TZ

ce facteur devient sin —jr-f Pour n=^\, on voit que ce môme facteur,

et par suite l'amplitude de l'oscillation, croît depuis l'exlrémilô delà lige

b fl89 olloT /

jusqu'au milieu où elle atteint son maximum; en effet, pour -•— s;

il acquiert sa plus grande valeur qui est l'unité. Mais, en général, ce facteur s'évanouit pour

-'iL

, . Jn08 dblIOOSS T/iGf 8nOlJßJJL')2o'b élîflfillflQngâïlOa SfVIillTtûIl J>ùiièhte

k étant un nombre entier quelconque; c esta-dire que pour le n son harmonique de la tige, il y a n — 1 de ces points que l'on appelle nœuds qui ne prennent pas part au mouvement et (fui, également espacés, divisent la tige en n parties vibrantes d'égale longueur. Pour le premier harmonique, la tige oscille donc comme si elle était composée de deux tiges ayant chacune la moitié de sa longueur; pour le second harmonique, comme si elle était formée de trois tiges ayant chacune le tiers de la longueur, et ainsi de suite.

L'intensité de chaque son harmonique, en particulier, dépend du mode d'excitation ou d'ébranlement de la tige. , [ ^

Comme les considérations qui précèdent subsistent tout entières lorsque, dans l'expression de 10, Ton remplace le facteur cos (kj) par sin (k t), on obtient l'expression la plus générale de w, en faisant la somme de tous les termes obtenus par celle substitution, et en

<^Ö ÎVJJJJ^IIUI 1>L -IJ jr.i-JIlll »WIHl 11J(JI"' "J* "" vJUiHIU^ ,JOJ JJ11ULJ

uß ,lo ^onpiiioôqg abioq »b 9imco onrici ßl ob oaio/ni nogißi 09 oluboni ub ootigo oninci ßl h lonnoihoqo'iq Jnomobs'iib .oiifiiinoo

(') Le son fondamental est, comme ou voit, pour les vibrations longitudinales, indépendant de la grandeur delà section transversale : cela s'explique en considérant que chacune des libres oscille comme si elle était isolée. Il en est autrement, comme on verra, pour les vibrations transvcrsal5s.0.lôjjn0 oh;J?/ ß, j^ 30yß }o .[ßjnomßbnol 008 »J

17N ■ i.iui1. iv. — ïigi- mincks.

introduisant, à lu pince de ku 1rs valeurs trouvées ci-dessus On a ainsi :

+ sin2?(ß,cos^ + C,sin^)

. Sof/J 7)(nzt ,, . ^/-r/VlUOt ]

H-sin-^- B-cos — ; — |-^3^iii -t~ -h .... , I \ l l j

• , no« d ,, • . , , I .?na , . „

ou les B, C désignent des constantes arbitraires et ou l on a pose,

pour abréger

Les constantes B, C peuvent toujours se déterminer de manière (]iie la tige ait eu un état initial arbitrairement donné; c'est-à-dire que les déplacements et les vitesses des élémcnls, à l'origine du mouvement, soit pour / = 0, aient eu des valeurs représentées par des fonctions données de z. Soient /'(;•), F(;) ces fonctions, l'expression ci-dessus donne, pour / = 0,

ziflz n . Or«

[w)t^)=f(z) = Vlün1 -f-[!äsin-^H-Brisin-^+ ;

(M =V(,} m <& k sin 0 H- 2C, sin SS + 5C3 mu ^ + ] .

On a deia vu, a plusieurs reprises, dans ce nui précède, comment

0 i i -il

on doit déterminer les constantes B, C, au moyen d'équations de cette espèce. En effet, h représentant un nombre entier quelconque, mulli-

plions ces équations par sin-y-dz et intégrons sur toute l'étendue de

la tige, c'est-à-dire de 0 à /. Tous les termes du second membre disparaissent à ebaque intégration, à l'exception d'un seul, le terme qui contient BA ou C,, ; et nous obtenons

j f[z)sm — dz = ^^ J^[,)^i-r<h = n-llt;

ce qui détermine très simplement les coefficients B/(. fv si les fonctions f et F sont connues et données. De celte manière on voit que le problème se trouve entièrement déterminé. Ces fonctions n'ont d'ailleurs d'influence que sur l'intensité relative des divers sons rendupar la lige; tandis que l'élévation de ces sons est, pour une même

(jj OU. — VIBRATIONS l.iiM..T. U\y \i K< . ^n\< ||.w;.\|,> NIQUES. NŒL'DS. i7(.)

lige, déterminée exclusivement par les coiiditions-lini'.tes, c'est-à-dire par l'état de liberté ou d'assujettissement de ses extrémités.

