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§ 59. I':<JU\ 1 1->N^ Kl. LEtfos MOI \ i:\IHM S. 471
ou bien :
—g (tsJJ I ! rr+'Tr !> TF) ™ + lßi) ~
0 ,/s CC tâSt 4 .,. Sfe jji y ÖÄ (./Ti + ,/v/
El si Ton a égard aux équations suivantes, exprimant que l'origine des coordonnées mobiles est au centre de gravi lé de la section transversale et que les axes des x, y sont ses axes principaux d'inertie :
J xdidy = 0 , j ydxdi/ =11, J -njdxdij = 0 ,
I r'dxdij =Va . j ifdxdij = /.'<r ,
on a simplement, pour ces trois sommes de moments, les valeurs
- :, *$s i '- y- 7¥ - *■ w) + *' v'2 7J- "* tï
- " offl J £ (oÄ - ?, 777) + »M ^ fj^R'fe) ! '
Ce sont ces composantes totales et ces moments totaux des inerties
des tronçons de tige, de longueur ds, qui doivent, dans les équations
d'équilibre, être ajoutés aux forces et aux moments donnés.
îl < Si on compare les expressions zds — > des composantes
des inerties, à celles Uès; Xds, Wds (g 50, p. 425) des forces motrices, et les expressions des moments composants, que nous venons d'écrire,
à celles (l^1W1 — 7^ + £2W2 — ';SMs qui mil été données (même
$ 50, p. 427) des moments composants des mêmes forces motrices, on verra que l'addition de ces forces et de ces moments composants des inerties s'obtiendra en substituant aux neuf U, V,....W, des ex-
472 BaWi ci.-vp. iv. - ......s mm.
pressons citées, du § 50, les quantités suivantes, sayo^^ç-
,-offt eoLJo EDljâ^t eoln^oqiu n .,£**, , .a , n j^KJj
a U, L — ? t— : al,, L. tV ëvr» » a ^s*. Ll» l7y-' ~cûk,>
noonci! 0 M l «Tl r.v < '2 ' y ■ '
éQLfiuBx ■ n É3 ßI §"¥"' y —L1 fcfflfr «yiuogài . u J%.
à w, W-^|^t u*, ay.-^VJ; àw„ Çir¥^^:
Par cette simple substitution, on pourra trouver les équations de mouvement qui correspondent à tous les cas de simple équilibre statique examinés aux §§ précédents, jimil-anoi
Je ne m'occuperai particulièrement que du cas où la tige est primitivement droite, et où elle s'écarte très peu de sa position naturelle. On peut alors remplacer 2! = cos (#,#'), ß, = cos(//, y'), y== cos (2,2'), par l'unité, tandis que les six autres cosinus sont ou nuls ou ti|ès petits; et, on peut, comme on Ta déjà dit aux §§ 55, page 441, et ^4, pages 449, 450, où u, v, w sont les petits déplacements d'un centre de seclion, faire :
. p v*LT^ #-^ /« 1 â__v ^' -ff lg —.b. «i-,>.-ï-rr% "— -»-/v P- ** — 9%* %T^ài
Z — u, x = v, ,jinfti^i$rrttMb3 ei osve
Les trois composantes totales et les six moments totaux de rotation
ci-dessus deviennent alors respectivement:
î noraioJ 9b enoiJßlliogO i
ÏT n yf*~" Tl IT i n„ »^+ J ^e)
U t -777 » ^i » L', H <ry.--p— .
