EFFETS D'UNE FORCE APPLIQUÉE A I.KIT! INTÉRIEUR. 4ÖS
du peut cercle de la couche le long duquel ces molécules sont ränget s,
l III , . '/ -h u (IV
la moyenne en question sera celle du produit ; ~ -r- cos *lv. mu a,
A-i-L'v. lti-v/'
pour a variable de U à -, divisée par la valeur moyenne simultanée de sin a, ou, encore, le quotient des deux intégrales
X-f-tt JF C -, • , ''•+'■>■ d$ / - V '>■+»■ d$ * . a 77- / COSZasittorfa=. ±- t- cosx — = cos-a ) = — . r~Q-, „»
et
/sinou2x= — (cos a) = 2 il '0
Ainsi, dans le mouvement d'éparpillement considéré, le centre de gravité de la couche éprouve un recul, c'est-à-dire un transport vers les : négatifs,
. "k-\-u dF „ . . . , l-hu (IV
egal a. 4- -^ Ce mouvement se composant avec le recul ; ;- — — ,
0 j.-\-Hjl 4S-y.r r /. — -ly. ltiffur*
commun à toute la couche, pour produire les glissements totaux de sa matière
sur sa surface sphèrique, il en résulte que, par l'effet de-ces glissements, le
centre de gravité de la couche se porte en arrière de son centre de figure de la
. X-f-u dF w j 1 *- 1 4- , àŒ I , A
quantité £- rs — . \u donc la translation en avant -7 du centre de
1 X-f-2f£ 12ïrpr 4itftr
figure lui-même, le déplacement moyen éprouvé par la matière de la
couche, dans le sens de la force dF, est la différence de ces deux quantités,
9 À 1 V //F différence égale à ^- — — . En la multipliant par le volume primitif
X4-2p tënpr
\-r-dr de la couche, intégrant de r = 0 à r=r et divisant le résultat par le
volume tit3 de la sphère massive que limite la couche, il viendra enfin,
pour la valeur du déplacement moyen imprimé, dans le sens de la force, à
toute la matière de cette sphère, — — ^- g- — j quantité un peu supérieure
dV
au déplacement même, = , du centre de figure de cette sphère, qui. connue
r 4-xr r ■
on a vu, conserve sa forme et son ravon.
UHllilMN A l,\ .\0TL FINALE DO § 46. 405 (l
ADDITION A LA NUTE HNALE Dû S 4ü.
De la transmission, dans un solide élastique en équilibre, d'une pression, exercée sur une très petite partie de sa surface.
Parmi les questions concernant la manière dont les actions exercées à la surlace des solides en équilibre se transmettent dans leur intérieur, une des plus simples, et même la première qui se présente à l'esprit, est celle des pressions qu'on fait naître dans un corps, lorsqu'on le touche en un de ses points, ou plus exactement sur une très petite partie de sa surface, tandis que les parties éloignées de celle-là sont maintenues immobiles. La pression ainsi exercée n'ayant d'effets sensibles que dans le voisinage de sa région d'application, c'est-à-dire dans une étendue totale où la surface ne s'écarte pas, d'une manière appréciable, d'un de ses plans tangents, tout se passe, à fort peu près, comme si le corps, limité d'un côté par le plan dont il s'agit, était indéfini suivant tous les autres sens, et rendu fixe en tous ses points indéfiniment distants de celui qui est directement comprimé, ou auquel on peut supposer réduite la légion d'application.