Si on change cet état, les séries de sons produits sont différentes. Par exemple, n'admettons plus, comme nous l'avons fait dans ce qui précède, que l'extrémité z = l soit fixe; au contraire, supposons- la libre. Alors w ne doit plus s'évanouir pour z = l; mais, à cette extrémité, la tension doit toujours être absolument nulle, puisque aucune force de traction quelconque n'y agit sur la tige.

Revenons aux équations de la fin du £ 50, p. 173. La nouvelle

hypothèse correspond à T = 0, c'est-à-dire à (-77) = 0 . En

prenant toujours pour w l'expression (221) et en égalant à zéro son quotient différentiel par [apport à i, spécialisé pour z = /, on obtient dans ce cas :

cos

Les racines de cette équation s obtiennent en égalant 1 argument du

iïnor»

cosinus à un multiple impair de ~. On a donc

''" ~ Il \ n ' 1/ V 5 ' 2/ V »

La série de sons déterminée par ces nombres est pareille à la précédente; mais le son fondamental est d'une octave plus bas que dans le premier cas, attendu que le nombre des oscillations est moitié moindre. Le premier son harmonique est ici la quinte de l'octave du son fondamental, et ainsi de suite. La position des nœuds correspondant a chaque vibration considérée isolement n est pas non plus la même: car. comme on a en général

In — i r. IYjj 2 7 y n

le facteur dépendant de 2 dans l'équation (221) devient

Si 11 ( — 9 j ;

et ce fadeur s'évanouit lorsque l'on pose [qmiî

oup 1Ï07 no oi'ji ; — . iinoo Jnog d io '\ 8noiJ

-liß'l ~>l i'iq ol

Pour trouver les nœuds, il faut donc alors diviser la .lige en un nombre impair de parties égales, ce nombre étant donné par Je rap-

port du nombre des vibrations correspondant au son harmonique que l'on considère, au nombre de vibrations du son fondamental. Les nœuds sont alors tous les points pairs de division, en parlant de l'extrémité fixe de la tige, supposée être le point zéro.

L'introduction des conditions dues à l'état initial se fait absolument de la même manière que dans le cas précédent. L'expression la plus générale de «?, formée de l'addition des solutions partielles est ici

sin

r-î / ' ant „, . OttA

Y ( I}< cos Tj/- + Li sm 2j- ) sin —y- I B2 cos -^j -+■ L2 sin -^y

f¥fi où a a toujours la valeur y— • Désignons encore par f(z), F (z) les

fonctions donnant les déplacements initiaux et les vitesses initiales des éléments ; nous aurons, pour t = 0 :

w,..-PW-a

CiSin— ^ H-oC2sin — H-

Pour déterminer, au moyen de ces équations, les constantes B, €

en fonction de l'état initial, on les multiplie toutes deux par

sin — — -j- — —dz, et on intègre pour loulc la longueur de la tige, ou

de z = 0, hz = l. Alors tous les termes du second membre disparaissent, excepté le terme B. ou C , et l'on a :

Cl (L2h — I ) rz- I

f0fi*)to{".U * = &''

C> . (2/i — 1 ) nz han

de sorle que les B, G se déterminent immédiatement lorsque les fonctions /"et F sont données.

£ 61. — Vibrations transversales.

