PLUS GRANDE COURBÏ.'RE ET CONDITION DE RÉSISTANCE AU CHOC

comme on sait, sur la connaissance non de la flèche, mais de la plus grande courbure prise par la fibre moyenne de la barre, ou du maximum de

— '— ; car la plus grande dilatation des fibres ou ce à quoi l'on a cou-

cJz-

tume d'imposer une certaine limite, a pour valeur, comme on le sait aussi, cette dérivée seconde multipliée par la demi-épaisseur de la barre dans le sens de u ou de ses flexions.

Notre analyse complète, par séries transcendantes, des vibrations de la barre, peut seule donner une évaluation rationnelle de cette dilatation, ou de ce qu'il faut limiter s'il est admis que la cohésion est autant mise en péril par les dilatations de très courte durée produites par les vibrations de deuxième, troisième, quatrième ordre, que par celles de durée appréciable qui sont l'effet de la vibration principale ou dont la période est la plus longue.

Si, pour obtenir cette valeur de — ^—, on différentiait deux fois nos

expressions de u ou — - , on aurait une série non convergente ou extrêmement peu convergente qui ne pourrait servir. Mais nos tracés de courbes peuvent donner ce quotient différentiel du second ordre avec une approximation très suffisante pour les applications.

En effet, pour mesurer la courbure d'un petit arc N0XNi d'une quelconque de nos courbes (n° 55) d'états successifs de la barre, nous supposerons d'abord que son milieu N est au point le plus bas de cette courbe ; et si nous l'assimilons à une portion de parabole ayant son axe vertical, son sommet en N

et une corde \^Si = c, son équation, de la forme x2 = 2 A y fournira l— - =-,

valeur de la courbure; et comme on a, pour sa flèche /', égale aux ordonnées de ses extrémités N0,Nt, f=aï (|) » l'on obtient pour la courbure

-r4=z 71 • Or il est facile de voir que si le petit arc remplacé par une portion

de parabole à axe vertical, et dont N est le milieu, est pris partout ailleurs qu'au bas d'une des courbes, on aura la même expression pour sa courbure, c représentant alors la projection de sa corde sur ï axe des z, ou la différence zL — z0 des abscisses de ses points extrêmes Nx, \ ; enfin fêtant sa petite flèche mesurée parallèlement aux u entre son point milieu N et sa corde. On a donc avec toute l'approximation désirable, ces petites lignes étant mesurées en un endroit quelconque d'une quelconque des courbes du n° 55,

(r6) la courbure — ■B—=-[.

dz- c-

Or, on reconnaît facilement sur les tracés cités à ce n° 55 que le point de plus grande courbure n'est pas, pour toutes les courbes, à leur milieu; mais que, dans la courbe où cette courbure maximum a sa grandeur la plus considérable, c'est au milieu quelle se trouve.

560 CHAP. IV. — NOTE DU 2 Gl . IMPULSION TRANSVERSALE.

resu

Il en résulte qu'on peut y mesurer la flèche pour un arc égal à deux divisions 0,2 a de la barre, aussi bien et même mieux sur les courbes du n° 52 que sur celles du nn 55. Nous avons reconnu ainsi :

Que pour le cas P= - 0 la plus grande courbure a lieu aux instants

£ = 1,25t et £ = 1,65t ou un peu avant et un peu après celui (£— l,34r) où

la flèche de la barre a le plus de grandeur.

Pour le cas P=Q la plus grande courbure a lieu pour £ = 0,75r et

j = 1,1t ou très peu avant et sensiblement après l'instant (£ = 0,82) de la

plus grande flèche.

Vt V-

On a trouvé ainsi, respectivement, des courbures 2,60-^, 1,75-^-,

On a des coefficients numériques bien moins différents les uns des autres quand on divise ceux-ci par les trois valeurs correspondantes det /:* ; il en

KU VT /Q d . /W

esulte, vu — i / ~ = 7== t / : , a2 V P s/aEl V %

Cas de P = ~ Q , Q , 2Q ;

Plus gr. courbures -g=1.859^y/^ä, 4.75^ ,1.838^/ .

En appelant c l'épaisseur de la barre dans le sens u ou de la flexion, la plus grande des dilatations des fibres sera, comme on a dit, la courbure

— — multiplié par -r ; et c'est à ce produit qu'on doit imposer une limite

de dilatation qui, au n" 7 de la note de la fin du § 57, p. 264, a été appelé

— . Nous aurons ainsi, en élevant au carré et en nommant a le coefficient E

numérique auquel les mesurages cités ont donné les valeurs 1,859, 1,75 et 1,858, auxquelles répondent — = 0,04928; 0,05442; 0,04955:

ni? — — Ü" —

(l*> - 2g ~ 6as ' E ' c2

Si la pièce, de longueur 2«, est rectangulaire, — p nest autre chose que

son volume. On retrouve donc ainsi, à peu près, le théorème de Young, établi par lui en négligeant l'inertie de la barre, et d'après lequel la resi- Uence d'une pièce rectangulaire heurtée au milieu, ou la limite à imposer

^SÉÏœ