CHAPITRE IV

; 47. — Bases générales de la théorie des corps dont une ou deux dimensions sont très petites.

C'est à Kirchhoff que l'on doit la théorie rigoureuse de la déformation des corps élastiques dont une ou deux des dimens'ons deviennent très petites. Il en a développé les principes dans son Mémoire de l'équilibre et du mouvement d'une tige élastique infiniment mince (Journal de Crelle, 1860, vol. 56). Dans ce qui va suivre, sa méthode sera exposée avec quelques modifications, et bornée, comme il a été l'ait dans toute la première partie, à l'étude des corps dont l'élasticité, supposée la même dans tous les sens tranversaux, ne présente des différences que pour le sens de la longueur des tiges ou pour celui de l'épaisseur des plaques.

On a déjà dit ci-dessus (§ 13), que si un corps a des dimensions très petites dans une direction donnée quelconque, on ne peut plus admettre que les déplacements de tous ses poinls restent petits dans l'espace, même en supposant très petits tous les déplacements qui sont relatifs à l'intérieur d'un parallélépipède élémentaire quelconque ; déplacements dont les proportions dépendent des six déformations élémentaires désignées par S , 3 , 3 , g , g , g . Imaginons le corps

y z ys zx xy

entier divisé en petites parties ; par exemple, une tige, en une série de tronçons ou petites tiges ayant chacune pour section transversale la section très petite de la tige donnée, et pour longueurs les éléments de son axe longitudinal ; une plaque, divisée en petits prismes dont la hauteur soit l'épaisseur très petite de la plaque et dont les

sections transversales soient les éléments superficiels de sa section moyenne. Dans l'un comme dans l'autre cas, ces diverses parties peuvent ne subir en elles-mêmes que de 1res petites déformations, mais les déplacements relatifs des points des éléments séparés peuvent s'ajouter de manière que le déplacement, dans l'espace, d'un certain nombre d'entre eux, devienne très important.

Mais les petits déplacements intérieurs eux-mêmes peuvent acquérir alors un caractère un peu différent de celui qu'ils ont dans les exemples considérés jusqu'ici. Dans une tige dont les dimensions transversales sont unies, les flexions ou torsions restent toujours très petites, attendu que les constantes, telles que les moments d'inertie des sections, auxquelles ces flexions ou torsions sont inversement proportionnelles, peuvent, multipliées par les coefficients d'élasticité E ou G, donner des produits très grands. Cela n'a plus lieu lorsque les dimensions deviennent très petites dans une certaine direction ; car cette petitesse des dimensions introduit dans les formules de très petits facteurs, de l'ordre de grandeur des dimensions elles-mêmes ; par conséquent les constantes, dont les inverses déterminent les déplacements, peuvent recevoir de très grandes valeurs sans que les déplacements relatifs des points de chaque élément cessent d'être très petits; et l'on ne peut plus appliquer aux corps entiers les équations qui ont été trouvées en négligeant les carrés et les produits des déplacements, ainsi que de leurs quotients différentiels. Mais ces équations précédemment établies sont encore applicables aux déplacements intérieurs des éléments en lesquels nous venons de supposer les corps décomposés.

L'application de ces équations à des éléments très petits donne l'occasion de faire usage d'un principe énoncé par Kircliboff et de l'exactitude duquel on peut facilement se convaincre. Ce principe, qui forme l'une des bases essentielles de sa tbéorie, est le suivant :

Les déplacements relatifs des divers points d'un corps de dimensions très petites ne dépendent que des forces qui agissent sur sa surface, et non de celles qui agissent sur son intérieur, si Von admet que ces dernières ne sont pas extraordinai renient grandes pour i unité de volume par rapport aux premières pour F unité de sui'face.

On peut établir ce principe par la considération suivante. Admettons que l'intensité des forces agissant sur la face extérieure, ou sur la surface enveloppe du corps, rapportée à [unité superficielle, et celle des forces agissant sur l'intérieur, rapportée à Vanité de volume, soient comparables. La grandeur totale de la force agissant sur la surface du petit corps est proportionnelle à cette surface, et reçoit, en tout cas, un

