ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS. MISE EN COMPTE DES ENEUTJES

du corps, mdxdydz sera celle du parallélépipède élémentaire considéré ci-dessus, et les forces nécessaires pour produire L'équilibre seront les produits, pris en signe contraire, de celte masse par les accélérations qu'il possède à l'instant où Ton se trouve. Cet élément a décrit, parallèlement aux axes, les chemins u, v, w qui expriment ses déplacements et qui dépendent, non seulement des coordonnées x, y, z, mais encore du temps /. Les accélérations ne sont donc autre chose que les quotients différentiels du second ordre

ohi ( 'v (2w

Cl' CT ( l-

Et, pour établir les équations de condition de l'équilibre, il suffira d'ajouter, aux forces extérieures, les produits négatifs de mdxdydz par les accélérations ; ou bien, comme les forces ci-dessus étaient rapportées à l'unité de volume, de poser, au lieu de X, Y, Z, les expressions

et, par suite, on déduira des équations (24) les équations générales de mouvement

c hi ci i t , H

et' aX < y c i

G2» et (A '( f

(50, m : jr?4. M +-E+ Y,

| C~W cl ( t cl

c /- c .' c /y ci

On a ainsi trois équations différentielles partielles simultanées pour. déterminer u, v} w, en exprimant d'abord les tensions t au moyen de (25), page 58, en fonction de ^., dy, ?., gya, g. ., g— puis ces grandeurs au moyen des équations (28) en fonction des quotients différentiels mêmes de u, v, w.

Les considérations sur l'ellipsoïde d'élasticité, ainsi que celles qui ont été présentées sur les conditions limites (25) relatives à la surface du corps, restent absolument les mêmes; elles sont en effet indépen-

Oli CHAÏ\ I. — FORMULES FONDAME.NTALES.

dantcs des forces agissant sur l'intérieur, du parallélépipède élémentaire, et par conséquent aussi des accélérations (*).

Les équations (30) donnent lieu à. une proposition remarquable qui simplifie notablement la recherche des petits mouvements intérieurs (oscillations ou vibrations) d'un corps élastique. Les forces X, Y, Z, agissant sur les molécules de l'intérieur sont en général, tout comme les forces T cosct, T cos •/., T cos p, qui s'exercent sur la surface, fonctions des coordonnées de leurs points d'application ; elles deviennent par conséquent, pendant le mouvement, fonctions de x ■+■ u, y -\- v, z-ï-w. Mais comme w, v, w sont des quantités très petites, on peut, dans les expressions de X, Y, Z, T, les négliger par rapport à rc, y, z, c'est-à-dire qu'on peut calculer ces forces comme si elles agissaient sur le même point d'application qu'à l'état de repos. Si l'on suppose, en outre, que les forces ne sont pas variables avec le temps, elles ne sont plus fonctions que de x, y, z. Désignons maintenant par n', v', w' les déplacements que produisent les forces agissant tant à l'extérieur qu'à l'intérieur du corps lorsqu'elles sont arrivées à produire l'équilibre, effet qui est toujours possible si elles sont indépendantes du temps (**). Si nous désignons en outre par t' les tensions correspondantes qui s'expriment toujours linéairement par les formules (25) et (28) en fonction des quotients différentiels de u' , v', w', nous aurons pour la détermination de u'; v', w' les équations

cl cl' ( V

o=--B-\-^yy-h — ^+ y,

iVx o]y < z

dV„ c l'.„ W < x c y c z

avec les conditions limites relatives à la surface

T cos ct = t'xx cos p -+- t' cos q h- t';.; cos r , T cos •/. = t' cos p -f l' cos q -t- 1/ cos r , T cos p - l' cos p-+ V cos q -+- t'.. cos r .

ii sont, disons-nous, en signe contraire, les produits des accélérations parle ma de points ou des éléments matériels.

i !i à i ondition, bien entendu, que cos forces ne seront pas d'une intensité allant jusi|u i dépas er ce qu'on appelle la limite de l'élasticité de la matière du corps, et à y produire des déformations permanentes ou des ruptures-