Je passe au problème des vibrations transversales qui est de la plus grande importance, principalement en ce qui concerne les vibrations des cordes. Le problème des cordes vibrantes a été Irait i * , depuis

£ Dl. — VIBRATIONS TRANSVEUSAJLES. 481

d'Alembert, de bien des manières différentes ; on déduit ordinairenient sa solution de la théorie des corps parfaitement flexibles, c'està-dire d'une théorie tout autre que celle qui vient d'être exposée. Cela revient à négliger', dans les équations [2lö fy de la ni du 2 59, page i7~. les termes dépendant du module d'élasticité E et des rayons d'inertie •/., a de la section transversale. Mais, d'une part, on ne peut, en aucune manière, considérer des cordes, et surtout des cordes d'acier, comme des corps parfaitement flexibles; et, d'autre part, il semble peu justifié de négliger, tout d'abord, les termes de ces équations qui contiennent les quotients différentiels de l'ordre le plus élevé; ce procédé peut être justifié par le résultat, mais il ne l'est jamais a priori (*).

Admettons donc que les deux extrémités de la corde soient maintenues fixes, mais sans élre déterminées en direction, ou, comme on dit, encastrées. Les conditions limites seront d'abord, pour ces deux, extrémités, que les déplacements u, v soient loujours nuls. Kn second lieu, de ce que les tangentes à la ligne des centres de gravité des sections peuvent y avoir des directions quelconques, il résulte qu'à ces mêmes deux extrémités les moments de rotation doivent être nuls. Ces moments (\'){, 'P>');, s'évanouissanf, on a aux extrémités, avec les conditkms </ = <>, p^Of les suivantes qui résultent des équations (218 M iBQ^yuoi uoi öilqilliirn eoi no li JßJa'I ob noilonol no

uo <o-%il ßl ob •luairçnt^/jrotH^uoq ^^ir-nH'l.

• i-jirxioffi bnoooâ.ub eotruioi acd.guo) ^^olA .\ = i ß .0 = s ob ce qui détermine complètement le problème.

* r r Jf!988Ißi

En examinant les deux premières des équations générales ('218 6), l'on voit qu'elles sont absolument les mômes, sauf que la première, qui doit déterminer u, contient le ravon d'inertie a2, tandis que la seconde,

(*) Dès 1741-1743, D. Bernoulli (t. XIII des Mémoire» de Saint-Pétersbourg), et en 1744 Euler [Additamentuin de Curvis élasticis), enseignaient que la délermination de l'ordonnée de la courbe qu'affecte, dans une de ses oscillations simples, une lame élastique vibrante, dépendait de l'intégration d'une équation simplement différentielle du quatrième ordre, et que les équations des courbes répondant aux diverses oscillations simples contenaient des paramètres, tous racines d'une même équation transcendante. Ils déterminaient donc les durées diverses de ces oscillations. simultanées qui se superposent. Mais la détermination de leurs amplitudes, pour un etat initial supposé connu, ou la solution complète du problème des oscillations d'une lame qui vibre seule, fut donnée seulement en 1827 par Cauchy [Exercices de mathématiques), et en 1828 par Poisson [Mémoires de l'Institut, et ensuite Traité dé mécanique, 2e édition, 1855). J'y ai ajouté en 1S:»7,-1S57 la détermination des oscillations qui sont prises lorsqu'une masse étrangère et censée rigide est unie quelque part, ne fût-ce que pendant la première demi-oscillation, à la tige ou barre; ce qui m'a permis de résoudre le problème des chocs transversaux, etc., comme on verra à la note finale du présent £ t)l.

qui devra déterminer v, contient le rayon d'inertie x9. Cette circonstance a une signification évidente : si les deux moments d'inertie principaux de la section transversale ne sont pas les mêmes, les mouvements vibratoires effectifs se partageront en deux mouvements vibratoires composants, dirigés chacun parallèlement à l'un des axes principaux de cette section ; de sorte que les séries de sons correspondant à chacune de ces composantes seront différentes, et différeront d'autant plus que les moments d'inertie eux-mêmes auront des grandeurs plus inégales.

Imaginons les déplacements initiaux et les vitesses initiales de chaque élément décomposés parallèlement à ces deux axes ; chacune de ces deux séries de déplacements composants et de vitesses composantes donnera lieu seulement à des vibrations parallèles à son axe spécial. Les deux parties du problème peuvent être traitées tout à fait séparément, et, vu l'identité de forme des équations qui contiennent u et v, il suffira de considérer celles qui déterminent les vibrations dépendant des valeurs de u, par exemple.