£47. — PP.INC1PG DE KIIU'.HHOIT. 409

facteur qui est de l'ordre de grandeur de cette même surface, divisée par l'unité superficielle, tandis que la grandeur de la force agissant à l'intérieur reçoit un facteur qui est de l'ordre de grandeur du volume, divisé par l'unité de Volume. Si donc les dimensions du petit corps sont des quantités du premier ordre de petitesse, la surface sera du second ordre, et le volume, du troisième. Le facteur géométrique correspondant aux forces appliquées à l'extérieur est, par suite, d'un ordre de petitesse moins élevé que celui des forces appliquées à l'intérieur, si ces dernières ne sont pas, par unité de volume, très grandes en intensité, relativement aux premières, estimées par unité de superficie. L'action à l'intérieur devient ainsi très petite comparativement à l'autre et peut être négligée. Le même principe a déjà été mis en usage au commencement de cet ouvrage, lorsque l'on a considéré les déplacements internes d'un élément, comme dépendant seulement des tensions agissant sur sa surface, et non des forces agissant sur son intérieur. Ce qui a été appliqué alors à des corpj de dimensions infiniment petites est étendu ici aux corps dont les dimensions sont très petites; et, toujours d'après ce même principe, on néglige les grandeurs qui contiennent des puissances supérieures des petites dimensions par rapport à celles qui contiennent les puissances de degré inférieur de ces mêmes dimensions.

Les états intérieurs des éléments dépendent donc seulement des forces qui agissent sur leurs surfaces. Supposons qu'aucune force ne soit appliquée sur la surlace libre d'un corps; il n'y aura, pour déterminer les états intérieurs de chacun de ses éléments, que les tensions provenant des éléments voisins. Alors, l'action des forces appliquées sur l'intérieur ne sera plus négligeable ; car imaginons un morceau de dimensions finies détaché du corps, les tensions qui unissent ce morceau aux parties voisines sont en relation nécessaiie avec les forces appliquées à son intérieur, et auxquelles elles doivent faire équilibre.

§ 48. — Tige mince (ressort, fil de métal) primitivement rectiligne mais ayant une section transversale de forme quelconque. Considération des éléments ou tronçons très courts solidaires entre eux, dans lesquels on peut la concevoir divisée.

Je vais d'abord m'occuper des corps dont deux dimensions sont très petites par rapport à la troisième, par conséquent des tiges minces. Je considérerai, eu premier lieu, les tiges originairement reefilignes et ayant partout la même section transversale. On a déjà supposé

ci-dessus de pareilles tiges formées, dans le sens de leur longueur, de petits tronçons ou cylindres dont la surface latérale ne supporte aucune action extérieure, et qui ne sont soumis, à l'intérieur, qu'à des forces susceptibles d'être négligées; mais sur les bases planes desquels agissent les forces élastiques émanant des tronçons voisins.

On a traité précédemment le problème consislant à déterminer l'état d'équilibre d'un prisme ou cylindre, étant donnés les composantes et les moments des forces appliquées à ses faces extrêmes. Les formules obtenues n'étaient rigoureusement exactes que pour une certaine répartition des forces engendrant ces composantes et ces moments ; mais leur défaut de rigueur, quand les répartitions sont différentes, est manifestement d'autant plus grand que la section transversale est plus grande; et il devient petit jusqu'à disparaître si la section transversale elle-même diminue jusqu'à s'évanouir comme dans le cas qui nous occupe (*). Quelle que soit alors en réalité la répartition des tensions sur la section transversale, on pourra, sauf des différences qui sont, d'ordre supérieur de petitesse, les supposer réparties comme l'indiquent les formules données par les solutions du problème de Saint-Venant. On peut donc immédiatement appliquer ces formules aux petits déplacements qui se produisent à l'intérieur des éléments considérés.

Ce sont les équations (65) de la première partie, page 150, qui serviront de point de départ; il faut seulement y faire

comme on l'a démontré au § 24, équation (70 a), page 156. Prenons pour origine des coordonnées la position occupée, après le déplacement, par le centre de gravité de l'une des sections transversales limitant l'élément; et pour axe des z positifs la tangente à la courbe que forme alors la ligne des centres de gravité des sections transversales. Dans les équations (65) dont il s'agit, u, v, iv doivent donc s'annuler pour#=0, y = 0, z = 0: et comme, d'ailleurs, d'après sa définition donnée par l'équation (64 c), page 149, Q doit aussi s'annuler pour ces mêmes valeurs, il en résulte

Pour le point de l'axe dont les coordonnées sont 0, 0, dz, les déplacements u cl v doivent aussi s'annuler puisque ce point doit rester sur l'axe des z; il s'en suit que

(*) Nous nous référons à l'avis exprimé aux ir* 6, 7 et commencement du n° 8 de la note du g 28, relativement à cette raison, ainsi qu'à celles que Clebscli donne ci-après au g 48.

