FLEXION D'UNE TIC.E PRIMITIVEMENT COURBE
modifications, à des tiges courbes, et même torses ou naturellement tordues. On arrive à cette généralisation par la considération suivante :
Il est un principe fondamental applicable à tous les déplacements très petits que subissent les éléments des corps; c'est que les effets des diverses forces extérieures sur ces très petits éléments s'additionnent simplement les uns aux autres. 11 en résnlte que si nous voulons étudier l'action, sur un élément, d'un système de forces, il est indifférent de considérer la forme primitive et donnée de cet élément comme étant celle qu'il affecte lorsqu'il n'est soumis à aucune force, ou bien comme étant celle qui aurait pu lui èlre imprimée par l'action déjà subie d'autres forces.
Définissons une tige primitivement courbe, une tige ayant partout une courbure finie, et dont la section transversale très petite soit partout égale tout en n'étant pas nécessairement orientée partout de la même manière : en sorte que nous puissions toujours dire qu'il existe un système de forces qui, en agissant à l'intérieur sur chacun des éléments de cette tige, serait capable de l'amènera être droite, et cylindrique ou prismatique. Représentons-nous donc ce système de forces sous l'action desquelles la tige aurait pris une forme droite et cylindrique, et appliquons, à la tige ainsi rectifiée, un système de forces égales et opposées; la lige sera ramenée à son état primitif. Or cet état de la tige peut être calculé comme si la forme droite et non torse était sa forme naturelle. On a ainsi, pour chaque section transversale, certaines composantes et certains moments de rotation, À, B, C, A', B', G' qui sont exactement contraires à ceux qui amèneraient la tige à avoir une forme droite. De ces six quantités, les trois dernières peuvent être immédia-
tement obtenues au moyen des équations (187), ri = — - — :,; ra=...
(p. 422); car comme, sous l'influence de ces trois moments, A', B', ('/ la tige supposée droite revient à sa forme naturelle ou primitive, elle acquiert les rayons de courbure p~ , p7 et la torsion p qu'elle possède originairement d'après sa forme géométrique donnée. On peut donr poser
Pi '?* P
x9ff, X*g exprimant toujours les moments d'inertie principaux de la section, d'une superficie cr, de la tige; et 5-2 ayant l'expression (177) don-
née vers le commencement du § 48, expression qui se réduirait à
p 2v.9, si la section était circulaire (*).
Ce seraient, disons nous, les moments de rotation exactement opposés à ceux-là, qu'il faudrait appliquer à la tige, pour qu'elle devint prismatique.
Si maintenant, on amène la tige à un état nouveau quelconque, différent de son état naturel, et si l'on imagine qu'elle passe d'abord par la forme droite prismatique, puis, de là seulement, qu'elle parvienne à sa forme nouvelle et définitive, on devra d'abord, pour amener la ti^e à être droite, appliquer à chaque section transversale les moments de rotation
Kgy.a Ko-).2 Erê--
Vi Pi ~P
et ensui'e, pour l'amener delà forme droite à sa forme définitive, on devra lui appliquer ces moments différents d'intensité, comme de sens :
E^ Erita E*^
Pi ' Pa . ' ?
de sorte que dans les équations (189) et (191), p. 428-9, on devra attribuer aux moments de rotation A', b", C des valeurs, sommes algébriques de celles-ci, ou y faire :
A^W(L!); ,^E^(L i); c=WI-± \pi pJ \?ï pïi \p
Et ces équations subsistent après comme avant la substitution, car, pour les établir, on n'a en aucune manière fait usage de l'hypothèse que la tige fût primitivement droite. Par suite on a, pour les tiges primitivement courbes, les six équations suivantes d'équilibre de translation et de rotation qui ne sont autre chose que les six équations (188) et (191) du jj 50, pp. &25, i'20 en remplaçant dans ces trois der-
nieics, rr r,, r par -, -, -, et les moments ou couples A', B\ (7 par les
Pi '?■> P
C) Ainsi, il ne faut ]>ns oublier que --- esl une expression géométrique analogue à <- el à /-, mais multipliée par le rapport des deux eoellicienls d'élasticité) et qui a une expression variant avec la tonne »lu contour des seclions. (Noie du g 18.)
g 50. — FLEXION DÜNE TIGE AYANT LA FORME DUNE COURBE PLANE. 457
trois expressions à parenthèses binômes que nous venons d'écrire :
^•(Aa1-f-B*î-hCa) = — l)
" (Aft -h B,ef + (#) = — V
^(AYl + BYs-f-CY)
ils \ p 6
=^ (— B+oU8-f ßV, H- yWJ;
Pi y o (5/ p y pi p.
