FORMES COURBES SUCCESSIVEMENT PRISES PAR LA BARRE HEURTÉE

Les courbes de la première série donnent, par leurs ordonnées répondant à des abscisses - qui croissent de 0,05 en 0,05, et pour chacun des cinq

ut points de la demi-barre, la suite des valeurs de —jusqu'à - — 2,25 pour

les deux premiers cas et - = 1 , 9 pour le troisième. Ces cinq courbes partant du même point (u =0, t = 0) ne reviennent, au bout de ces temps,

couper 1 axe des abscisses — =0, qu'en des points légèrement différents

les uns des autres, ce qui montre qu'à aucun instant la barre ne retourne exactement à son état primitif. Ces courbes, représentant la loi et la suite du mouvement de chacun des cinq points, sont fort sinueuses; cela vient de ce que le mouvement résulte de la superposition de vibrations ayant des durées et des amplitudes de moins en moins grandes, dont ebacune a son rebond bien avant celui de l'oscillation principale provenant du premier

terme du Y ou de la valeur m0 de m.

Toutes ces courbes serpentantes sont, pourf=0, ou à l'origine, tangentes à l'axe des abscisses, avec lequel, même, elles se confondent dans de très petites étendues, parce que l'ébranlement ne se transmet pas instantanément du point milieu aux points d'appui.

11 y a exception, bien entendu, pour les courbes relatives à z=0. La tangente y fait un angle demi-droit avec l'axe ; et cela devait être, car, à l'instant initial, les vitesses ne sont nulles qu'en exceptant le point milieu

qui reçoit le eboe, et où -y- = V ; ce qui donne bien 1 pour la tangente tri-

gonométrique, quotient de d — par d -,de l'angle fait avec l'axe des abscis-

ses par le premier élément de la courbe représentative du mouvement du point milieu.

Ces courbes, surtout pour les points proches des appuis, s'élèvent même d'abord au-dessus de l'axe des abscisses u = 0, aussitôt s'en être détachées; en sorte que, par une sorte de réaction, les u commencent par y être négatifs. C'est ce que nous avons rendu très sensible, ainsi que le retard de la mise en mouvement aux points proches des appuis, par un dessin spécial où les échelles sont 25 fois plus grandes, mais où les cinq courbes ne s'étendent que jusqu'à l'instant- =0, 1 (*).

55. Suite des applications, Courbes donnant les formes successivement prises par la barre heurtée. Plus grande flèche au milieu. — Ces courbes,

(*) Les planches, trop grandes pour trouver place ici, sont gravées depuis longtemps Nous espérons les faire paraître dans un des prochains volumes des Mémoires de l'Académie.

558 CHAP. IV. — NOTE DU % Cl . — IMPULSION TRAMSVERSALE.

qui sont celles de la deuxième série dont nous avons parlé, se composent avec les mêmes ordonnées — que les courbes de mouvement ou de la première série, mais ces ordonnées étant contemporaines, ou relatives, pour chaque courbe, à une seule valeur de - ; et les abscisses étant maintenant,

non plus les temps, mais les distances 3 = 0, 2a, 0,4a, 0,6a, 0,8a, a, des points de la barre à chacune de ses extrémités. Ces courbes donnent les états successifs de la barre (avec amplification de ses flexions) depuis l'instant du choc, jusqu'à celui où le déplacement total—- au milieu devient le

plus grand possible, en allant un peu au delà, ou dans le commencement du second quart de période qui est le temps du retour. Même, pour le cas

P = Q, un second dessin donne les états jusqu'à un instant- =2.25 où le

retour à l'état primitif se trouve accompli et légèrement dépassé.

Les courbes des cas P = -> Q et P = 2 Q ont été tracées de t = 0, 1 t en

t = 0,1 t. On en a tracé deux fois plus, ou à des intervalles £ = 0,05t pour le cas P=Q.

Elles tournent généralement leur concavité en haut; cependant, au point î=0, 2 a, par suite des réactions ou rebonds dont nous avons parlé, elles tournent leur convexité. Pour les courbes £ = 0, or, la courbure au milieu disparaît, et même se présente dans un sens opposé à celui qu'elle avait pour t = 0,1 t, et qu'elle reprend ensuite à partir de t= 0,4t. Ces singularités remarquables proviennent des oscillations des 2e, 5e,... ordres, se superposant à celles du premier.

Nous avons obtenu ainsi la plus grande flèche centrale de courbure exactement, ou avec un nombre suffisant de termes de la série y). Pour les ^r0ls

cas P=3 -Q, Q, 2 0. Comme elle est à très peu près ce qui vient du premier

terme où wz = w0, nous avons complété le tableau suivant en calculant, pour

les cas P= t Q et 4Q, ce seul terme.

P Pour £ =

La plus grande flèche u a lieu environ pour t