§ $8. — DÉPLACEMENTS [>FS POINTS d'un ÉLÉMENT or TRONÇON. 444

Enfin, prenons pour axe des x la tangente, au point d'origine, à la courbe formée par la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe des z, de la position, après le déplacement, d'un axe principal d'inertie de la hase ou section d'extrémité. L'axe des y aura alors, naturellement, une direction analogue par rapport à l'autre axe principal. Ces deux conditions s'expriment en posant

car, les points placés sur les axes principaux, très près de l'origine, et dont les coordonnées sont

<// . u, o. • 0, dy, l»,

éprouvent les déplaceinenfs respectifs

n = n , v = — *)adfi :

de sorte que, même après le déplacement, la projection du premier point sur la section transversale reste sur l'axe des a?, et celle du second sur l'axe des y. De cette manière, la position géométrique du système d'axes coordonnées est parfaitement déterminée. Dans In situation naturelle de la tige, ce même système des coordonnées, si on le suppose fixé invariablement au premier élément, est placé de telle sorte que l'axe des ~- coïncide avec l'axe de la tige, et que les axes des x et des y sont les axes principaux de la section transversale extrême de l'élément considéré. Les expressions des déplacements, à l'intérieur de ce même élément, deviennent alors :

u=—î)(a.r^-a{' .f ,J ^-a^A—rtzlb^' C) !l -+-bi.ry\-\-b0yz — n^-—bl~- .'176V ;■=:— nU?/+r/,tr// + a2y ~~* )— n;(V//-+-&/ ~" j — b^x—n.—b.,^ v) = z[a-+-a[.T-+-a.2y)-\-^r (^ar+ft^-hû — b^y- — b%x*y ; et les tensions sont exprimées par :

V t . . . = E[ (o-h atx -+- a2y) + z [bL.r -+. b2y)] ,

' '.,=r'!-^-fc.[¥+(l-f)-]-(l-^-+l!-

La position géométrique du système des axes coordonnées est choisie ici un peu autrement que dans les études antérieures, mais cela ne modifie évidemment en rien les expressions des tensions.

Ces équations ne sont applicables que pour de très petites valeurs ûex, y, z, caria section transversale n'occupe qu'un très petit espace sur le plan des xy; de sorte que les coordonnées x et y sont toujours très petites; et comme les valeurs ci-dessus ne s'appliquent qu'à un petit tronçon de la tige, la coordonnée z elle-même sera toujours très petite aussi.

Avant tout, il importe d'être bien fixé sur l'ordre des diverses grandeurs qui entrent dans les formules précédentes. Désignons par e un nombre qui soit de l'ordre des dimensions transversales de la tiye, .'•, //, 2 seront de l'ordre de c. D'après les formules (86) du § 29, p. 104, les quantités a, av av b0, b.^ b.2 s'expriment par les composantes et par les moments de rotation des forces qui agissent sur la section transversale extrême de l'élément, et qui', en général, sont tous du même ordre, ou du moins ne tombent pas à un ordre de petitesse supérieur à un certain ordre déterminé et commun à tous.

Si, pour plus de simplicité, nous supposons la section transversale symétrique par rapport à ses axes principaux d'inertie qui sont parallèles aux x et aux y, comme il en résulte

! xH<t = 0 , / ifch == 0 , / ■r'tjiU = 0 , / xifda = 0 ,

toute la partie du premier membre de la dernière équation (86) qui est affectée de bv et de bi s'évanouit, c'est-à-dire que les torsions accompagnant les flexions des prismes à sections non symétriques, ou provenant des forces transversales ne /'disant pas couples, sont nulles, et comme G se réduit à sa partie b0H0, l'on a, si l'on pose pour l'abréviation et l'analogie

(') Cette égalité (177), ainsi que l'expression (i 78) U S-- a l>0 = C', sont ce qui délinil ~. C'est une quantité linéaire, ou du premier degré géométriquement, analogue à x et à ), que Cleljseh introduit pour donner delà symétrie à ses équations ultérieures. Les lignes x, i sont des rayons de gyralion, longueurs telles que leurs carrés, multipliés par la superficie 5 d'une section transversale d'une tige, donnent les deux moments d'inertie principaux (le plus grand et le plus petit) de celte section autour de droites qui y sont tracées par son centrede gravité, en sorte que les produits E x* a, Ei*i sont ce par quoi il faut multiplie!

les courbures ou les inverses ■? , ~, des rayons de courbure des projections de sa libre

P P moyenne (primitivement droite et devenue courbe) sur deux plans passant par la tangente

a =-ir ,

E&8ff

1!' ni = — -TTvT- »