±(A-«üt — ßV. — tWJï
Jt« / 1 1
y \ Pi P«/ Pi \Pî Pi
«ÄH-^-hY.Wi — «JJ,— ftVt— TlW3);
où?, Pi,p3 sont des fonctions de s connues et déterminées par la forme primitive de la lige donnée.
; 56. — Flexion d'une tige ayant primitivement la forme d'une courbe plane, sans torsion ou non torse).
Comme exemple, j'examinerai le cas simple d'une tige qui est primitivement sans torsion et où la ligne des centres de gravité des sections transversales se trouve dans un plan parallèle aux ./•', y' . plan qui contient aussi l'un des axes principaux de ces sections. Je suppose, en oulre, qu'aucune force n'agisse sur l'intérieur de la tige qui est soumise seulement, à ses extrémités, à l'action de moments
(') Il est bon de rappeler que les trois premières équations ("210) sont posées entre les composantes de forces parallèles aux axes fixes des x', y', i', car elles ne sont autres que celles (188) du £ 50, p. 425, qui, lorsqu'on ne veut avoir que des composantes parallèles aux coordonnées x, y, i des points d'un élément, doivent être remplacées par les équations (190;, p. 670; tandis que les trois dernières des six équations (210) expriment l'équilibre de rotation autour de parallèles aux axes de ces coordonnées x, y, : des points des éléments.
de rotation dont les axes sont perpendiculaires au plan de son axe ou de sa fibre moyenne, et qui, par conséquent, laissent celle ci dans ce plan. On a déjà vu, § 55, formule (204) page \ \ \ , que si 9, alors, désigne l'angle l'ait avec l'axe fixe des x' par la tangente menée à la tige courbée en un quelconque de ses points, on a :
dj.
Si, de même, on désigne par 9 l'angle fait, avant la flexion avec cet axe, par la tangente menée à la tige au même point, on a :
p., il S
Les autres grandeurs r, les composantes A, B, Cet les moments A', C disparaissent; et des équations (210) il ne reste que la cinquième, dont le premier membre, divisé par X% est -.- ( j et
dont le second membre est nul, de sorte qu'on a :
ds \p, 0, ) ds-
ce qui donne par une double intégration , a et h étant deux constantes arbitraires :
9 = f -+- as -h b.
L'une de ces constantes, />, peut être posée égale à zéro si l'on admet que la tige, à son extrémité (s = 0). soit fixée, ou, comme on dit, encastrée, de manière qu'elle ne puisse changer de direction. Pour * =0, on a alors 9 — ^ et par suite b = 0.
Pour déterminer l'autre constante, il suffit de remarquer que dans la- formation des équations (210), on a, au moment de rotation B' agissant sur une section quelconque, substitué la valeur
laquelle devient alors :
Il = ho-),- — ^-î — - = hrrVa ,
£o". — PETITES DÉFORMATIONS D'UNE TIGE COURBE. i.V.»
ce qui donne
a peut donc être déterminé en particularisant l'expression précédente pour une des extrémités de la tige, et en donnant à B' la valeur du moment qui s'y trouve appliqué.
Pour trouver la forme même de la tige, il faut se rappeler que l'on a, d'après les formules (185, du g 49, en effaçant <> devant 1,
— = snio , —=cos » ;
(IS ' us
ce qui donne, par intégration, et en substituant pour ç sa valeur
jQ \ tffÀV
Si l'on se représente la forme primitive de la tige donnée par cette considération, que les coordonnées |, Ç, de chaque élément, soient des fonctions connues de s, on aura aussi
= sin •? , — = cos ? ;
et l'on peut par conséquent écrire
r*(dl B's rf? . B's\ .