Les formules qui résolvent ce problème sont donc celles du n" 4 de la note qui précède (p. 380). Lu particulier, si l'on adopte le point d'application de la pression élémentaire exercée dV pour origine, et la normale suivant laquelle cette pression est dirigée pour axe des ;, les formules (18), p. 587, exprimeront les petits déplacements d'équilibre //., v, w. Or si l'on considère, dans le corps, des couches de matière parallèles à sa surface, rien n'est plus simple que de calculer, au moyen des valeurs de u: v, w, la pression qu'exerce chacune de ces couches sur celle qui la supporte ou qui est contiguë et plus profonde. En désignant par pr, p , pz les trois composantes par unité d'aire, en un point quelconque, de cette pression, les formules (15), p. 585, donneront, après substitution des valeurs de u, v, w et tous calculs faits
5rfP a8 x fr/P z3 y 3dP z* z
*'' ~ 2n r* r ' *'u "2lT r* r ' - HtT r* ï °
Donc, la pression normale dV, exercée en un point de la surface, se transmet, de chaque couche à la suivante, sous la forme de pressions obliques, dirîqées
exactement a V opposé de ce point, et égales, par imité d'aire, à , c'est-
à-dire proportionnelles à la pression extérieure donnée dP et en raison composée inverse du carré de la distance r au même point et du carré du rapport de cette distance à la profondeur z de la couche.
40(5 a chai'. 111. — .nom; m 3 itli. — cours massifs.
Il faut, pour l'équilibre d'un cylindre d'un très grand rayon décrit autour de la force extérieure dV comme axe, que cette pression dV, en se transmettant de couche en couche, garde son intensité totale ; car les pressions appliquées aux deux hases du cylindre doivent à elles seules se neutraliser, celles qui le sont à sa suriace convexe étant, par unité d'aire, comparables à l'inverse du carré de son rayon et n'ayant par suite, sur toute la surface convexe, qui est seulement de l'ordre du même rayon, qu'une résultante négligeable. Et, en effet, sur la couche située à la profondeur ;•, l'intensité
> ce
totale de la pression exercée est 2ä I pzrdr, vu que celle que supporte,
en tout, une couronne élémentaire, ayant pour rayon intérieur \[ï^ — z- et pour largeur d y//-2 — z2, vaut le produit de p, par l'aire
lJ~ \r- — &d y/V- — s2 = ml (r — ;"-) = '■Ir.rdr
de la couronne, produit qui n'est autre que %itp rdr, où le rayon s/''" — s2 peut varier de zéro à l'infini, et par suite, r, de :• à ^ . Or, en substituant
à p sa valeur -r— -=, l'intégration donne bien
a« f~prdr=dB*'(-ty"
dV.
Les formules trouvées pour px, p pz ne contiennent aucun coefficient d'élasticité: en sorte que la transmission des pressions à partir de la surface, sur les couches de matière qui lui sont parallèles, se fait de la même manière dans tous les solides isotropes. Il n'en serait plus de même sur des couches ayant d'autres directions.
Observons que les valeurs ci-dessus de pt, p , p, ne s'appliquent qu'à des distances r de la surface directement touchée très grandes par rapport à ses dimensions. Pour les points qui en sont voisins, il faut, comme on a dit vers le haut de la page 389, décomposer cette surface en une infinité d'éléments, sur chacun desquels s'exercera une certaine fraction, infiniment petite, delà pression donnée r/P, et former les expressions totales de //, v, w, px, p , p., par voie d'intégration, en ajoutant respectivement leurs valeurs partielles, relatives à ces diverses pressions élémentaires, et (pie fourniront les formules précédentes. En observant que ces formules reviennent à celles-ci
^ d-' lus (s + <•) dV j. fH»n Q + r)dl>
l>'~2-.~ d.vilï- '. py~'2n dyd& '
IT f/:- (log (s + /•)'/!' f/-lon(:. I- )rd\>
on aura
px — ^ 77T77T- ' py ~ shs dydz- ' p* s« lz 'i :* h]
transmission !» i ■>>!•; force appliquée a leur surface. i\)i<i
$ désignant le potentiel logarithmique I log (3 -+- r) di\ A une distance
infiniment petite ;- de la surface, ces trois formules donneront, vu les relations (U) de la page 581,
dii.fji) dp (x,y) , .
1 ' r/ ./• ' .'/ dy - l v v'
où p (.',//! désigne, comme on voit, la fonction arbitraire de x et ij qui représente, par unité d'aire, les pressions appliquées à la surface.