9 ( l' 1\ s£,3 oJimil-noiJibnoo&l ostf F
v--4-, v.-L1^^, v., ohaîîo 9ldß0pifefn9i àJêhqoiq Äf. oi^2]'n9fn9Jß?bommi *
\\ __ i1 a Lu! , w I iîr^'^mditiu^l afranytë^' >
0 £9 .]< l* ' '/ ' ' /v : ' 9 f-tfnV
Si l'on met ces expressions des composantes et des moments des
forces tant motrices que d'inertie agissant à l'intérieur de la tige en
mouvement, à la place de celles U, Up U.,, des composantes et V, V,, V,, VV,-Wt, Ws des moments des seules forces motrices, dans les équations (20ÎW), (209r), (l»/), (p. I5Ô, 4M) de l'équilibre de la tige en repos, équations qui ont été déduites de celles (20(5), p. 4i7 ou (188) p. 425, et (180) p. 128 en supposant les déplacements des points partout très petits, et les directions des x, il z peu différentes de celles des a-', //', :■', l'on obtient, en y joignant relies (2<)<)/'), (200/*), p. 'iï\ï les neuf équations suivantes où l'on se rappellera que K, L, T représentent |j^5l, p. 450 équation (105), et g M, p. 452, équation (20! M |, les composantes totales dos forées ;t,u iss.i n t su| l'extrémité de la ligo. A', I", ('.'
§ 59. — ÉQ. des viitit. T[!ansvi;i;sai.j;s, i.o.NC.rnrni.N.vi.cs, TOUIlNANTES. 475
(§50, p. 424 ou § 28, p. 170) leurs moments totaux; enfin, U, V, W, Up (§ 50, p. 425, 427) les composantes totales et les moments composants totaux divisés par la longueur <1s d'un tronçon de lige, des foi-ces extérieures qui agissent, comme la pesanteur, sur les points de l'intérieur de ce tronçon :
ob anoib
•"-n.,'1» &o*M [; /W, II r2u n.# <"n
ri ( z- (Z g av (j (Zct-7
-de oidi \u$tàlo& = T â^ + V+ ft~ J a ffî& jpf Pz^TP '' avec les conditions-limites
I Jo l! V *7 " v s/ , ■ - , + S "H W <7jölif
: oiiß!
l Oscillations longiditunales Et <-r-l = — \V H — a t— ;
I avec la condition-limite E<r( — ]=T .
noiJßloi ob zujsJo] aJnom '
i Oscillations de torsion Et^2 ^ =\l — Vi-+- - <t rt' + x*) gdr ;
(918/ZÏ ' *'a" ^
f avec la condition-limite E^ä fXïj = C .
On peut voir immédiatement que la propriété remarquable offerte par les équations de l'équilibre, d'avoir leurs variables inconnues séparées, subsiste dans les équations du mouvement. Les oscillations transversales autour des axes principaux des sections, les oscillations longitudinales, et les oscillations tournantes ou de torsion peuvent être déterminées indépendamment les unes des autres (*).
H tW Ta(Mft'i n wefi)
(') II faut faire attention aussi que, dans les deux dernières, E<f3s doit avoir la valeur -177, du commencement du § 48, p. 419, savoir :
-ClJpVilJOU gS; ;E^s = G^-, + i^J ^^o yL^,j(/TJ ? ^ no tn0j)doI
expression provenant de la formule (87) du § 50, p. 200, qui a été réduite de celle (80) du
est éeale
§ "2^, p. 194, en supposant les sections s symétriques, et où B0, fonction de x et y, c [ii«3 dejla Note du g Ol, form. (<■), p. 2lij] à — ou H , //0 ou 0= -^ étant l'angle de
torsion
Vi Î <uw. iv. — ïWrtiS m!m:ks.
Les considérations générales concernant des oscillations de celle nature ont déjà été développées aux %% 1!) e! 20. Ko cherchant les solutions générales des équations de mouvement qui précédent, lesquelles solutions se présentent sous la forint! de produits de
eos (1,-J) ou de sin {hnt) ,
par une fonction des coordonnées, ici de la coordonnées, l'on détermine les oscillations isolées qui peuvent se produire dans la lige, eu égard aux circonstances données. Les coefficients kn sont les racines d'une équation transcendante, toutes réelles et positives. Ces racines déterminent la hauteur des sons produits par les vibrations de la lige,
car les différentes valeurs de— représentent les nombres de ces vi-
brations qui sont exécutées en une seconde (*).
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d% n <ï: r d* u iP v