J0 \ds Lr7AJ rfs L(7À3
,'s/'^ Ws dï . B's , , .= Tcos— ^ rsinr— «s«
q y/s " EcrÀ-' ds Et).-
^ 57. — Petites déformations d'une tige primitivement courbe.
Il est extrêmement important, pour les applications, d'avoir des formules représentant les très petits changements de forme des tiges primitivement courbes. Pour établir ces formules, je remarque que
les coefficients ou cosinus a, ß , qui déterminent la position d'un
même élément après les déplacements, diffèrent alors très peu des
coefficients correspondants S, jj, déterminant la position du même
élément avant les déplacements. On peut donc poser :
oc = S -+- a' , ß = ß -h ß' , etc. . . .
a', ß' étant des quantités très petites dont on pourra négliger les
carrés et les produits, Si l'on introduit ces valeurs dans les équations
(181), (182) de relation entre les neuf a, ß et si l'on observe que
ces équations doivent également' être satisfaites pour les à, ß,.... on obtient, entre a', ß' les équations :
^ii ^ iJiiJi ' ii'i u'
üa' + ßß'-H^^O; K< + FiK + Tjl) + (vi + FiPi + Y.ïl I =0, b2a' -+- ß2ß' + y;/) + (« «; -f- ß 3'2 +7 $ = 0,
(« ■', + P Pi + Y YD ■+ («>' + P4P' + YiY'.) = 0.
Toutes ces équations sont satisfaites à la fois si, au lieu des neuf
petites quantités a', ß' on en introduit trois nouvelles, p, pt, p.2 en
fonction desquelles les premières seront exprimées au moyen des formules :
u'i==P9a — P\ > a, = P0Li — P{Ji a'=/'ia> — ÎV1'
moa) p;=pJ— pp., p;=ä— pj. p'=.p7p2— a,
\ y\=i>i(—py^ y2=/'ï, — /',y> y' = />,y,> — /v*v
Si maintenant dans les équations (185) page Ï20, qui définissent les quantités r, on introduit les valeurs a = ä -h a, etc., en négligeant
de même les carrés ou les produits des a' ou des p...., et si, en
outre, on désigne par r les grandeurs formées des a comme sont les r des a, on obtiendra :
— dw, -
dp*
dp
ri = '2 -+- -77 H" Pri — /V
H- /V* — Vtr
$ 57. — PETITES DÉFORMATIONS d'dHE TIGE COURBE. 461
ou, si au lieu des r, ou met les inverses des ravons de courbure,
1 1 . . . . 1 —i — et la torsion - >
Pi Pi ?
L—L = 'll'i + l!2 L
O» 0;, «S Oj 0
rfs
Pi
Ces différences sont très petites. On pourra donc, dans les équations (210), partout où p, pt, p, se rencontrent isolément, les remplacer respectivement par p, pi, pâ ; on pourra de même, dans les trois premières de ces équations (210) remplacer les a par les a. Enfin on pourra encore considérer comme connus les forces et les momenls U. Y. W, ü1,...., car si ces forces non réciproques, telles que la pesanteur et l'inertie, agissant sur les points intérieurs des éléments, sont exprimées en fonction des coordonnées ;, rn 'Ç de leur point d'application déplacé, on peut, en négligeant les petites quantités d'ordre supérieur, substituer à ces coordonnées celles H, yj, Z, du même élément avant le déplacement, de la même manière que l'on a substitué aux
cosinus a, % par lesquels elles sont multipliées, leurs valeurs
primitives, a, >, qui en sont très voisines. On peut alors, sans
autre modification , intégrer les trois premières équations (210), page 457, ce qui donne, K, L, T étant des constantes dont nous connaîtrons tout à l'heure la signification :
Aat + B?, -f- Gâ = / Uds H- K,
Afr H-Bp; +C<Ï= / W/.s + L,
Imaginons que l'une des extrémités de la tige (s = 0) soit fixe, et que l'autre (s-=l) soit soumise à l'action des forces extérieures; les composantes de ces forces ne sont autre chose que les valeurs des premiers membres des équations ci-dfssus, pour l = s; elles sont donc égales à K, L; T puisque, pour s = / les intégrales qui figurent dans les seconds membres s'annulent. Les constantes K, L, T, intro-
«luîtes par l'intégration, trouvent donc ainsi leur signification méc.nnique.
