VIBRATIONS TRANSVERSALES

les grandeurs exponentielles qui, pour cette seconde solution, restent 'dans l'expression de un, reproduisent, à cause de l'exposant imaginaire, précisément les mêmes termes trigonométriques que l'on obtenait avec ß dans la première solution. Ainsi celte seconde solution ne

donne rien de nouveau, et il n'est pas nécessaire de la prendre en considération.

Mais ce dont il convient maintenant de dire quelques mots, c'est le cas où a et ßB seraient égaux et de signe contraire. Cela se produit d'après les valeurs (224), (225) de j!n, ß* , lorsque

(227 a) r~~Vj + b% = {)'

Dans ce cas, l'expression (226) n'est pas l'intégrale complète de l'équation (223), qui prend la forme

où l'on a posé

2E<rts 2</E ' L'intégrale complète de cette équation devient alors :

(227 c, «H = (kH-i-Vj)e" + (CH+[>nz)e-" .

ce que l'on peut vérifier facilement par différenriation. Les équations de condition (222. a), (222. 6)\ donnent :

Am-hCi=0,

^(AB-+-BB)H-2c(BB-HJ = 0,

(As+BB/)aci+(Cw+Dn/)e-cZ=0,

«" ( A„ + V) ed ■+■ *' (CB + 1), /) e~ cl + 2c (B,/' -+- \e~ cl) = 0 .

On conclut facilement de ces équations que l'on doit avoir An=Bn=CB=DB=0; par conséquent il ne peut y avoir de vibrations isolées qui correspondent à l'hypothèse considérée.

Il ne reste donc que ia solution (227), d'après laquelle a doit avoir les valeurs

et, par conséquent, en se reportant à l'équation (225) et en la résolvant par rapport à kn, on trouve pour kn les valeurs suivantes :

'*«<*)*„— ^y p+xv - Tïy /äH-4).V ' ' * * * 76 y 7+äv

Ces valeurs sont toutes réelles. Cela confirme l'hypothèse qu'en général il ne se produit que des oscillations réelles, c'est-à-dire des mouvements véritablement périodiques. Mais la série des sons dus à des vibrations dont les nombres s'obtiennent en divisant par 2- les nombres ci-dessus, n'a pas, en général, le caractère simple des séries trouvées dans les cas de vibrations longitudinales ; les nombres de vibrations, dans l'unité de temps, qui constituent ces divers sons, n'ont pas entre eux des rapports numériques simples.

Cependant, lorsque la tension est très grande, et que la section transversale est très petite, cette simplicité des rapports est encore obtenue avec une très grande approximation. En effet introduisons, dans le terme général de la série ci- dessus, les valeurs de a et b; nousobtenons :

(Wie) /• __»vA(T/2 + nVK^)

Si a devient assez petit pour que, malgré la grandeur habituelle de E, on puisse, sous le radical, négliger les seconds termes par rapport aux premiers, on obtient alors la série arithmétique suivante :

tt la *2n la or la

rysî» TV*' T\/d o

(*) Ici l'auteur suppose la tige parfaitement flexible, au moins dans la direction où elle fléchit, mais soumise à une traction longitudinale mesurée par T (ainsi désignée depuis le § T>4, troisième formule 209 c),

.Tout à l'heure, en réduisant (227 c) à (227 f), il rétablira l'élasticité de flexion, mesurée par le terme «'»'E^X8 du numérateur sous le radical, en supposant la tension ou traction longitudinale T, nulle ou négligeable.

Mais on peut observer que dans l'un comme dans l'autre de ces deux cas, il efface au dénominateur le terme + n9 n2 ),- provenant , comme nous avons dit dans la note finale

du g 59, des termes différentiels tels que - X-<t -. , .,. » négligeables absolument au

g dl* dl- ° °

môme titre que d'autres quantités qu'on n'a pas môme cherché à faire entrer en ligne de compte.

Il est vrai que lorsque n devient extrêmement grand, r»a ns X*-peuf n'être plus négligeable devant /*. Mais alorj kn n'est plus relatif qu'à des vibrations partielles que leur faible amplitude, et leur période excessivement courte, rendent négligeables.

