DÉFORMATIONS EN FONCTION DES 'DÉRIVÉES DES DÉPLACEMENTS

grandeurs. .Mais La même nécessité n'a plus lieu si une ou deux dimensions du corps deviennent frès petites, les déplacements des points pouvant devenir très grands, comme on le reconnaît évidemment par le cas d'une plaque ou d'une ti^e élastique très mince, et comme on l'a déjà dit à la fin du § 1. Nous exclurons ici ce cas. qui sera traité spécialement plus lard. Les dimensions étant supposées partout finies, on peut, dans les équations (26), r27). négliger les puissances supérieures et les produits des divers quotients différentiels de ?/, v, w>, et aussi des grandeurs ?,«?,?, g , s , g .

x1 i/1 s' &yz Dax1 ~ni'

Cela réduit ces équations à la forme plus simple

-\ cU

x ~ dx

■y CV

iï =

f IV

bzx

Bxy

ex

(*) Si l'on veut avoir les expressions de iïx, dy, ï. , jusqu'aux carrés et produits binaires, inclusivement, des quotients différentiels ~ , l'on n'a, pour dx par exemple.

qu'à extraire les racines carrées des deux membres de la première équation (26). Mais une remarque essentielle qui m'a été faite en 1870 par M. Brill, professeur à Giessen, est qu'en

développant par la formule du binôme la puissance - du second membre mis sous la forme

'+[»£+ö-:)'+(£),+CT.

il ne faut pas se contenter des deux premiers termes 1 + ^ 2 -c (- I du développe-

ment, car le troisième terme

vjg-o[«ê+ r

fournit, comme le second, une des quantités du deuxième ordre dont on a l'intention de tenir compte; et cette quantité en détruit exactement une autre qui vient du second terme. Le résultat est ainsi, en retranchant 1 des deux membres.

. du , i /fi' y i (twy

Si l'on veuf, de même, avoir?,,-, on n'a qu'à multiplier le numérateur de la première

expression (2/) par 1 — 7 ^ > ce qui revient, a ce degré d approximation, à le diviser par le dénominateur de la même expression, et ce qui donne

fV [ , Cll'\ , C W f ( v\ r a du

On obtient de la même manière les valeurs de D9 , ?. , gzx, gXIJ.

(Voir, au Journal de mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, Ie série, t XVI, 1871, un mémoire compreiant un complément et une modification à un autre mémoire, de 1863.)

J'ajoute à ces formules celle qui donne L'accroissement de l'unité de volume. Comme les eûtes de l'élément restent à peu prés rectangulaires entre eux, on peut toujours exprimer son volume par le produit de ses trois côtés. Le volume du prisme déformé est ainsi

dxdydz (1 H-Î5J [\ +îy (1 -+-3J;

et comme le volume primitif était dxdydz, l'unité de volume est devenue (1 -HöJ (1 4- <y (1 + 3J ou 1 -h pa + 3y-t-<y en négligeant les quanlités d'ordre supérieur. Donc p,. + ö 4- 3J est l'augmentation proportionnelle de l'unité de volume, et si nous appelons u celte augmentation, nous avons

v ' ux vy dz

Les équations (28) sont celles que nous cherchions, puisqu'elles expriment les six déformations élémentaires et par conséquent aussi les six composants de tractions (*) par les quotienls différentiels partiels de trois fonctions u, u, w. Si l'on substitue les vlaeurs (28) de

ö g dans les expressions (25), puis celles-ci dans les équations

(24), on obtient trois équations différentielles partielles simultanées de second ordre pour u, v. w. Ce sont les équations générales de l'équilibre d'un corps élastique : Elles seront données au § 17.

g 14. — Équations du mouvement, exprimées comme celles de l'équilibre du § 12, au moyen des six composantes des tensions intérieures, et des trois composantes des forces extérieures agissant sur les points intérieurs.

Lorsqu'il y a des mouvements intérieurs, leurs équations se déduisent facilement de ce qui précède en appliquant le principe général qui porte le nom de d'Alembert (**). Soit m la masse de l'unité de volume

(") Ces six déformation» élémentaires Df , ?„ gr^, et ces six composantes de tractions ïxx, t«u t.n/ sont ce que les géomètres et les ingénieurs anglais appellent respectivement strains et stresses.

[*') On facilite beaucoup, aujourd'hui, l'application de ce principe en comptant, au nombre des forces, les inerties des mobiles, évaluées par les produits, pris en signe contraire, de leurs masses par les accélérations, et en posant les équations de l'équilibre (dit dynamique), où ces forces figurent comme les autres. De cette manière, on n'a même nul besoin de rappeler ce principe, dont l'énoncé, quoi qu'on fasse ou de quelque manière qu'on modifie celui que d'Alembert en a donné, et toujours obscur.

C'est ainsi que l'oncelet, surtout, a su introduire dans les cours élémentaires et pratiques l'établissement des équations de la dynamique des systèmes quelconques, aussi facilement que celles de leur statique.