En multipliant ces équations respectivement par at, ßt, -;r puis pnr x i ß » Ys> Pu's Par a' ß> ï ^ en additionnant chaque fois, on obtient les expressions suivantes de A, B, C :
A = V, f Uds -+- % f Vrfs + Ti f Wds + lv 7t + Lß7+ Ty7 :
\ fl /»ï * /»J - — -
(21 lW B =-a, I Uds + ßs | Vrfs H- Y2 | Wrfs -b K«2 + Lß, -h TÏ2 ;
f IMs -+- ß f1 Us + y f Wds -f- K» H- Lß -+■ TV
Les A, B, C étant déterminées de cette manière peuvent être considérées comme des grandeurs connues, et les trois dernières équations (210), § 55, page 457, prennent la forme suivante lorsqu'on y introduit les quantités p que les (210 a) définissent :
dsyds p p,J p\ds pi pj p2yi* p., py) d*\d» Pi p) Pi\ds Pl p^l p\ds 'p pi)
= J (A — dJ- — ÎÎV.-yW,
r,rr
(h \ ds ÖT Pi
Pl
pi
= ^(ot,ü1H-ptVJ -+-7iW4 — «iü,— ^V8— j,W
Ces équations différentielles sont linéaires par rapport à />, ;>t ,'jo,; mais les coefficients sont dépendants de s puisque p, fr p~ sont des fonctions quelconques de s. Les équations (189) et (191) trouvées au g 50, et toutes celles qu'on en a déduites jusques et y compris le g 54, pour de petits déplacements de tiges primitivement rectilignes, sont comprises dans les précédentes dont elles sont des cas particuliers: à la condition, toutefois, <jue ces précédentes équations (212) ne s'appliquent pas au cas où la tige aurait subi une très grande extension
g 57. — PETITES DÉFORMATIONS d'üNE TIGE COURBE. 40"
longitudinale, cas auquel ne peuvent évidemment convenir les équations dont on parle.
En intégrant les équations (212), on trouve les expressions de /;,/>,, /a,, et, par suite, on arrive facilement à déterminer la forme de la tige courbée. Pour cela, en se rappelant (g 49, page 416) que S, vj, Ç ont été pris pour désigner les coordonnées, par rapport aux axes fixes des x', y', z' dans l'espace, d'un point de l'axe ou de la fibre moyenne de la tige, c'est-à-dire du centre de gravité de celle des deux bases d'un élément ou tronçon de tige, la plus proche de l'extrémité où l'on place l'origine des longueurs s, nous poserons :
ç = 5 -h V , v = ïj -+- y' , K = ? -f~ ç' ;
ç\ r/, C étant les petits déplacements éprouvés par ce môme centre, et ç, y), l, ses coordonnées primitives. Rappelons-nous aussi que nous avons désigné (au même g 49, page 419), par o la proportion très petite de l'augmentation éprouvée par la longueur de cet élément, et posé, pour les projections de sa longueur nouvelle sur les x', \j ', 2', ( 1 83) d\ = y, ds f 1 + 0) , drt = ß ds (1 -+- D) , dÇ= v ds (1 h- D) . Nous aurons :
; = / a ( 1 -h Om/s = / (a + a') (t + 3) r/s ,
t/ll Jo
,3== / * ß (1 -f. D) ds'= r* (F-+- PO (1 -H <>) d» ,
ç= I Y(f-hö)v/s= / (y + y'JC -+3)ds .