§ 14. — OSCILLATIONS Ou VIBRATIONS. 55

Maintenant si, pour les mouvements du corps, pris sous l'influence de ces forces, on pose

l*0 — l xy ^ l xy '

de sorte que u", v" ', lu" représentent les mouvements calculés à partir des positions d'équilibre, alors, en ayant é.ard aux équations posées tout à l'heure, il ne reste des équations (50) que

lxx l XX I l xx '

t =1' -ht" ,

IV = w'

-hw",

d*u" ê)t" cM' , d\!'„

XX [ Xlf I X.3

^V" a" , a" aa

O'W O t , Cl 6 t

dV dx ï)y oz

et, des conditions limites qui viennent d'être posées, que

0 = t"xx cos j) H- t" cos g + t",.. cos r , 0 = l"//;: cos p -f t"w cos q -f t"yî cos r , 0 = t" cos y> -{" *■"., cos 'Z ~+~ l"» cos r •

Ces équations sont précisément celles que l'on poserait pour déterminer les oscillations autour de chaque position initiale x, y, z, si aucune force n'agissait, ni sur l'intérieur, ni sur l'extérieur du corps.

On a donc ce théorème :

Les oscillations d'un corps soumis à des forces extérieures, autour de la position d'équilibre qui correspond à ces forces pour chaque point, sont rigoureusement identiques (*) à celles qu'exécutent les points du corps autour de leur position naturelle lorsqu aucune force extérieure n'agit sur lui.

On voit que, par ce théorème, le problème se divise en deux parties la recherche de la position d'équilibre, et la détermination d'oscillations s'exécutant sans intervention de forces extérieures.

cl"

(*) Quant à la forme, bien entendu, car les = qui entrent dans les six équations

qu'on vient d'écrire, ne sont pas rigoureusement égaux aux -^ . de l'état naturel.

cJ(x, y, s)

,'i i r.H\r. I. — FORMULES FONDAMENTALES,

g 15. — Ellipsoïde des déformations.

Les développements du ^15 donnent le moyen d'étudier l'ellipsoïde des déformations plus complètement que nous n'avons fait à la fin du £ 4. Par un point du corps dont x, y, z sont les coordonnées par rapport à un système donné d'axes rectangulaires, menons trois axes nouveaux, parallèles à ceux-ci, et désignons par x', y', z' les coordonnées d'un point, par rapport à ce nouveau système d'axes. Alors

CI) xß -[- 7/ H- s'9 = î2

est l'équation d'une sphère dont le centre est au point (x, y, z) origine des coordonnées nouvelles x', y', z et dont le rayon est une longueur e, supposée très petite. Les points placés sur cette surface sphérique prennent, après la déformation du corps, des positions nouvelles dont les coordonnées s'obtiendront en introduisant, dans les coordonnées x-\-u, y-\-v, z-{-w du centre déplacé, au lieu de ses coordonnées originelles x, y, z, les coordonnées x -f- x', y -\-y', z-j-z' d'un point de la surface sphérique. Mais si x\ y', z' sont très petits, on peut développer les fonctions a, v, w suivant les puissances de x', y', z', et ne conserver que les termes affectés de leurs premières puissances. Alors les coordonnées du point de la surface sphérique après son déplacement deviennent

1 , . du . . du , . du ,

x\-x +u+j-xx +J-yy +J-zz ,

y -+- y' -+- v h- 7- x1 + j- y' -h fj-z z '

1 , c'w . o'w . ( ir ,

Pour rapporter ces coordonnées à un système d'axes menés par le centre de la sphère après son déplacement, il suffit d'en retrancher les coordonnées x -\-u, y-\-v, z-\-w de ce centre déplacé; et si l'on désigne para;", y", z" les coordonnées par rapport à ce nouveau système d'axes, on a

( x ] " r ij , z-

<Jx \ < !l ■ -•