Ces vibrations sont définies par les équations suivantes : pour tous les points de la tige, par la première équation (218 b) dont nous retran-

chons les termes U et — — - , parce que nous ne supposons aucune

force s'exerçant sur les points de l'intérieur de la tige, ce qui réduit cette équation à

(929ï vÀ* — — T d— n n fî" -4- n ) v ['u ■

avec la condition qu'on ait, pour les extrémités : (222a) («Uo = 0' (£) =0'

\CZ ' z = 0

- Enfin, pour satisfaire à l'état initial donné, il faut qu'on ait

f(z) représentant les déplacements initiaux, F (z) les vitesses initiales, décomposés parallèlement à l'axe des x ou des //.

Pour trouver les vibrations simples ou isolées, posons d'abord, ?/ étant une fonction de z seul,

u = u cos kj.

g 61 . VIBRATIONS TRANSVERSALKS. 4*7)

Portant cette expression dans l'équation (222), nous obtenons l'équation suivante en uh :

[kn $Pun n n tßu

223 E ri l — " =T-sr^-h - <rk>- il — - ri 7. 2 , -^ .

Celte équation simplement différentielle, linéaire du quatrième ordre, possède, en général, quatre intégrales particulières de la forme ea"" , qui, par leur composition linéaire, c'est-à-dire au moyen de leur addition après multiplication par quatre constantes, formeront l'intégrale générale. Si l'on pose

et si l'on introduit cette valeur dans l'équation précédente, on obtient, en supprimant le facteur commun e"'r\ l'équation suivante en a. :

EriV =T«« -h - <r£ — - VvV *2 ;

d'où l'on tire

Eri2 2#E~ V \^°X2 ~9W

nk*

" 2Eris 2#E~ V \2EaX 2^E/ E#Àa

et si l'on pose, pour abréger :

on a :

Le coefticient b ne dépend que de la forme et de la masse de la tige, tandis que a dépend en outre de la tension longitudinale T de cette même tige. Si fcB, coefticient du temps dans u = un cos kn f, est réel,

la première des deux valeurs de an ,

Vi w 1 7 £wy

est positive, et a/4 est réel. Mais la seconde valeur est négative et donne

par suite %n imaginaire. Je remplace cette valeur de an par — ß2 en

posant :

bWk* A 11 bW \* (225) ft = - a« H— ^ + y (^ - ~^J -f- l£ .

Les deux intégrales exponentielles de la forme e?z*~ l , e-?n 1 correspondantes à cette valeur se transforment en sinus et en cosinus, et au lieu des quatre intégrales particulières

„"■ s „— a 2 s s v'— 1 -s: si— 1

on peut introduire les quatre suivantes :

eV , e~ V , cos pfca , sin ßhs :

de sorte que l'intégrale générale de «M est

(220) un = kn cos £uz H- BM sin ßn* + C/V + y- V ;

où A;i , Bn , Cn , DM désignent des constantes arbitraires.

Introduisons cette valeur dans les équations (222. a), (222.6) nous aurons, pour déterminer les constantes, les équations suivantes :

-PiV^C. + DJr^O,

AM cos M + BB sin fij -+ C/'n' + dne~ %l = 0 ,

- K (K ™s M ■+■ K si" M + < (V*1 + DM<T V) = 0.

Laissons un moment de côté le cas particulier où a" = — ßn, qui sera examiné tout à l'heure ; ces équations donnent immédiatement

An = 0, C„ + D„ = 0, BBsinßBZ = 0, C„A'-+- D„e-V = 0. Il n'y a que deux solutions possibles; ou bien que l'on ait Cn'=0, D„ = 0> avec sinßH/=0,

et, alors, [W doit avoir l'une des valeurs

ou bien que l'on ait Bn= 0, et Cn = — Mrt;-el alors on doit avoir

ht j — / — a i

ce qui exige, pour *nl l'une des valeurs suivantes :

aJ = «s/— T, 2zy/-I, 5^-1

Celte série est la môme que celle qui vient d'être écrite pour ß;//, mais multipliée par s/ — 1 . Cela montre que l'on reproduit la solution

précédente dans laquelle on remplacerait ß par • — -- ; par conséquent,