Mais on a aussi :
\ — I * 5rfs , Ä = / ßrfs , £ = f ' yds :
par conséquent, en négligeant les petites quantités d'ordre supérieur, et en ayant égard aux (210 a), l'on a :
£' = ? — 1 = I (*'-f-a?) </s = (/a*., — />.,?! + 3UW>' ,
t/ — „ — ^= / S.( ß' 4- ßÖ) ds = I ( /, £ — pJf, + §3 1 (/s , S' = Ç — 5= / (y,.+ Y3)^s= / (ftS-M + ï^s-
.'il t/0
On ne peut pas ici, comme dans ce qui précède, négliger les termes
UU CH.Vr. IV. — TIGES MINCES.
iû8 on multipliés pai «5, attendu qu'ils peuvent être de même ordre que les
x\ fj , qui sont consei'vés. Au contraire, on détermine î) d'après
l'équation (187 a) du même § ï9, page 422, au moyeu de la foi mule
.aoldfioilqqe Juoa -mol iup (, b eobofli iennoo no Jo
abnoooa soi b'iodß'b gno'i ^~E^' nimcz3
gnoiißui
En introduisant celte valeur ainsi que les valeurs de p, pt, p, dans les expressions ci-dessus, on aura la solution complète du problème.
2 58. — Intégration des équations concernant les petites déformations d'une tige primitivement courbe.
-«Y.8 ^ luingôJni n imàJgya nb noiiß'i§6Jni'I VA
.iioiti , . .Bnn, 8pJn , . , , , omâj
Les équations (212) du 8 précèdent sont toujours înlegrables, si 1 on
suppose toutefois que les quantités o, a, [±, -;, relatives à la position
naturelle de la tige, sont données en fonction de s.
Posons pour abréger :
.anoiißupo iubn aob 9ui5i8'{a un <(m sol "ißq -t eob oJißl leo wp
u, =! (-B +«fiî -f- ^Vâ -hyW^ ,(TC1]
-moo aoIß'pj'JJni sol oun Jio/ no ;(8^ -q M - ,- .- uo ;î ,/t <rv
U =g; (5-.U, VßJx -h YiWt -aiü2 i- ßj2 - flfljîj
jf Jnoe (()!£') enoiJßUpo sob aoJùIq
où A et B doivent avoir leurs valeurs données par les équations (211).
Introduisons en môme temps de nouvelles fonctions \\ , v,, v, telles
qu'on ait :
890 JnßnJitedijg U9 ftoTlo n3 .89tiißci)id'iß eoJnßtanoo aob jri08 0 f*.\ ,0 no
dpi P* P i vi 'lui, 11 Pt 'I* da^ha^igj^(ppv
P^ r/.s- nfli; «r; /-' rfe 07 p )l )frio f/s p| !-j^Juni~2
iaq aorném-ao Ol) enoilßupa
Par leur moyen, les équations (212) deviennent : 'iijoq - sol »iv no omnioo teini Jiß'iuß not üo Jo ....
V1.. <lv, v, v </v.> v v, rfv v. v,
«s p p., as p, p «s p2 p,
noiJ: f uoiJnlo JnßnoJnißm enoupilqqA
Ces deux systèmes (21 4) et (215) sont manifestement de même forme
et ne se distinguent que par leurs seconds membres. Dans le fcys-
lèmc (2to) les seconds membres sont des quantités immédiatement
i, inconnues, lundis que dans le système (214) les seconds membres ne sonl
déterminés que lorsqu'on a trouvé, au moyen des équations (215), les
î; 58. — PETITES DÉFORMATIONS DKS TIGES COURBES. 465
grandeurs vt, v2, v qui ne sont autre chose, d'après les équations (210. b) que les produits par y.2, X2, .r2des changements survenus
dans les grandeurs r=— . Ces deux systèmes sont d'ailleurs linéaires,
et on connaît les méthodes d'intégration qui leur sont applicables. Examinons le système (215); nous négligerons d'abord les seconds membres ut, us, u, c'est-à-dire que nous intégrerons les équations
«S p p2 US Pi P <IS Pi pi
Lorsque nous aurons la solution pour ce système, nous oblicndrons les intégrales complètes du système (2 15) en faisant varier les constantes. Et l'intégration du système (214) se fera de même en intégrant le système (210) et en taisant subir aux constantes une nouvelle variation. Tout le problème se réduit donc à l'intégration du système (210).
