

l'ordre de - aux très grandes distances t de l'origine. Et c est justement ce

qui a lieu avec les expressions (42), lesquelles, ne contenant sous les signes / que des dérivées partielles secondes de r en x, y, z, sont du degré — 1 par rapport à x — x{, y — ylt z — zy, car r est homogène du premier degré en x — x{, y — ylt z — zl% et, par suite, ses dérivées premières sont aussi homogènes, mais du degré zéro, et ses dérivées secondes, homogènes du degré — 1 . Enfin, comme le procédé de démonstration indiqué après les formules (13) prouve que cet ensemble de conditions, soit indéfinies, soit aux limites, détermine complètement u, v, w, le* formules (42) sont bien celles qui résolvent le problème de l'équilibre d'un solide indéfini, sollicité dans sa masse par des forces extérieures ayant toutes une même direction donnée, choisie pour celle des z.

Et le cas d'un corps indéfini, supportant dans certaines parties de sa masse des forces (X, Y, Z) absolument quelconques, se ramène immédiatement au précédent; car il suffit d'y superposer trois systèmes analogues de valeurs de u, v, w, correspondant aux cas où les forces extérieures se réduisent soit à leurs composantes X, soit à leurs composantes Y, soit à leurs composantes Z.

MM. William Thomson et Tait, aux nos 730 et 731 de leur beau Traité de philosophie naturelle, étaient, parvenus par une autre voie, beaucoup plus pénible, à la solution de ce problème. Ils avaient obtenu, au lieu des formules (42) , celles-ci,