2 Hl. — VIBRATIONS TRANSVERSALES. 487

On voit d'ailleurs que l'approximation sera d'autant plus grande que n sera plus petit ; elle sera donc aussi grande que possible pour les premiers termes de la série. Cette série est la même que celle qui a été obtenue pour les vibrations longitudinales; elle comprend le son fondamental, l'octave, et ainsi de suite. C'est cette même série que l'on obtient aussi dans la théorie ordinaire pour les cordes vibrant transversalement et supposées parfaitement flexibles. Le nombre des vibrations du son fondamental est proportionnel à -A/ — • Ce son, avec

toute la série des harmoniques, s'élève lorsque la tension T s'accroît ; il s'abaisse lorsque la longueur, le poids spécifique ou la superficie de la section transversale augmentent. Il est, en outre, très remarquable que X a disparu de cette série, de sorte que l'inégalité, signalée plus haut, entre les séries de sons correspondants aux vibrations parallèles à chacun des deux axes principaux n'existe plus dans cette nouvelle hypothèse.

Il en est tout autrement quand, au contraire, la tension longitudinale T est très faible ou tout à fait nulle, comme cela peut avoir lieu pour un ressort ou une lame élastique (feder) dont les extrémités sont simplement posées sur des appuis. Faisons alors, dans le terme général ci-dessus, T = 0; et, vu que l'épaisseur de la lame, par conséquent X, est une quantité fort petite vis-à-vis de la longueur /, négligeons aussi, au dénominateur, le terme raV'X8 devant /2, ce qui peut se faire pour les plus petites valeurs du nombre n, nous aurons :

(«n <.= fV^

Dans ce cas nous obtenons une série de sons dont les nombres de vibrations sont en rapports simples ; mais ces nombres croissent comme la suite des carrés des nombres entiers successifs : au son fondamental succède immédiatement sa seconde octave.

Dans le cas le plus général, on n'obtient pas une série simple de sons, puisque n se trouve encore sous le radical. On ne peut déterminer numériquement la série entière que par les nombres de vibrations, supposés connus, de deux sons. Ce résultat est d'autant plus remarquable que la position des nœuds, est la même dans tous les

cas, et est tout à fait simple. En effet, puisque $n = -y1, on a, pour le facteur qui dépend de z, dans l'expression de un,

sm -y- ,

quantité qui s'annule pour z = tout nombre entier de t'ois- • Donc ,

dans tous les cas, les nœuds du n[èmc son partagent la longueur / en n parties égales; en sorte que la tige, lorsqu'elle rend le nième son, se

comporte comme si elle était formée de n tiges d'égale longueur- , qui

donneraient toutes ensemble leur son fondamental.

Les valeurs de kn peuvent servir à exprimer l'état initial. D'après ce qu'on a dit de l'exclusion nécessaire des termes exponentiels à exposants réels, et de la réalité nécessaire des coefficients kn affectant le

temps / dans les séries de sinus et de cosinus en lesquelles se sont naturellement transformées les exponentielles à exposants imaginaires, l'expression la plus générale de u est :

u= 2, (Bncos^+CBsiny)sin-r.

On a donc, pour l'instant initial t=0, [conditions (222. c) ]

n = sc n = x

» = m = z Bn sin x ; 77 =l {z) = 2- A"C» sm T ;

tout à fait comme dans Je cas des vibrations longitudinales ; et le même procédé qui a été employé pour celles-ci (§ 60, p. 478) donnera :

J'appliquerai ce qui précède à un cas particulier. Je suppose que la tige tout entière se trouve , originairement , dans l'état naturel. Les points compris sur une très petite longueur de la tige, (Mitre z=Ii -h £ et z=h — e, ont reçu la vitesse initiale u0 ; tous les autres points de la tige ne possèdent aucune vitesse initiale. Dans ce cas/ (z) est nul en tous les points, et, par suite, tous les coefficients B disparaissent. F (z) n'est différent de zéro qu'entre z = h — s et z = lt 4-e, et, dans toute celte étendue, il a la valeur constante un. Puisque cette fonction F s'évanouit en dehors de ces limites il y a lieu, dans l'intégration, de n'avoir égard qu'à leur intervalle; on a, par conséquent:

C =— sni— r-ï/s = — r- cos — —. -— cos — Vi -

lknJh-, L »drB| / / J

An,, . ilnh . iir.i sni — r sin

nitkn " l I

Si, comme je l'ai admis, i est très petit par rapport à /, on peut