Si l'on considère que les grandeurs p sont les inverses des r, et que les neuf coefficienls ou cosinus a, [i ... satisfont, d'après la définition qui est faite des r parles (185), p, 420, au système des neuf équations
da
différentielles (196), (197), (197. a) delà forme ~j- = rl as — r4 x1 , . . . .
(page 434), mais où l'on aurait, seulement, remplacé les r, i\, ra par
r, rt, rs ou r, -, - (§ 54, p. 446); on voit que les intégrales com-
P Pi Pa
piétés des équations (216) sont les suivantes :
(2 17) vt== aoti ■+■ b'fa -t- cy, , v2 = aa, -j- 6ßa 4- c~t , v = aâ-f- b^-\- c~;
où a, b, c sont des constantes arbitraires. En effet, en substituant ces expressions dans les équations (216), elles sont satisfaites, vu que ce qui multiplie séparément les constantes a, b, c est nul en vertu des neuf équations (196), (197), (197. a) supposées satisfaites elles-mêmes par
les x, [i et où l'on aurait mis, comme on vient de dire, les ■= pour
les r.
Appliquons maintenant à cette solution la méthode de la variation des constantes, c'est-à-dire mettons, non plus dans les équations (216) mais dans les équations (215) les expressions (217) de vt, v , v, en faisant varier a, b, c, aussi bien que a, ß lors de leur différcnlialion
par rapport à s. En effaçant tout ce qui multiplie les a, b, c cl qui
iüö uiAP. !v. — riGES iiiÀii.-.
doit être nul connue on vient de le dire, l'on obtient
— da — db — de
— (7a — db — de
<x3 -=- -+- ß, 7- -f- y., T = ii, , as <ts as
-da - db de
ds ds ds
Ces équations du premier degré étant résolues comme à l'ordinaire, et
en se servant, pour simplifier, des relations (192) du § r>0, pige ï~)l>,
ou, plus simplement encore, en les ajoutant après les avoir multipliées
par an pt , y( , puis par as, p8, y2, enfin par a, p, y", donnent :
da db — - de
— = «lU| + a2us -+- ail , ^,3=^ -h |i,u, 4- pu , j-s = Tlu, -!- Y2U2 + v.l.
D'où, par intégration, «0, 8£, c0 étant des constantes arbitraires,
a = — I (o^Uj H- a2u2 + «u) ds H- a0 ,
(21 7 a) | b = — ï (ßjU, -h ß2u2 -h ßu) ds -t- b0 ,
c = — J (Tlu, + y2u2 H- tu) à"s 4- c0 .
Ces dernières constantes se déterminent facilement. Admettons que l'une des extrémités de la tige (s = 0) soit fixe, et que, par conséquent, en cet endroit, l'on ait a' = 0, p'=0, cte , ou bien p = 0,
p{ = 0, p2 = 0. Soient N, P, Q les moments des forces extérieures qui agissent à l'autre extrémité (s = l), décomposées suivant les axes fixes des x\ ij', %' . Les mêmes forces, décomposées suivant les axes des .'•, y, z, relatifs à l'exlrémilé(s==Z), donnen-t, par rapport à ces axes, ds moments de rotation
M1==(N,1 hPßI-hQYl)p M,= (Na,H-Pp1 + QTl),, M=(N*+Pß + Qr)l.
