VALEURS

de

SUPPOSITION y

oo 00 200

SUPPOSITION' y — il 22 . . . = -^r-

*)zx

nZx

La valeur de ^ atteint 78 pour y= 9, et 55 environ pour 7 = 22,22,

quand =r=80. Ces chiffres sont sans doute élevés. Mais la formule géné-

raie (rj — = .... du n° 15 ou (d') du n° 18, obtenue sans hypothèse sur les

relations entre les paramètres, ou la première (//) dans laquelle le coeffi-

cient numérique, s il n est pas =, ne pourra guère être jamais au-dessous

de ô, prouve, comme nous avons déjà dit au n° 18, que pour les valeurs

très grandes de p- le rapport ^ doit, inévitablement, être considérable aussi,

ce à quoi les expériences citées ne contredisent nullement.

pi

Les valeurs ainsi données de n, n et p peuvent donc être regardées comme

suffisamment en rapport avec les faits connus jusqu'à présent. On choisira Celles de gauche (7 = 9) ou celles de droite (7 = 22,22) du tableau, selon l'opinion qu'on aura été à même de se former sur les plus grandes valeurs

qu'il est permis de donner à 9 et à ^ pour les bois tendres.

On peut d'ailleurs attribuer au nombre 7 toute autre valeur plus grande que 2, mais qu'il ne conviendra pas, je pense, de faire moindre que 7 ou 8 ni plus grande que 30. On pourrait même, dans les formules empiriques

/EA™ Es

(n"),(o"), (/?"), mettre (prj au lieu de =-, m étant un exposant, plus petit

ou plus grand que 1, s'il en résultait pour la suite des valeurs soit de n, soit

ne g, une marche plus conforme à l'idée que quelques faits ont pu en

donner à chacun.

Mais il conviendrait de faire des expériences nouvelles et nombreuses de flexion de tiges pour déterminer E3; de flexion, aussi, de petits prismes qu'on en extrairait transversalement pour déterminer E , à moins qu'on n'y substituât, comme a fait Wertheim, des expériences de sons rendus en les faisant vibrer; et, pour déterminer G, des expériences de torsion; et de faire aussi ces autres expériences, d'une nature plus délicate, propres à déter-

miner le rapport t) = f)zx = — *- (n° 15) en mesurant les petits changements

des dimensions transversales des tiges que l'on étend, ou de la forme prise par les sections des tiges rectangulaires qu'on fléchit (Mém. cité sur la torsion, 11" 43). En attendant que ces expériences soient faites, je donnerai comme très probablement suffisantes les formules ci-après :

NOTE DU § 16. FORMULES POUR LES CORrS AMORPHES. 107

23. Formules de composantes de tensions à adopter dans la pratique, pour les corps amorphes non isotropes, comme sont tous les matériaux de construction de bâtiments ou de machines. — Nous prendrons, d'après ce qui précède, p.jur ces corps, supposés être homogènes et avoir en chaque point trois plans de symétrie de contexture parallèlement auxquels on prend ceux des yz, zx,xy, le sens longitudinal z étant celui où la résistance élastique a le plus d'intensité, et celles qui s'exercent dans les sens transversaux x, y, étant supposés peu différentes entre elles, c'est-à-dire n'avoir l'une avec l'autre que des rapports de 1 à 2 au plus.

ef

t =3110 +f3 +eD t =dg

t = f î) +3 ÎÉ D + d3 , t =eg

yy x q y z z.r °;.r

t =e3 +dD + -—î , t =f g

zz x y n f s ./!/ °xy

n étant un nombre variable suivant le rapport des élasticités longitudinales et transversales, et auquel on donnera :

1° Si l'on connaît gr, la valeur fournie par la foi mule empirique

2° Si l'on connaît plutôt le rapport -„ des deux coefficients d'élasticité de glissement dans les plans xy et yz, la valeur fournie par

" 1= ar;

car c'est ce qu'on obtient en mettant pour ~ dans {t") sa valeur —* — donnée

par les formules (e"), et tirant -•

Ces expressions de -, à mettre l'une ou l'autre dans le dernier terme de

la troisième des six formules de tension (s"), donnent, l'une comme l'autre, aux élasticités dans diverses directions qu'on peut en tirer, cette variation simple et graduelle (n° 21), c'est-à-dire à trois maxima ou minima seulement, qu'elles doivent avoir dans la nature. Mais pour cela il faut, comme on l'a dit plus haut après la formule (o"), que y ne soit jamais pris au-

dessous de 2, mais que sa valeur soit comprise, en général, entre 7 ou 8 et 50.

Si ce sont au contraire les Er, E, . E, qui ont été mesurés au moyen d'expé-

riences d'extensions : 1° de la pièce donnée supposée prismatique; 2° de petits prismes extraits de sa matière dans les deux sens x, v/, alors les formules suivantes, qui sont données par (e"),

de 2n ef 1 9 — n f d 1 9 - n

1 1 /E. \ fourniront immédiatement, en y faisant d'après (t") -='\-\--l-= 1 1,

trois des coefficients des formules de tensions (s") ; et, quant aux autres, c'est-à-dire à d, e, f, on les obtiendra évidemment en multipliant deux à deux les (v") et en extrayant les racines carrées.

Nous laissons toujours, dans ces formules, le nombre 7 indéterminé ; afin, comme nous avons dit au nu 22, que chacun puisse le choisir suivant la connaissance qu'il pourra posséder de faits relatifs aux valeurs de 9 ou de

-^•. Nous pensons qu'on ne courra guère risque de se tromper en faisant

Si l'on a mesuré, non seulement les trois coefficients de l'élasticité de glissement d, e, f, mais encore le coefficient ou module d'élasticité d'extension longitudinale E^, on n'a plus besoin du diviseur variable n.

Il peut être éliminé au moyen de l'expression (e") E =-5 rr; d'où

--^r=E.v + 5-7r; ce qui en faisant, conformément aux notations ordinaires, E3 = E , fc=-Gf , d = G' , e = G,

donne les formules suivantes :

ce t =3^D+G3+G3

xx G •<-' l u î

Ix") { t = G d + 5 ££' ? + G'D

Le cas le plus ordinaire est celui où les élasticités transversales sont égales, ou bien diffèrent assez peu pour pouvoir être regardées comme telles en les remplaçant par leur moyenne.

Alors on a d = e, ou G=G\ paramètre qui peut être facilement et exactement mesuré par des expériences de torsion de toute la pièce. Il convient