Nous avons dit au £ 55 (p. 456), pour préparer rétablissement des trois dernières équations (210), que ces mêmes moments ont, pour un
i ii,- i . k I 1 1 \
point quelconque de la tige, \ùS valeurs hs y;- f = — - j ..., ...; et. p;ir
§ '»S. APPI.ramö» DE LA VARIATION DÈS CONSTANTES. 1G7
conséquent, eu é-.ird à (210./,) puis à (21 i) les valeurs suivantes :
ïjv, /'^i i P± /'\ I.- „
"s Pi P
V'-s ,&> pV
On a doue, en particularisant pour s = /, cl substituant à v,, v2, y leurs valeurs (217),
— M, = («8a0 -h ßi&o 4- v„), • E^ ,
— M = (««„ +[Ï60 + >J, • Etfj
équations qui donnent en les résolvant, re qui se t'ait toujours simplement au moyen de trois additions précédées de multiplications par <zp as, a , les valeurs suivantes des conslanles:
«o = — çT («iMj H- a2Mg + dJI) ,
1 — — - Ci
e0 = — jj£ (7iMi + Ï9M2 H- ÏM), •
'»Up
On voit donc que les quanlilés v se trouvent complètement dr'erni i nées.
Passons mainlenant au système (214) des équations différentielles où les inconnues sont p^p^p. Nous pourrons évidemment poser, tout à l'ait de la même manière que pour les vp v,, v :
(2 î 8) Pi = /'«,-+- 0ß, +■ hr, , p2 = fa, + (ß2 + /r;2 , y, = ß + g| -H % ;
(*) Dans le livre de Clebsch, les trois termes de chacune des parenthèses de ces expressions des constantes a(), />„, f0 sont affectés respectivement de dénominateurs/-, /-, ^--; les valeurs de — Mj, — H21 — M se trouvent multipliées aussi respectivement par /-, !?{&, affectant de même les seconds membres — E <s vt , — Ejv?, — tjv des li ois équations qui précèdent. Il nous a semblé que c'était une erreur, provenant sans doute de ce que l'auteur n'aura pas l'ait attention, en posant celles-ci, que les seconds membres de celles (214) ont /-, /-, .c-- pour dénominateur.
En tout cas, notre changement n'a pas d'influence sur ce qui suit.
où f, g, h sont des constantes par la variation desquelles on trouve, un moyen des équations (214) les valeurs suivantes correspondantes
™r U) ' $ - . - v -.a : iahioißfb ,ftod
l = j RWi*P*ftpH(Aob^.
-bnis^iaam %b ai? wpmh è oihrcièb
:dijiis4/n [fall + M? + ËX\ to9b^.
' ° V" '* I Ii'up-ruo ;gqi03ob89i-» Xûa p/^+ï^ + I^ ,/* + /,,,;
1 ü V "'" « « öiol sol oiloqqo.no'np oo Jo seulement, les limites de l'intégration sont différentes. Celles-ci offrent cet avantage, qu'avec la supposition déjà faite, et maintenue ici, à savoir que les p doivent s'annuler avec s, on doit avoir : , ? °, '°k i& «s eqmol nu
jnomôlà loi nu'b ,- >nr,i8
La question de la détermination de ces constantes d'intégration se trouve donc immédiatement résolue,
Les formules précédentes se simplifient notablement lorsque la tige présente certaines formes spéciales. Par exemple, si la ligne des centres de gravité des sections transversales est un arc de cercle de rayon a, et si le plan x'z' qui contient cet arc de cercle contient en même temps l'un des axes principaux de chacune des sections transversales; si, de plus, on prend pour origine le point s = 0 et si on choisit pour axe des z' la tangente en ce point à la ligne des centres de gravité, de manière que l'arc de cercle donné se trouve dans l'angle formé par les z' positifs et par les x' négatifs, on a alors : r il noiJooa on
s -l (o.QIJ . s -do «oo Jiubài
a, = y = COS -, Yi— — a = Sin-;
et par conséquent
p~a = a , p = Oj = <x> .
: eioï xuob inßiJmrioilib no (imob ß nO
On voit que ces valeurs entraînent l'évanouissement d'une multitude de termes des formules qui précèdent.
£ 59. — Équations de mouvement des tiges élastiques.
Les considérations qui précèdent peuvent acquérir un développement beaucoup plus important si on les applique à l'élude du mouve-
§ o9. — ÉQUATIONS DE LEURS MOUVEMENTS
ment intérieur des corps, au lieu de les restreindre à celle de leur équilibre. On sait qu'il suffit pour cela, d'après le principe de d'Alembert, d'ajouter aux forces agissant sur l'intérieur du corps, et qui figurent dans les équntions d'équilibre, les forces nécessaires pour détruire à ebaque inslant les accélérations des divers éléments; et nécessaires, par conséquent, pour maintenir en équilibre toutes les parties du corps; ou, qu'il suffit (ce qui revient au même, et est plus simple), d'exprimer l'équilibre dit dynamique entre les forces motrices et ce qu'on appelle les forces d'inertie de ces parties. Les accélérations que possède au temps t un élément quelconque du corps, csli niées suivant les axes fixes des coordonnées ./.', //, ;', ne sont autre ebose que les seconds quotients différentiels de ses coordonnées par rapport au temps t. Si donc II désigne le poids de l'unité de volume, le poids d'un prisme infiniment petit dxdy<lz sera Udxdyd:-; et si x', y', z' désignent les coordonnées, par rapport aux axes fixes, d'un tel élément quelconque de la tige, les forces d'inertie, ou les forces capables de détruire, à l'instant /, les accélérations de cet élément, seront
cl oupeio! jr; Àum'idï zol
Or, on peut, en se servant des équations (179.c), g 49, page 417, Ä;'=;4-al(.c-f-M) + ,.... exprimer, en fonction de ;, rr „ x. ;,.... les coordonnées de ebacun des points de la tige. On peut alors considérer comme d'ordre supérieur de petitesse les quantités linéaires u, v, w, et poser z = 0 puisqu'il s'agit seulement de points situés dans une même section transversale qui correspond à une valeur déterminée de s; section où se trouve l'origine des coordonnées locales z; ce qui réduit ces équations (179. o à :
On a donc, en différentiant deux fois :
x' t'1*' (-* ira
-illurn onu b iiiomoe r r ^ r r 0Jjp jjoy nQ
2dupi»36là 293Ü $pb~Ji&mtvua{fc eb 1Jzâ&.t£tip3. — .63 §
-oqqol'j/'jb nu li'i et' cl1 il1 J il1 'snoiißiobignoo 39J
-°'funl , . , , , .!mi^J/kqiUDOijr,odtM. ,
Introduisons ces valeurs dans les expressions rJlb.a) qu on vient
170 ui.w. n. — ih;;:s mîm.ks.
d'écrire pour représenter les forces d'incrlie de l'élément dont la niasse
est -dxdiidz; et calculons les sommes des composantes et les sommes
des moments de rotation de ces forces par rapport à chacun des axes
fixes des .(•'. y', ;•'.
• Nous aurons d'abord les expressions suivantes des sommes de leurs
composantes, pour un tronçon de tige de longueur ds mesurée dans
le sens z :
~ 9 ds Jj Jfdxdyh^y ds JJ \*A?\fî+\ ëë) h
- -dsj] -ldxdy\=--ds^ (jïi + rVt^y -;)./,%, - ds JJ w dxdy = - - ds JJ [w + x w + y - ) dxdy
El comme les h, rt, Ç, a, ß sont indépendants des coordonnées
transversales x, y, qui sont celles des points de la base du tronçon, ces expressions, en ayant égard aux équations suivantes provenant de ce que les origines des coordonnées mobiles x, y sont aux centres de gravité de s bases ou sections,
vdxdu = 0 , Il ydxdy = 0,
JJ
acquièrent les valeurs simples :
ii g n . dH il . 5ç
~r tï* ~ii ^' ~r ^'
Quant aux trois moments composants totaux de ces mêmes forces d'inertie [2 1 S.aj autour d'axes menés parallèlement aux axes fixes d'espace, des >'-■',//, ;', par le point .*•' = ;, y'=-rt, gmfflfe nous verrons, comme il a été dit au § ôO, à propos des forces X', Y'. // agissant à l'intérieur des tro iç.ons (p. 426), que l'on peut prendre .r' — ;, y' — rt, :■' — Ç pour leurs brjs de levier, en sorte que les trois moments sont:
r d& jj -jjß (//' — r.) — ' , | (;-' — :) Ifodifi
). ' • iq
